임계하중

지난 시간에 천재 수학자 오일러가

재료역학까지 마스터해서

오일러 하중을 구한 걸 봤어.

네. 대단했죠.

정말 천재는 존재하나 봐요.

하지만 우리는 토목인.

하중을 구했으면 응력도 구해야겠지?

그건 쉽죠.

하중을 면적 A로 나누면 되잖아요?

여기서 조금만 더 건드려 보자.

I와 A는 각각 면적과 관련된 값과 면적 그 자체야

단위는 I는 길이네제곱, A는 길이제곱이지

그래서요?

I를 A로 나누면 단위는 어떻게 될까?

길이제곱이죠.

이것의 제곱근을 구하면?

그럼 단위는 길이죠.

I가 분자에 있고 A가 분모에 있다 보니

이걸 아예 나누는 것도 한 방법이야.

그런데 단위가 길이제곱이라서

나눈 김에 제곱근으로 단위를 길이로 만들어 봤어.

이걸 회전반지름(Radius of Gyration)이라 해

일종의 반지름과 비슷하지.

회전반지름이 클수록 회전시키기 어려워.

설마 기둥을 돌릴 예정은 아니죠?

아니야. 잘 봐.

임계응력 식에서 I와 A를 회전반지름 r로 고치면

식이 이렇게 되지.

L/r이라.

마치 길이/반지름 같네요.

실제 반지름은 아니겠지만.

보고도 모르겠어?

길이와 반지름의 비율이잖아.

기둥이 얼마나 얇은지 상대적으로 보여주는 값이 된 거라고.

이걸 세장비(Slenderness Ratio)라 부르지.

임계응력 식에서 세장비를 제외하면

파이와 재료특정 E밖에 없어.

그렇다면 재료가 정해진 이상 임계응력은

오직 세장비로 결정되는 거네요?

그렇지! 이제 깨달았구나!

세장비가 클수록 임계응력은 줄어들고

따라서 좌굴을 일으키기 쉬워지는 거지.

밑단 고정, 윗단 자유 기둥

그럼 선배.

우리가 본 기둥은 밑단 핀 지지

윗단 롤러 지지였는데요.

다른 지지는 알 수 없나요?

당연히 구해 놨지.

먼저 밑단이 고정지지고

윗단이 자유로운 기둥을 보자.

음. 단순하네요.

장승을 떠올리면 되려나요?

방법은 지난번과 같아.

'처짐 두번 미분 = M/EI'와

모멘트 식을 이용해

미분방정식을 구하는 거지.

미분방정식을 풀 때는

경계조건을 이용하고요?

그래. 하지만 문제가 있어.

이 미분방정식을 풀려면 경계조건이 셋 필요해.

여기서 알 수 있는 경계조건은 둘

'밑단 처짐이 0'

'밑단 처짐 기울기(한 번 미분)가 0'뿐이야.

그럼 임계하중을 모르는 건가요?

아니야. 알 수는 있어.

다만 처짐거동의 모양만 알 뿐

처짐거동의 정확한 수치를 수학적으로 구할 순 없지.

(δ를 모른다)

다른 기둥도 볼까?

이번엔 위아래가 다 고정지지인 기둥이야.

뭔가 볼수록 답답하네요.

이것도 뚝딱뚝딱 계산하면...

짠! 임계하중이 나오지.

처음에 구한 식과 비슷한데요?

맞아. 처음 구한 임계하중의 정확히 네 배야.

상식적으로 위아래를 꽉 막았으니

좌굴하기가 더 어렵겠지?

마지막으로 밑단 고정, 윗단 롤러 기둥을 보자.

이 기둥의 임계하중은 솔직히 못 구해.

그럼 소개도 못 하지 않나요?

아니야. 컴퓨터를 이용해 수치해석으로 구한

근사 임계하중은 알고 있지.

파이의 제곱이 약 9.8이니까

이 임계하중은 약 두 배 큰 거네요.

상식적이네요.

밑단이 고정이니 롤러인 것보단 좌굴이 어렵겠지만

위아래가 다 고정인 것보단 나으니까요.

오일러 좌굴

지난 시간에 네가 말했듯이

좌굴모델로 기둥의 좌굴하중을

알기는 어려워.

그래서 더 어렵고

더 정확한 모델을 가져왔지

아래는 핀 지지

위는 롤러 지지

그 위로 하중 P

같은데요?

맞아. 이상적인 기둥이지.

기중은 완벽한 직선이고

하중은 정확히 도심을 누르고

재료는 균열이 없고 완벽히 균일한

선형 탄성 재료야

이번엔 두 부분으로 쪼개지 말고

이렇게 곡선이 되었다고 가정하자.

그래도 왠지 중앙부를 잘라

자유물체도를 그릴 것 같은

느낌적인 느낌이 드는데요

응.

아랫부분을 자르면 이렇게 되겠지

수직 힘은 양 방향으로 P

수평 힘은 없고

잘린 부분에 모멘트가 걸릴 거야

처짐식 기억해?

처짐 두 번 미분이

M/EI와 같다는 거요?

그래. 그러니까

처짐을 알려면

우선 여기 걸리는 모멘트 M부터 구해야지.

모멘트 평형식을 써 볼래?

지난번엔 처짐을 부채꼴 식으로 구했지만

이번엔 처짐 ν가 있으니까

그걸 이용해 봐

아! 그리고

ν에는 -를 붙여.

처짐도 밑으로 가서 음수 취급했잖아?

시계 반대방향을 +로 했을 때

모멘트 평형식은...

이렇게 나오네요.

그래. 이제 식을 정리하면

M=-Pν고

이걸 처짐 식에 넣으면...

EIν'' + Pν = 0이네요.

이거, 설마 미분방정식?

왜 그렇게 놀라?

1학년 때 미적분 강의에서 배우지 않았어?

배우긴 했는데...

전공과목에서 미분방정식이 나올 줄은...

좋아.

수학시간이 아니니까 간단히 설명할게.

x'' + k^2 x = 0 꼴의 미분방정식의 일반해는

다음과 같아.

원래 식엔 ν 앞에 EI가...

아. 양변으로 나누면 되는군요

k^2가 P/EI고.

좋아. 우선 경계조건을 넣어서

C를 구해보자.

이 좌굴에서 확실한 건 뭘까?

음...

맨 아랫부분과 맨 윗부분은

처지지 않는다는 거겠죠?

맞아. 따라서 x가 0, L일 때

ν=0이 되지.

우선 x=0일 때 ν가 0임을 대입하면

두 번째 C는 0이란 것이 밝혀져

벌써 식의 반이 사라졌네.

두 번째로 x=L일 때도 ν가 0임을 대입하자.

그럼 Csin(KL)=0이 나와.

첫 번째 C가 0 아닐까요?

그럼 ν식 전체가 0이 되어버려

처짐이 없는데 좌굴이라 말할 수 있을까?

따라서 삼각함수가 0이겠군요

사인함수가 0이려면 안에 있는 값이

0이거나 π의 배수여야 해요

잠깐, 제가 먼저 말해보죠.

kL이 0일 순 없어요.

L이 0이 아니니까 k가 0이어야 하는데

k^2=P/EI고 EI도 0일 순 없으니

따라서 P=0이란 말이잖아요.

그것도 좌굴일 수 없죠.

오. 새빛이 똑똑한데.

맞아.

따라서 kL= π, 2π, 3π....가 되지.

kL=nπ (n=1, 2, 3...)라고 해도 되고.

식을 정리하면 드디어

좌굴하중 P를 구할 수 있어.

재료의 특성인 E와

설계 특성인 L, I가 좌굴하중을 정하는데요

근데 n은 어떻게 알죠?

