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극형식 (1)
드 무아브르의 정리
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드 무아브르의 정리

(De Moivre's formula/theorem)




18세기 프랑스 수학자 아브라함 드 무아브르(Abraham de Moivre)가 발견한 공식.

복소수와 삼각함수 사이의 관계를 보여준다.




공식



$(\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$




증명




귀납법으로 증명


1) n=1일 때


$\cos\theta + i\sin\theta = \cos\theta + i\sin\theta$

로 성립


2) n이 성립할 때 n+1이 성립함을 증명


n일 때

$(\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

이 성립한다면


$(\cos \theta + i\sin \theta)^{n+1}$


$=(\cos \theta + i\sin \theta)^n \times (\cos \theta + i\sin \theta)$


$=(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))(\cos\theta + i\sin\theta)$


$=\cos(n\theta)\cos\theta-\sin(n\theta)\sin\theta + i(\cos(n\theta)\sin\theta+ \sin(n\theta)\cos\theta)$


$=\cos(n+1)\theta + i\sin(n+1)\theta$



응용


$z^n$을 만족하는 복소수 방정식의 해는

복소평면 위 정n각형 꼭지점이 된다.


$(\cos \theta + i\sin \theta)^n$


$=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=1$


$\theta= 2k\pi/n$

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