그걸 쉽게 알려면

우선 처짐식 ν를 알아야 해

두 번째 C는 0이었지?

한번 우리가 알아낸 k를 대입해서

처짐식을 구해 볼래?

kL=nπ니까

ν = Csin(nπx/L)이네요.

처짐은 사인함수를 따르게 되지.

n=1일 때

좌굴하는 모습은 사인 0~π야.

즉 주기의 반이지.

n=2일 때는

사인 0~2π야

한 주기지.

이런 식으로 n이 늘 때마다

좌굴하는 모양은

사인함수의 반 주기씩 추가돼.

단단한 재료가 저렇게 꼬불꼬불 변하나요?

빈 캔이야 얇아서 저렇다고 쳐도...

맞아.

현실은 n=2도 거의 안 나오지.

좌굴하중도 n=1일 때 제일 작으니까

n=1만 조심하면 돼

지금까지 나온 좌굴모델은

오일러가 생각해내서

오일러 좌굴(Euler buckling)이라 하고

이때 임계하중을

오일러 하중(Euler Load)이라 불러.

휨과 마찬가지로 좌굴하중은

재료가 정해진 이상

L과 I로 결정되지.

L이 클수록 좌굴하중은 급격히 낮아져요.

즉 기둥이 길수록 좌굴하기 쉬워지는 거죠.

I는 기준축에 따라 값이 달라져

직사각형 단면 기둥이 있다면

그중 더 잘 좌굴하는 방향이 있는 거고.

다음 시간(임계응력, 세장비와 한쪽 고정단 기둥 등)에 계속...

기둥의 좌굴

음... 뭐라고?

완전 바보 아냐?

알았어. 끊어.

오늘은 분위기가 이상하네

싸우기라도 했어?

군대 간 오빠예요.

며칠 후에 휴가를 나오는데

발목을 다쳤대요.

그래? 모처럼 휴가인데

다친 상태면 많이 아쉽겠네.

그건 그렇고

남매는 서로 증오한다는 속설이 사실이네

오빠가 바보짓을 한 걸 어째요

다 마신 음료수 캔을 밟다가

발이 삔 거래요

무슨 양파맛 음료수라고 했는데...

양파맛?

그걸 음료수라고 부를 수 있나?

아무튼 빨리 나았으면 좋겠다

마침 깡통 하니까

재료역학이 또 하나 떠올랐어.

건물을 깡통으로 짓지는 않는데요.

하지만 밟혀 찌그러진 깡통을 보면

재료역학에 대한 영감을 얻을 수 있지

지금까지 배운 재료역학에선

재료에 인장이나 압축을 가하면

항복응력을 거쳐 인장응력까지 다다른 다음

네킹되고 파단했어

그 재료시험은 전부

재료가 똑바로 압축되고 인장되는 시험이었지

그런데 우리가 밟은 깡통을 잘 보면

그 표면은 똑바로 압축되지 않고

꼬불꼬불한 모양이야

재료시험과는 전혀 다르지

캔은 얇잖아요

밟으면 종이가 접히듯이 차곡차곡 찌그러지죠

우리가 생각할 게 그거야

재료, 특히 길고 가는 재료를 압축하면

똑바로 압축되는 경우보다

옆으로 홱 꺾여 부러지는 경우가 많지

건물도 길고 가는 부분, 특히 기둥에서

이런 일이 많이 생길 거라고 생각할 수 있어

이런 현상을 좌굴(Buckling)이라고 부르지.

기둥은 일반적으로

압축응력이 커져서 파괴되는 것보다

좌굴로 파괴되는 것을 더 조심해야 해

왜죠?

왜긴. 순수 압축으로 파괴하는 응력보다

좌굴로 파괴하는 응력이 작기 때문이야.

그럼 우리가 할 일은

좌굴을 일으키는 하중/응력을 찾아내는 거겠죠?

좌굴모델

제일 간단한 기둥을 생각해 보자

아래는 핀, 위는 롤러로 지지한 기둥이야

땅에 장승처럼 박힌 기둥을 생각했는데요

그건 나중에 다뤄볼 거야

우선 이것부터.

이 기둥이 하중 P를 받아 좌굴한다면

이런 모습이겠지

이때 하중을 제거하면 어떻게 될까?

원래대로 돌아가지 않을까요?

하중이 너무 컸다면 아예 휘어버려 돌아가지 않을 거고요.

마치 용수철 같은 거동이지?

그래서 우리는 아주 간단한 좌굴모델을

이렇게 설정할 거야

기둥 두 부분이 중앙에서만 꺾이고

중앙에 있는 '회전 용수철'이 그걸 버티고 있는 모습이지.

회전 용수철이요?

용수철은 누르고 당기는 것만 있지 않아.

돌리는 걸 방해하는 용수철도 있지

네가 쓰는 도구나 기계에도 은근히 많을걸?

아무튼 회전 용수철도 우리가 아는 용수철처럼

적당히 돌아가면 놓여 원모습으로 돌아가겠지만

너무 돌리면 아예 변형할 거야

실제 기둥으로 치면

휘지 않고 평평한 기둥과

결국 휘어버린 기둥이겠지

우리가 원하는 건 휘게 만드는,

즉 좌굴하게 만드는 하중이야

안 휨과 휨의 경계에 있으니

임계하중(Critical Load)라고 하자.

생긴 모양은 그냥 자유물체도 같은데

여기서 그걸 알아낼 수 있나요?

그럼!

자유물체도니까 힘평형, 모멘트 평형식을 세울 수 있어.

이 모델의 윗부분만 떼어서 보자.

위에서 P가 내려오니까 자연히 아래에선

반대방향 P가 있겠지

수평합력은 아예 없고,

용수철이 모멘트를 가하고 있을 거야.

모멘트 크기를 모르잖아요.

아차. 이걸 말 안 했네.

용수철 훅의 법칙 F=kx 알지?

회전용수철도 비슷한 법칙이 있어

M=2βθ.

θ는 회전각이고

β는 회전강성도야.

왜 2가 들어가는지는 지금 묻지 말자.

힘 합력은 계산했으니까

남은 건 모멘트 평형식인데...

기준점은 윗점 아니면 아랫점

그런데 말이죠.

P가 가로로 얼마나 떨어졌는지를 모르는데요.

그건 융통성 있게 넘어가자

이 휜 재료와 수직선이 각각

부채꼴의 반지름이라고 가정하는 거야.

어차피 재료는 철, 알루미늄이야

아주 조금 휘었겠지

그래요?

그럼 반지름 곱하기 중심각이니까

θL/2네요.

그럼 모멘트 평형식을 써 볼게요

아랫점을 기준으로 하고 시계 반대방향을 +로 할 때

식이 이렇게 나오네요.

좋아.

아까 말한 회전용수철 법칙 속 M에

우리가 구한 M을 넣어보는 거야.

식이 나왔네요. θ를 양변에 나눌 수 있으려나.

나눌 수 있어.

0이면 좌굴하지 않았다는 말이잖아?

그런 경우는 제외해야지.

그럼 이렇게 되고.

P는 4β/L이네요.

실제 재료엔 용수철이 없으니

모델엔 맞는 식일지 몰라도

기둥 하나를 가져다놓고 임계하중을 구하라면

구하진 못하겠네요.

그래.

하지만 다음에 조금 진지한 좌굴에서는

오히려 쉽게 해달라고 빌지도 모른다구?

좌굴 2편에서 계속...

보의 처짐(Deflection)

으앗!

텐트가 한가득이잖아!

내가 모르는 사이에 전쟁이 나서

피난민들이 몰려온 건가...

음냐.. 음냐...

선배?

왜 거기서 주무세요?

무슨 일이 벌어지고 있는 거죠?

응?

아, 왔구나. 나 샤워 좀 하게

여기 좀 맡아주라.

맡다뇨.

부동산 알박기도 아니고 왜 이곳을 맡아야 하죠?

너 작년 학교축제 안 왔니?

네. 작년 축제날에 학교 밖에서 미팅했거든요.

설마 학교축제를 기다리는 텐트인가요?

그래. 과별로 텐트를 차리고 줄을 선 거지.

드디어 오늘 저녁부터 축제가 시작돼.

연예인들을 바로 앞줄에서 봐야지

표값 가성비를 뽑지 않겠어?

그렇다고 텐트까지...

방탄소년단이라도 오나요?

사실, 몰라.

주최측에서 안 알려주거든.

애초에 학생회가 아니라 응원단에서 개최하는 축제고

연예인보다는 응원이 메인이라

연예인을 알려줬는데 별로이면

아예 참석을 안 한다나?

하지만 방법은 있지.

아이돌과 가수 소속사는 스케줄을 공지하니까

여러 가수들 스케줄을 뒤지면 조금은 알 수 있어.

선배. 눈꼽부터 떼셔야 할 것 같네요.

맞다.

며칠 사이 토목 이야기를 안 했지?

쇠뿔도 단김에 뽑으라고

바로 시작해 보자.

텐트에서 재료역학을 할 줄이야...

보의 처짐

텐트면 어떻고 무인도면 어때?

오늘 얘기할 보의 처짐은

재료역학의 꽃이야, 꽃!

선배는 뭐든 제일 중요하다고 하는 것 같은데

제 착각이겠죠?

크흠! 크흠!

야외에서 자다 일어나서 몸상태가 별로네.

보는 힘이나 모멘트를 받으면

당연히 위나 아래로 처질 거야

나무판자 위를 걸어보면 확실히 느낄 수 있지.

문제는,

처지는 깊이를 구하는 거겠죠.

우린 토목과니까요.

한번 추측해보자.

잘 안 늘어나는 재료라면

그 처짐이 작지 않을까?

E가 크다면요?

그렇겠죠?

그리고 묵직할수록

덜 처질 거야.

김 한 장은 잘 구부러지지만

김밥은 잘 구부러지지 않으니까.

비유가 좀 이상하지만

맞는 말 같아요.

이제 수학적으로 접근해 보자

프로처럼!

일단 이 장면을 보자.

어디서 많이 본 것 같지 않아?

네,

지난 휨응력 시간에 본 그림이잖아요.

꽤 복잡했는걸요.

휘어지는 재료(보)의 모습을

일종의 부채꼴, 원의 일부라고 가정해서

그 거동을 구해 봤어.

그때 곡률이라는 개념을 말했어.

그리스 문자 카파(κ)로 썼는데,

기억해?

네.

곡률은 반지름의 역수였죠?

클수록 더 급하게 휘어지고요.

그때 곡률식은

곡률=M/EI였어.

이걸 유념하고 다음 내용을 가 보자.

자, 이번에도 보가 힘을 받아서 휘었어.

중간에 미소길이 dx를 살펴보자.

지금 dx 안에서 휜 보의 길이를 ds라 하고

이 ds를 부채꼴이라 보는 거야.

부채꼴 중심각은 dθ로 하자.

수평과 비교해

ds 시작점에서 보가 이루는 각도는 θ야.

시작점의 처짐은 ν(그리스 문자 뉘/뉴)로 표시하자.

난 3학년까지 이게 브이인 줄 알았지 뭐야.

보는 오른쪽으로 갈수록 더 올라가는데요.

ν도 변하는 거 아닌가요?

ds가 가는 사이 더 처진 크기는

자연스레 dν가 되겠지.

자!

곡률은 얼마일까?

곡률은 반지름의 역수라고 했죠.

반지름은 호의 길이/각도니까

ds/dθ고

곡률은 dθ/ds가 되네요.

그런데 말야.

우리가 다루는 재료들은 대부분

처지고 변형하는 길이가 아주 아주 짧아.

그림은 축 처지게 그리지만

실제론 눈으로 보기도 힘들지.

금속이 치즈처럼 죽죽 늘어나면

그건 그것대로 공포스럽겠네요.

말이 나와서 말인데,

살짝 반칙을 쓰려고 해.

반칙요?

ds는 구하기 어렵잖아?

그런데 실제로 ds는 dx랑 아주 비슷해.

... 그러니까, ds 대신에 dx를 넣자?

왜 안 돼?

'수학적'으로 구해 보자면서요.

정치와 경제로 정하는 최저임금, 버스요금 등에 비하면

이 정도는 아주 냉철한 결정이지.

알았어요.

저도 제가 들을 강의를

굳이 어렵게 만들고 싶진 않아요.

좋아!

ds는 dx로 바꾸자!

그럼 곡률은 dθ/dx야.

약속한 거다?

약속한다 해도

이게 처짐과 무슨 상관이죠?

봐봐.

아까 ds 왼쪽 시작점이

수평과 이루는 각도를 θ라고 했잖아?

근데 그거 알아?

θ가 아주 작으면, tanθ랑 구분하기 힘든 거?

... 그러니까 θ를 tanθ라고 하자?

알아.

또 반칙이긴 한데...

알았으니까

빨리 말해 봐요.

tanθ는 구하기 쉬워.

네.

dν/dx잖아요.

응. 따라서

θ=tanθ=dν/dx라 말할 수 있지.

곡률은 θ를 x로 미분한 값이고

θ는 처짐을 x로 미분한 값이네요.

그렇담 곡률은

'처짐을 미분한 것을 미분한 것'이 아닐까?

ν를 x로 두 번 미분한 것이다?

그치. 근데 처음에 말했지.

곡률=M/EI라고.

잠깐만요. 곡률은 M/EI면서

동시에 처짐을 두 번 미분한 값이라는

답이 나오네요.

그래. A=B고 A=C라면

B=C지.

따라서

처짐을 두 번 미분한 것은 M/EI와 같아.

그래서, 처짐은요?

두 번 미분한 것이 M/EI니까

처짐을 구하려면

두 번 적분해야 하지 않을까?

처짐은 결국

M/EI를 x에 대해 두 번 적분한 것이다, 이 말이죠?

설마 고등학교에서 적분을 안 배우진 않았지?

배웠죠.

그래서 궁금해요.

적분은 적분상수가 생기잖아요.

그렇지.

두 번 적분하면 적분상수가 둘이나 생기는데

어떻게 정확한 처짐을 구하죠?

경계조건(Boundary Condition)

생각해 봐.

시험에서는 어떻게 적분을 구했지?

적분상수를 알도록 힌트를 줬죠.

x=0일 때 f(x)가 얼마라든가,

x=0일 때 f'(x)가 얼마라든가...

처짐을 구할 때도 그런 힌트가 있어.

그걸 경계조건(Boundary Condition)이라 부르지.

예를 들면요?

이 보를 봐.

왼쪽 끝은 벽에 박혀 있어.

따라서 이쪽은 처질 수도 없고,

심지어 휠 수도 없지.

즉 x=0일 때

두 번 적분한 식(처짐)의 값은 0이야.

또 x=0일 때

한 번 적분한 식(기울기)의 값도 0이지.

다른 보도 볼까?

이 보는 양쪽에 지지가 있어서

처질 수 없어.

그럼 x=0, L일 때 처짐이 0이네요.

게다가 보와 하중이 좌우 대칭이라서

정중앙이 최대로 처진다는 것도 알아.

따라서 x=2/L일 때 기울기가 0이지.

이런 조건들을 이용하면 적분상수를 알 수 있고

처짐과 기울기를 구할 수 있지.

잠깐, M/EI를 한 번 적분하면 기울기였네요.

저도 모르는 사이에 이해해 버렸어요.

조건이 부족할 때 쓰는 방법이나

다른 처짐 계산방법(모멘트 적분법)도 차근차근 알아보자.

우선 씻고 올 테니까

자리 좀 지키고 있어.

(텐트에서 이상한 냄새가 나...)

오늘 배울 것

- 변형 에너지는 무엇일까?

- 축하중을 받을 때 변형 에너지는 얼마일까?

- 비틀림 상태의 변형 에너지는 얼마일까?

- 굽힘 상태의 변형 에너지는 얼마일까?

요즘 대학생들은 뽀빠이를 알까?

와, 선배. 이러기예요?

누가 들으면 나이 열 살은

차이 나는 줄 알겠네.

내가 좀 늦게 태어나서

사촌이나 큰집 나이가 많아.

그 사람들이 겪은 8, 90년대를

나도 간접 경험했지.

뽀빠이라면 저도 알아요

옛날 만화 주인공이죠?

시금치를 먹으면 강해진다는...

맞아

근데 뽀빠이는

8, 90년대가 아니라 6, 70년대인데...

우리 아빠도 늦게 태어났거든

시금치를 먹으면 근육이 생겨난다!

실제로 그러면 나라에서 시금치 공급량을 조절하겠지.

시금치에 단백질이 얼마나 있다고...

중요한 건, 무언가 집어넣으면 무언가 쌓인다는 거야.

우리가 살펴볼 변형 에너지(Strain Energy)가 바로 그런 경우지

0. 용수철의 변형에너지

이과라면 배웠겠지만

일(힘X거리)은 곧 에너지야

내가 공을 밀어 일을 하면

공에는 운동에너지가 발생하지.

정말 오랜만에 들어보네요

용수철도 그래

내가 용수철을 힘으로 밀면

용수철에 일을 했지

그럼 그 일은 어디로 갔을까?

에너지가 되어서

용수철에 있죠

탄성에너지라고 부르던가요?

그럼 그 탄성에너지는 어떻게 구하지?

에너지=일이니까 힘X거리인데,

민 거리에 따라 필요한 힘이 다르니까(F=-kx)

힘-거리 그래프를 그리면 직선이 나오고

그걸 삼각형으로 구하면...

1/2*kx^2이네요

1. 축하중의 변형에너지

재료는 탄성이란 점에선 용수철과 비슷하지.

하중은 일을 하고 그 일은 재료 속에서

변형 에너지가 된다고

재료에 축하중을 줄 때 재료에 들어간 에너지도

같은 원리로 구할 수 있지 않을까?

마지막에 힘-거리 그래프를 구했지?

힘은 하중이고

거리는 재료의 길이변화, 즉 변형량이야

하중-변형량 그래프를 그려봐

용수철이랑 같죠

이렇게 일직선이요

그럼 이번에도

재료에 들어간 에너지는 삼각형이네

Pδ/2.

우린 축하중 변형량이

δ=PL/EA임을 알아

('플리즈'로 외우면 좋지)

이렇게 식을 다시 쓸 수 있어.

2. 비틀림의 변형 에너지

하중(힘)이 변형량(길이)를 만든다면,

토크(비틀림힘)는 무얼 만들까?

돌리니까... 각도?

토크의 짝은 '회전각'이야

이 사실은 비틀림 변형 에너지를 구하는 단서지

아까 하중-변형량 그래프를 그리듯

토크-회전각 그래프를 그릴 수 있어

우린 예전에 토크에 따른 회전각 공식을 구했지

(Φ=TL/GIp, Ip=극관성모멘트)

토크와 회전각은 비례하네요

이번에도 그래프는 일직선이고

이번에도 삼각형 모양이겠네요

'이번에도' 그 삼각형 식에

회전각 식을 넣으면 더 자세한 식이 될 거야

이렇게 끝인가요?

뭔가 불안한데...

우리는 복잡한 비틀림은 생략했어

부정정 비틀림, 얇은 관 비틀림 등

그걸 했다면 비틀림 상수(Torsion Constant)도 다뤘겠지만

어쩔 수가 없지

그건 새빛이 네가 개강하면 직접 배워

3. 굽힘의 변형 에너지

제발 제발!

굽힘도 하중-변형량, 토크-회전각처럼

모멘트-무언가 구하기 쉬운 값이었으면!

행운의 여신이 이번엔 네 손을 들어줬네

(행운의 남자신은 없을까? 웬만하면 잘생긴 신으로)

휨을 만드는 것은 단연코 모멘트야

문제는 모멘트와 짝이 될 '그거'지

'그거'가 뭐죠?

질질 끌지 말고 알려주세요

변형량과 회전각은

하중과 토크가 클수록 값이 커졌어

그렇다면

'그거'는 휨이 클수록 커지는 값이 아닐까?

휨이 커지면...

재료가 더 둥글어지고...

'둥금'?

우린 지난 시간에

'둥금'을 뜻하는 단어

'곡률'을 배웠어

그리스어 카파(κ)로 표현했고

'그거'는 카파인가요?

아니, 곡률은 모멘트에 비례하지만

더 중요한 건

보가 둥글어지면서 생겨나는

부채꼴의 중심각 θ야.

중심각θ=호/반지름

= L/ρ = ML/EI가 돼

( ρ = EI/M이거든.

이 부분은 보의 처짐 시간에 할 거니까

그냥 그렇다고만 알고 있어)

이제 M과 θ 관계를 아니까

그래프로 그려 볼래?

잠깐,

또 일직선이고

또 삼각형이네요.

그래. 참 쉽지

안 그래?

물론 여러 하중/토크/휨응력이 걸리거나

부정정이거나 재료 단면이 비었거나....

인 경우는 더 배워야 하겠지만 말이야.

오늘의 복습

축하중을 받는 재료의 변형에너지는?

비틀림을 받는 재료의 변형에너지는?

옛날 옛적

어느 삼형제가 살았어.

삼형제는 사이가 안 좋았는데

나이가 많이 든 아버지는

자기가 죽고 나서 형제들이 싸울까 봐

걱정했지.

그러던 어느 날

아버지가 아들들한테 말했어.

"화살을 구해오너라."

아들들이 화살을 가져오자

아버지는 화살을 하나씩 부러뜨려 보라고 했어.

아들들은 쉽게 부러뜨렸지.

아버지는 화살을 모아 다발을 만들고

부러뜨려 보라고 했지.

아들들은 온힘을 가했지만

다발은 부러지지 않았어.

아버지는 말했지...

너희들이 혼자면 약하지만

여럿이 뭉치면 이처럼 강해진다.

뭐, 이런 이야기죠?

요즘은 화살도 안 쓰고

기계도 있어서

화살 수백 개를 모아도

단번에 부러뜨리는 세상이 됐어요.

사람은 사회생활을 할 수밖에 없어

누구와 살아가느냐만 다를 뿐.

그리고 진지한 이야기에 끼어들지 않는 건

사회생활의 필수지.

선배~

졸업도 안 했는데 꼰대가 되시면 곤란하니까

제가 말려드린 거예요.

흠흠!

그래. 아는 건 토목뿐.

재료역학 공부를 시작해보자.

아까 옛날 이야기처럼

화살을 부러뜨린다면

구부리고 휘게 되겠지?

재료를 구부리면 어떤 일이 발생할까?

구부러지다 조금씩 찢어져서

마침내 부러지겠죠.

왜 찢어질까?

늘어나기 때문이지.

재료가 늘어나다가 결국 끊어지는 과정은

예전에 설명해 줬지?

그럼 인장 때문에

찢어지게 되나요?

인장이 벌어지면 인장응력도 생기겠지?

즉 우리는 재료가 휘면서 생기는 이런

휨응력을 계산할 줄 알아야 해.

1) 인장과 압축

여기 수많은 방이 모인 호텔이 있어.

내가 이 호텔을 이렇게 굽히면,

방이 커질까 작아질까?

아랫부분은 늘어나겠지만

윗부분은 줄어들죠.

그래, U자 모양으로 휘게 하면

윗부분은 압축을 받고

아랫부분은 인장을 받지.

즉 휨응력은 압축과 인장을 아우르는 개념이야.

2) 변형률과 응력 구하기

인장/압축 응력을 구하려면

변형률을 구해야겠지.

변형률을 구하기 위해

재료의 일부분(미소길이) dx를 잘라 가져와보자.

구부러진 dx는 아주 작은 부분이니까

우린 이걸 원의 일부, 부채꼴이라 생각할 거야.

부채꼴 하니까

갑자기 소화제가 떠오르네요.

마케팅이 이래서 무섭다니까.

수학 용어를 듣고 소화제가 떠오른다니.

아무튼 부채꼴의 중심각은 dθ야.

문제는 부채꼴의 호 길이겠지.

당연히 dx를 가져왔으니

dx가 아닐까요?

아까 말했듯이

윗부분은 압축/아랫부분은 인장을 받아.

길이가 변한다는 뜻이지.

따라서 위치에 따라 길이가 달라져.

그럼 각도X반지름으로

부채꼴 호 길이를 구하면 되겠죠?

맞는 방법인데 순서가 잘못됐어.

우린 위치에 따른 호 길이를 따로 구할 거야.

윗부분은 dx보다 짧고

아랫부분은 dx보다 길 테니까

일단 길이가 여전히 dx인 곳이 어딘가에 있을 거야.

어딘지는 모르지만 말야.

어딘지도 모르면서 정하나요?

그게 수학의 괴상한 특징이지.

아무튼 이 '불변의 장소'는 휘고 나서도 길이가 dx야.

그 위는 압축을 받아 dx보다 짧고

그 아래는 인장을 받아 dx보다 길지

이 '불변의 장소'에서 y만큼 위로 간 곳의

길이는 얼마나 될까?

이제 새빛이 말대로

반지름과 각도를 써도 돼.

반지름은 원래 반지름(ρ라고 하죠)에서 y만큼 뺀 길이고

각도는 dθ니까

둘을 곱하면 그 길이는

(ρ-y)dθ죠.

좋아.

이 부분은 휘기 전 길이가 얼마였을까?

당연히 dx였죠.

그래. 원래 길이와 변한 길이를 알면

토목과로서 변형률을 구할 수 있지?

변형률은 (나중 길이-원래 길이)/원래 길이예요.

( (ρ-y)dθ - dx)/dx인 거죠.

dx는 ρdθ니까

분수를 정리하면...

식을 풀면

변형률은 -y/ρ이야.

1/ρ은 곡률(Curvature)로 쉽게 쓸 수 있어.

그리스어 문자로 카파(κ)라고 쓰는 편이지.

그럼 변형률은

-yX카파네요.

y가 +라면, 즉 '불변의 장소' 위라면

재료는 압축을 받고 변형률은 음수네요.

좋아.

불변의 장소는 중립축이라고 부르자.

불변의 장소는 왠지 중2병 같잖아?

이제 변형률을 아니까

인장/압축응력은 E만 곱하면 되겠어요

-y X 카파 X E요.

그런데 카파(곡률)는 어떻게 구하죠?

새빛아,

곡률은 어떻게 결정될까?

음. 얼마나 잘 휘느냐니까

재료를 휘는 모멘트나 재료의 유연함으로

정해지지 않을까요?

맞아. 하지만 수학적으로 구하면

휨응력을 알 수 있겠지.

3) 도심과 단면1차모멘트

그 전에 우리가 정한

'불변의 장소', '중립축'이 어딘지부터 알아보자.

맞아요.

곡률을 구해도

그 위치를 모르면

y를 구하지 못하니까요.

생각해 보면,

직사각형이나 원일 때 그 중립축은

당연히 중심점이 아닐까?

뭐, 그렇... 겠죠?

수학적으로 살펴봐야 겠지만요.

여기서 정역학적 접근이 필요해.

모든 정지한 부재는 합력이 0이다.

제일 중요한 사실이었지.

내가 이 단면을 잘라 볼게

위는 압축, 아래는 인장이지만

결국 모든 단면적으로 계산하면 합력은 0이 될 거야.

힘은 응력 곱하기 면적,

선배가 하듯이 미소면적 dA로 계산해 볼게요.

힘은 -y X 곡률 X E X dA가 되고

이걸 단면적에 적분하면 0이 된다는 말이죠.

곡률이랑 E는 상수니까 인테그랄을 나가고

남은 건 y랑 dA.

y dA 적분은 0이 되겠네요.

맞아. 정확히 말하면

0이 되는 게 아니라

0이 되어야 해.

y dA 단면 적분이 0이 되게 하는 축이

바로 '불변의 장소', 중립축이 될 거야.

어떤 축에서 미소면적까지의 거리를 곱해 적분한 값을

우리는 단면1차모멘트(First moment of area)라 부르지.

단면1차모멘트는 면적의 도심(Centroid)을 지나는 축에서 계산하면

0이 되는 특징이 있어.

그럼 어떤 단면을 지닌 재료가 휠 때,

그 중립축은 그 단면의 도심을 지나겠네요.

맞아.

직사각형과 원의 도심은 당연히 그 중심이고

여러 도형의 도심 위치는 아래 링크를 참조하라고.

여러 도형의 도심 위치(위키피디아)

4) 응력과 모멘트의 관계

이제 중립축 위치도 알았겠다,

곡률을 식에서 없애보자.

그래야

휨응력을 쉽게 구하겠죠.

우리가 이번에 사용할 힌트는

바로 모멘트야.

단면의 합력은 0임은 알겠지?

하지만 모멘트 합은 0이 아니야.

엄연히 휘게 만드는 모멘트가 존재하거든.

즉 모멘트를 전부 합하면

휨모멘트와 같아.

모멘트 합력은 이번에도

미소면적을 사용한 적분으로 구하는 거죠?

기준점은 어디로 할까요?

당연히 중립축에서 해야 쉽겠지.

중립축에서 y만큼 떨어진 dA에 걸리는 모멘트는

응력XdAXy일 거야.

하지만 여기에 -를 붙여야 해.

왜요?

재료역학에서는 재료를 U자 모양으로 굽히는 모멘트를

+로 정하는 편이야.

단면을 잘라서 왼쪽 재료를 남겼다면

모멘트는 반시계 방향이어야 U자로 굽히겠지.

그런데 아까 구한 응력 식은 y가 +일 때 -가 되어서

U자로 굽히는데도 모멘트가 -가 되거든.

그래서 맞춰주기 위해 -를 또 붙이는 거야.

-를 붙이면

dM = -응력XdAXy가 되네요.

응력은 -y X 곡률 X E니까

dM = y^2 X 곡률 X E X dA가 되죠.

적분하면 곡률과 E는 빠져나가고

y^2dA가 인테그랄에 남네요

이건 y가 2차니까

적분하면 단면2차모멘트라도 되나요?

오, 어떻게 알았어?

맞아. 이건 단면2차모멘트(Area Moment of Inertia)라고 하지.

단위는 길이 네제곱이고

이것도 기준축에 따라 값이 달라.

하지만 여기서는

당연히 중립축(도심을 지나는 축)에 대한 값이겠죠?

맞아. 단면2차모멘트는 이제 I라고 쓰자.

그럼 적분을 끝낸 식은

M=곡률X E X I가 되겠지.

하지만 아직도 곡률이 식에서

안 없어졌잖아요.

곡률 없애는 게 목적 아니었나요?

기다려 봐. 없애줄 테니까.

M=곡률X E X I라면

곡률=M/EI겠지.

응력은 -y X 곡률 X E였으니까

여기에 곡률 대신 M/EI를 넣으면

E는 약분되고

응력 = -My/I가 되지.

짜잔!

그럼 휨응력은

휨모멘트, 단면2차모멘트, 중립축에서 세로로 떨어진 높이에 따라

결정되는군요.

생각해 보면 특이하지.

즉 단면과 휨모멘트가 정해지면

중립축에서 떨어진 거리와 응력은

일차함수 관계나 마찬가지야.

그럼 최대 인장/압축 휨응력은

도심에서 세로로 가장 멀리 떨어진

부분에서 생기겠네요.

휨을 대비하려면 아주 납작하게 만들어야겠어요.

하지만 그럼 I가 작아져서

휨응력이 커져 버리는걸.

최대 휨응력이 작으려면

도심에서 제일 먼 곳까지의 거리는 작고

I는 커야겠지.

I/거리는 흔히 단면계수(Section Modulus)라 하고 Z로 나타내.

단면계수가 작을수록

최대 휨응력은 작겠네요.

그래.

시험을 위해서라면

1) 보 내부에 걸리는 모멘트 구하는 법

2) 몇몇 도형 도심 위치

3) -My/I

를 꼭 기억하라고!

다음 시간에...

지난 시간(링크)에 이어

비틀림을 살펴볼 거야

만약 재료 단면이 원형이 아니라면

비틀림을 어떻게 구할까?

단면이 원일 때

전단변형률은 반지름X비틀림변화율이었어요.

단면이 원이 아니라면

반지름이 제각각이라서 구하기 힘들겠죠?

지금부터는 수학적으로 한번 놀아볼 거야

안전벨트 꽉 매라고.

토크가 걸리는 어떤 재료의 단면이 있어.

단면은 토크 때문에 비틀리지.

단면에 걸리는 모멘트를 다 합치면(적분하면)

그건 토크와 같을 거야.

선배의 지금 말은

단면 모양에 상관이 없군요.

일반적 접근. 골때리지만 좋은데요.

칭찬으로 들을게.

아무튼 단면에 걸리는 모멘트는 불균일하니까

dA로 조각 내서 구해야 해.

모멘트는 힘X거리야.

힘은 dA에 걸리는 전단력이겠지?

전단력은 전단응력X넓이니까

타우XdA일 거야.

거리는 말 그대로 중심에서 dA까지의 거리겠지.

로(ρ)로 쓰자.

중심이 어딘지도 모르면서

거리를 알 수 있나요?

지금은 모르지만

어딘가에는 있을 것 아냐.

단면마다 위치는 다르겠지.

일반적 접근.

방금 네가 좋아한 거 아냐?

아. 그 말 취소할래요.

그렇다면 이 dA가 받는 모멘트 dM은

τρdA라고 할 수 있지.

문제는 τ야.

우린 이걸 적분할 건데

웬만하면 위치에 불변하는 문자만 남기고 싶거든.

τ는 중심에서의 거리에 비례하잖아요.

중심이 어딘진 모르지만.

그래. 그걸 응용하자.

τ는 0~최대전단응력 사이 값이고

최대전단응력에 r/R을 곱한 거였지.

여기선 r=ρ니까 바꾸어 쓸 수 있어.

그럼 위치에 따라 달라지는 변수는

ρ밖에 안 남았네요.

어때?

이러면 적분하기 쉽겠지?

이걸 단면 전체로 적분한 값이 토크와 같아!

거리 제곱을 전 면적에 적분한 값이라.

이런 값들은 재료역학 책 뒷면에 다 구해 놓던데...

맞아.

이 특별한 값은

극관성 모멘트(Polar moment of Inertia)라고 해.

단위는 거리 네제곱이고.

속이 꽉 찬 원의 극관성 모멘트는 외워두라고.

(극관성 모멘트 식을 보면 추측이 가능하지만

사실 극관성 모멘트는 기준 위치에 따라 값이 달라져.

비틀림에서는 물론 단면의 중심에서 잰

극관성 모멘트를 쓴다는 점 명심해.)

좋아요. 그럼 최대 전단응력을 구했네요.

하지만 우리가 원하는 부분의 전단응력은요?

그것도 쉽지.

우린 이미 전단응력과 최대 전단응력 사이 관계를

r/R로 나타내지 않았어?

그럼 결국 단면에 상관없이

전단응력은 r/R 관계가 들어가는 거군요.

다만 그 중심점을 찾는 게 과제일 뿐.

생각해 보면 간단한 관계야.

전단응력은

1) 토크에 비례하고

2) 중심부터의 거리에 비례하고

3) 극관성모멘트에 반비례하지

극관성모멘트는 넓을수록 큰 편이니까

넓은 단면일수록 전단응력이 낮음,

그러니까 비틀림에 더 잘 버티겠네요

비틀림각

더 재미있는 일이 남았지.

지난번에 GX세타가 들어가는

전단응력 공식 기억나?

전단응력은

Gρθ였죠?

그래. 여기에 우리가 지금 구한

전단응력 식을 넣고

θ를 구해볼래?

그럼 이렇게 되는데요?

토크 나누기 G 나누기 극관성 모멘트요.

θ(비틀림변화율=길이당 회전각)은

토크에 당연히 비례하고

G에 당연히 반비례하겠지만

극관성 모멘트에도 반비례함을 알 수 있어.

우리 위대한 공학자들은

바로 G와 극관성 모멘트를 붙여서

비틀림강도(Torsinal Rigidity)라 이름 붙였지.

비틀림강도가 높을수록

비틀림변화율이 낮아져요.

즉 같은 토크를 주어도 길이당 비틀리는 각도가

낮다는 거죠.

여기에 길이를 곱하면

총 돌아간 각도,

즉 비틀림각이 되지.

(물론 길이마다 비틀림이 일정해야겠지?)

음...

슬슬 뇌세포가 배배 꼬이는데요?

여기 식에 있는 네 문자

(토크, 길이, G, 극관성모멘트)

사이에서 외부에서 오는 건 토크 하나.

나머지는 전부 재료에서 결정돼지.

맞춰 보죠.

또 세 수를 묶어서

무슨무슨 수라고 부를 거죠?

슬프지만 맞아.

이 세 수를 묶어서

비틀림 강성도(Torsional Stiffness)라고 하지.

뒤집으면 비틀림 유연도(Torsional Flexibility)고.

왜 굳이 있는 값의 역수를 만들면서까지

새로운 숫자를 만드는 걸까요?

나도 알고 싶어.

아무튼 복잡하니까

마음을 가라앉히고 공부하는 게 좋아.

그리고 선배,

아직 단면변화가 없는 재료의 비틀림은 어떡하죠?

마침 다음 시간에 설명해 주려던 참이었어...

새빛아,

이번 주에 새로 생긴 빵집 가봤어?

와플과 꽈배기를 주로 팔던데

네,

고소한 와플 위에 사과잼을 깐 다음

바닐라 아이스크림을 얹고

초콜릿 시럽을 샤샤샥 뿌리면

천국의 맛이 따로 없던데요

그래. 와플 맛있지.

하지만 오늘은 꽈배기 이야기를 하고 싶은걸?

솔직히 말해봐요.

꽈배기로 토목 이야기를 하려는 거죠?

그래.

이제 속일 수도 없겠네.

꽈배기니까 당연히

재료를 뒤틀 거고요.

맞아.

오늘은 비틀림(Torsion)을 이야기할 거야.

비틀림은 말 그대로

꽈배기처럼 재료를 비트는 걸 말해.

우린 지금까지 재료를

늘리거나 누르거나

찌그러뜨리는 작용을 다뤘으니

비트는 건 또 다른 작용이지.

그럼 x축응력, y축응력, 전단응력 말고도

네 번째 응력이 생기는 건가요?

아니야. 걱정하지 마.

새로운 응력은 아니니까.

우선 이 원형 봉을 비튼다고 생각하자.

비트는 힘은 돌리는 힘이지?

그럼 힘과 모멘트 중에 뭘까?

돌리는 힘이라면 모멘트겠죠.

모멘트, 특히 지금처럼 비트는 모멘트는

비틀림 모멘트(Twisting Moment)나

토크(Torque)라고 부르지.

표시할 때는 돌아가는 화살표를 쓸 수도 있지만

오른손 법칙에 따른 직선 겹화살표를 쓰기도 해.

아무튼 이 원형봉은 비틀림모멘트를 받아

꽈배기처럼 돌아가겠지.

선배, 봉이 공중에 떠 있다면

비틀어도 비틀리지 않고 그냥 돌아갈 텐데요?

맞아. 사실 비틀림 모멘트는 쌍으로 작용하지

안 그럼 비틀 수가 없으니까 말이야.

이렇게 쌍으로 작용하는 힘을 우력(짝힘, couples)라고 해

예를 들어 봉 반대쪽이 벽에 박혀서 돌지 못한다면

이쪽에서 비트는 모멘트와 크기는 같고 방향이 반대인

다른 모멘트가 벽쪽에서 생길 거야.

이렇게 했으니 이제 비틀리겠지?

이제 중간중간 자른 단면을 보자.

상식적으로 벽에서 멀어질수록 원래 상태에서 더 비틀릴 거고

단면은 더 크게 회전할 거야.

거기까진 이해하겠어요.

순수한 원형 봉이고, 지금 비틀림모멘트 말고

다른 작용이 없다면

단면이 회전한 각도는 일정하게(일차함수처럼) 늘어날 거야.

그것도 쉽네요.

각도가 일정하게 늘어난다면

봉 절반 위치에서 돌아간 각도는

(총 돌아간 각도)/2일 거야.

더 생각해보면

길이당 돌아간 각도가 죽 일정할 거야.

바로 이 길이당 비틀림각이

비틈림을 표현하는 방법이고,

이걸 비틀림변화율(Rate of Twist)라고 부르자

문자로는 세타(θ)로 쓰는 편이지.

각도도 세타인데,

길이당 각도도 세타라면 좀 그렇네요.

자, 더 중요한 문제는

비틀림을 받을 때 어떤 응력을 얼마나 받느냐야.

음... 뒤틀리니까 전단응력은 받겠는데

축응력은 잘 모르겠네요.

잘 대답했어.

비틀림은 오직 전단응력만 만들어

순수전단(Pure Shear)인 거지.

그러니까 전단응력만 구해보자.

어디부터 구할까?

어디라뇨?

당연히 이 봉의 전단응력이죠.

봉의 표면과 내부는 단면이 돌아간 각도는 같아도

엄연히 뒤틀린 양이 다르기 때문에

전단응력이 다르지 않을까?

듣고 보니까 그렇네요.

일단 표면부터 알아보자.

봉에서 아주 작은 길이 dx를 잘라내서

살펴보는 거야.

길이당 비틀린 각도는 세타였지?

만약 오른쪽 단면은 왼쪽 단면에 비해

(세타Xdx)만큼 돌아갔을 거야.

전단변형률을 다시 떠올려 보자.

전단변형률은 비틀려서 생긴 각도변화였잖아?

그러니까 이 요소의 전단변형률은

여기 이 각도와 같겠지.

삼각함수가 나올 시간인가요?

머리가 띵~

간단히 생각하자.

일종의 부채꼴로 보는 거야.

부채꼴의 중심각은 호/반지름이었지

호는 단면 속 다른 부채꼴의 일부고

이건 단면 돌아간 각도 X 단면반지름이야.

반지름은 요소의 길이 dx니까

계산하면 변형률은 단면 반지름 X 비틀림변화율이야.

비틀림변화율은 총 돌아간 각도/봉길이로

쓸 수도 있고.

전단변형률로 전단응력을 구하려면

전단탄성계수를 곱하면 되겠네요.

따라서 전단응력은 이렇게 나오죠.

잘 했어.

이제 봉 내부만 살펴보자.

이번에도 dx만 자르는데

전체 단면이 아니라 내부를 보는 거야.

잘라낸 반지름은 소문자 r로 하자.

돌아간 각도와 길이(dx)는 완전 똑같고

다른 것은 단면 반지름 뿐이야.

따라서 단면 반지름만 바꾸면

똑같은 식이 성립되겠지.

결국 전단변형률은

알고 싶은 위치의 단면 중심부터 잰 거리를

대신 넣으면 되네요.

전단응력은 여기에 G만 곱하면 되고요.

맞아. 아니면 이런 식으로

표면의 전단변형률로 나타낼 수도 있고.

정말 재밌는 건 이걸

평면응력에 넣어보는 거지.

봉은 전단응력만 받는 상태니까

세 응력 중에 하나만 존재하고 나머지는 0이야.

그럼 평면응력 식이 전단응력만 존재하겠네요.

공식에 넣으면 주응력은 곧

각도가 0일 때의 전단응력과 같고,

그 주응력이 나오는 각도는 45임을 알 수 있어.

즉 비틀림을 줄 때

45도 각도로 부서지기 제일 쉽다는 말이지.

평면응력/주응력 보러가기

만약 재료가 원형봉이 아니면 어떡하죠?

당연히 그런 질문이 나와야지.

그건 다음 시간에 살펴보자...

가끔은 그림으로 표현하는 것이 쓸모있기도 하지

함수를 그래프로 나타내면

이해하기 더 쉽듯이 말이야.

축응력과 전단응력을

그래프로 나타낼 수 있다는 것,

알고 있니?

sin과 cos이 있으니까

삼각함수 그래프가 될 것 같기도 하네요

단순한 삼각함수 그래프라면

여기서 소개할 일도 없겠지

독일의 크리스천 오토 모어(Christian Otto Mohr)는

평면응력 식과 전단응력 식에서

삼각함수가 있는 항만 우변에 남긴 다음

제곱해 더해봤어.

평면응력과 전단응력 식

제곱해 더한 식

sin과 cos 앞에 붙은 계수가 같기 때문에

제곱해 두 식을 더하면 묶을 수 있어

삼각함수 법칙에 따라

sin제곱과 cos제곱을 더하면 1이 되니까 사라지고

식은 이렇게 정리돼

각도회전이 없을 때의 두 축 응력과 전단응력은

이미 정해지니까

달라지는 건 평면응력 두 가지뿐.

하나를 x로, 하나를 y로 본다면

원의 방정식이지 않을까?

원의 방정식이라.

토목과를 들어와서 또 듣게 되다니...

아무튼 이 원은

x축이 인장응력, y축이 전단응력인 공간에서

중심점은 (평균인장응력, 0)이고

반지름은 R인 원을 나타내지.

이렇게 모어 원(Mohr's circle)을 그릴 수 있지.

그래서요?

그냥 수학으로 장난친 거 아닌가요?

모어 원을 그리면

각도에 따른 평면응력을 알 수 있어.

면이 돌아가면 모어 원에서도 각도가 돌아가거든

모어 원만 그려두면

평면응력을 알 수 있는 거지

단, 평면이 세타만큼 돌아가면

모어 원에서는 2세타만큼 돌아갈 뿐이지.

어떻게 평면응력을 알아내죠?

우선 방향을 잘 맞춰야지

우선 각도를 반시계방향으로 돌릴 때

모어 원에서도 반시계방향으로 돌려야 자연스럽겠지?

다만 이때는 전단응력이 +인 게 아래쪽이야.

그리고 돌리기 전에 현재 위치를 알아내자.

돌리지 않았을 때의 응력은 알기 때문에

모어 원에서 위치를 표시할 수 있어.

그 다음 돌아간 각도에 2를 곱해서

그래프에서 돌리자.

안 돌렸을 때 평면이 그래프에서 만든 각도는

원래 응력과 반지름을 역삼각함수로 구하면

나오니까

돌린 후의 각도를 알겠지?

그럼 그 각도에 맞게 삼각함수로

평면응력을 구할 수 있겠지?

같은 원리로 주응력을 구할 수 있어.

주응력은 모어원에서

제일 끄트머리인 점이죠?

최대인장응력은 중심점에서 반지름을 더하고

최대전단응력은 반지름 크기와 같겠죠?

여기로 돌리기 위한 각도를 구하고 2로 나누면

실제로 주응력을 만드는 각도가 나오고요.

그래. 배우는 게 빠르구나

모어도 처음 이 원을 그리고서

신기하단 걸 알았을까?

예능 프로그램을 보면

가끔 현미경으로 확대한 사진을 보여주고

무슨 물건인지 맞추라고 시키지 않아?

맞아요

근데 너무 확대해서 우둘투둘한 표면만 보이고

무슨 물건인지 짐작도 안 되더라고요.

그래.

그런 기념으로

우리도 좀 따라해 볼까?

어라?

지난 시간에 본

기울어진 경사면이잖아요?

여기에 생기는 인장응력과 전단응력은

깔끔하게 수학으로 구해 냈고요.

더 확대할 건덕지가 없죠.

확대하자는 게 아니야.

확대를 풀어보자는 거지.

엥? 이게 다가 아니라고요?

그럼.

잘 봐.

그러니까 선배 말은,

알고 봤더니 이 기울어진 표면이 겉표면이 아니라

(옆에서 보기에)직각직각한 부재의 내부였다, 이런 말이에요?

안될 게 뭐가 있어.

우린 이미 예전에

부재 내부를 쪼개서 그 표면에 걸린

내력을 알아냈어.

실제로 쪼갠 게 아니라 개념적으로 쪼갠 거였지.

그러니 반대도 되지 않겠어?

실제로 붙인 게 아니라 개념적으로 붙였다고,

즉 부재의 내부라고 상상할 수 있지.

말도 안 돼요.

부재엔 균일하게 축응력이 걸린다고

선배가 그랬잖아요.

지난번에 구한 기울어진 면 응력은

P/A랑 다르다구요.

균일한 응력은 면 방향이 다 같을 때 얘기고,

이건 면 방향이 달라.

같은 상황인데

면 방향에 따라 응력이 다르다고요?

그래요. 그렇겠죠.

면 방향이 바뀌면 당연히 단면적과

인장응력, 전단응력을 만드는 힘이 다르겠죠.

하지만 왜요?

왜 굳이 이미 있는 부재를

'개념적으로' 잘라 가며 방향에 맞는

응력을 구해야 하죠?

이 그림을 봐.

잘린 기둥이네요.

잘린 면의 각도가 45야.

왜일까?

그렇게 잘라서요?

이 기둥은 수직축에 맞게 압축하는 힘만 주었어.

물론 응력-변형률 선도에 맞게

항복응력과 극한응력을 지나 끊어질 수도 있었지.

하지만 그전에 45도 방향으로 끊기고 만 거야.

지난번에 배운 기울어진 면의 전단응력 기억하지?

거기서 최대 전단응력이 나오려면

각도가 45도였어.

그게 이것과 상관이 있나요?

있고말고!

45도가 전단응력이 제일 센 각도기 때문에

제일 먼저 그 각도로 부서지고 만 거야.

방향에 따라 응력이 다르니까

그 응력을 구하는 것도

공학인의 의무 아닐까?

공과대학에는

권리는 없고

의무만 가득하군요...

알았어요.

그래도

'개념적으로' 자른 면 말고

진짜 기울어진 면을 구하는 게

더 쓸모있어 보이네요.

물론 진짜 기울어진 면에 생기는

응력도 구할 수 있지!

잘 봐봐.

지금 보고 있는 건 응력요소야.

우리가 적분을 할 때 자그마한 덩어리(dx)를 떠올리듯

우리도 임의의 자그마한 덩어리를 만들 거야.

지금 응력요소에는

두 방향 응력과 전단응력이 걸려 있어.

지난번보다 좀 복잡하지.

(그림에 보이는 방향을 대체로 양(+)으로 해)

과연 다른 각도에서는

응력이 얼마나 걸릴까?

즉, 평면응력(Plane Stress)은 얼마일까?

우와.

삼각함수를 엄청 써야 할 것 같네요.

유도과정은 재료역학 교재를 참고하고,

여기서는 결론으로 들어가자!

설마 이거 외워야 되나요?

당근이지!

시험 볼 때마다 유도할 순 없잖니?

부호만 다르니까

어떻게든 외울 수는 있겠네요.

그치!

부호만 다르니까

둘을 더하면 첫 항만 남겠지?

지금 이 식에 따르면

결국 각도가 어떻든

인장(압축)응력의 합은 불변이네요?

맞아.

신기하지 않아?

그리고 전단응력도 알아두라고!

주응력

아까 45도로 부서진 기둥에서 봤듯이

응력이 최대가 되는 각도와

또 그때 응력을

구할 필요가 있어

그 각은 주각(Principal Angle),

그때 평면은 주평면(Principal Plane)이라고 하지.

최댓값을 구하려면

그래프를 그리거나

미분해서 0이 되는 지점을 찾아야겠죠?

그래.

삼각함수 미분은 너도 하기 싫지?

나도 하기 싫어.

그래서 이번에도

미리 알려줄게

최대응력

그래도 삼각함수는 없으니

평면응력보단 외우기 쉽겠죠.

그리고 이걸 알아둬.

어느 각도든 직교하는 두 방향

축응력의 합은 불변이었지?

그럼 생각해봐.

최대응력이 생긴다면

거기에 직각인 응력은 얼마나 될까?

합이 일정한데

하나가 최대라면

다른 하나는 최소겠죠?

그렇지.

최대응력이 생기는 각도에선

하나는 최대고 하나는 최소가 되는 거야.

이 최대/최소응력을 주응력(Principal Stress)이라 하지.

그리고 신기한 사실 또 하나!

주평면에서 전단응력은 0이라는 거!

전단응력 이야기가 나와서 말인데,

최대 전단응력도 알아야 하지 않을까요?

물론!

최대전단응력이 나오는 각도와

크기는 다음과 같아.

잠깐,

이거 주응력에 나오는 제곱근 속 식과

같은데요?

그래. 제곱근 밖에 있는 식을 없애면

바로 최대전단응력이 되지.

조금만 창의력을 발휘하면

두 주응력을 뺀 다음 2로 나누면

제곱근 식만 남게 되므로

이렇게 쓸 수도 있어.

아하! 그러니까

주응력만 알면 최대전단응력을

바로 구할 수 있군요!

평면응력과 주응력은

여러 강의에서 자주 쓸 테니까

확실히 알아두라고!

그래도 평면응력을

그래프나 표로 그려서

쉽게 본다면 좋을 텐데요.

그래서 재료역학에서 쓰는

특별한 그림이 있지...