재료역학 15] 기둥의 좌굴 (2)

오일러 좌굴

지난 시간에 네가 말했듯이

좌굴모델로 기둥의 좌굴하중을

알기는 어려워.

그래서 더 어렵고

더 정확한 모델을 가져왔지

아래는 핀 지지

위는 롤러 지지

그 위로 하중 P

같은데요?

맞아. 이상적인 기둥이지.

기중은 완벽한 직선이고

하중은 정확히 도심을 누르고

재료는 균열이 없고 완벽히 균일한

선형 탄성 재료야

이번엔 두 부분으로 쪼개지 말고

이렇게 곡선이 되었다고 가정하자.

그래도 왠지 중앙부를 잘라

자유물체도를 그릴 것 같은

느낌적인 느낌이 드는데요

응.

아랫부분을 자르면 이렇게 되겠지

수직 힘은 양 방향으로 P

수평 힘은 없고

잘린 부분에 모멘트가 걸릴 거야

처짐식 기억해?

처짐 두 번 미분이

M/EI와 같다는 거요?

그래. 그러니까

처짐을 알려면

우선 여기 걸리는 모멘트 M부터 구해야지.

모멘트 평형식을 써 볼래?

지난번엔 처짐을 부채꼴 식으로 구했지만

이번엔 처짐 ν가 있으니까

그걸 이용해 봐

아! 그리고

ν에는 -를 붙여.

처짐도 밑으로 가서 음수 취급했잖아?

시계 반대방향을 +로 했을 때

모멘트 평형식은...

이렇게 나오네요.

그래. 이제 식을 정리하면

M=-Pν고

이걸 처짐 식에 넣으면...

EIν'' + Pν = 0이네요.

이거, 설마 미분방정식?

왜 그렇게 놀라?

1학년 때 미적분 강의에서 배우지 않았어?

배우긴 했는데...

전공과목에서 미분방정식이 나올 줄은...

좋아.

수학시간이 아니니까 간단히 설명할게.

x'' + k^2 x = 0 꼴의 미분방정식의 일반해는

다음과 같아.

원래 식엔 ν 앞에 EI가...

아. 양변으로 나누면 되는군요

k^2가 P/EI고.

좋아. 우선 경계조건을 넣어서

C를 구해보자.

이 좌굴에서 확실한 건 뭘까?

음...

맨 아랫부분과 맨 윗부분은

처지지 않는다는 거겠죠?

맞아. 따라서 x가 0, L일 때

ν=0이 되지.

우선 x=0일 때 ν가 0임을 대입하면

두 번째 C는 0이란 것이 밝혀져

벌써 식의 반이 사라졌네.

두 번째로 x=L일 때도 ν가 0임을 대입하자.

그럼 Csin(KL)=0이 나와.

첫 번째 C가 0 아닐까요?

그럼 ν식 전체가 0이 되어버려

처짐이 없는데 좌굴이라 말할 수 있을까?

따라서 삼각함수가 0이겠군요

사인함수가 0이려면 안에 있는 값이

0이거나 π의 배수여야 해요

잠깐, 제가 먼저 말해보죠.

kL이 0일 순 없어요.

L이 0이 아니니까 k가 0이어야 하는데

k^2=P/EI고 EI도 0일 순 없으니

따라서 P=0이란 말이잖아요.

그것도 좌굴일 수 없죠.

오. 새빛이 똑똑한데.

맞아.

따라서 kL= π, 2π, 3π....가 되지.

kL=nπ (n=1, 2, 3...)라고 해도 되고.

식을 정리하면 드디어

좌굴하중 P를 구할 수 있어.

재료의 특성인 E와

설계 특성인 L, I가 좌굴하중을 정하는데요

근데 n은 어떻게 알죠?

그걸 쉽게 알려면

우선 처짐식 ν를 알아야 해

두 번째 C는 0이었지?

한번 우리가 알아낸 k를 대입해서

처짐식을 구해 볼래?

kL=nπ니까

ν = Csin(nπx/L)이네요.

처짐은 사인함수를 따르게 되지.

n=1일 때

좌굴하는 모습은 사인 0~π야.

즉 주기의 반이지.

n=2일 때는

사인 0~2π야

한 주기지.

이런 식으로 n이 늘 때마다

좌굴하는 모양은

사인함수의 반 주기씩 추가돼.

단단한 재료가 저렇게 꼬불꼬불 변하나요?

빈 캔이야 얇아서 저렇다고 쳐도...

맞아.

현실은 n=2도 거의 안 나오지.

좌굴하중도 n=1일 때 제일 작으니까

n=1만 조심하면 돼

지금까지 나온 좌굴모델은

오일러가 생각해내서

오일러 좌굴(Euler buckling)이라 하고

이때 임계하중을

오일러 하중(Euler Load)이라 불러.

휨과 마찬가지로 좌굴하중은

재료가 정해진 이상

L과 I로 결정되지.

L이 클수록 좌굴하중은 급격히 낮아져요.

즉 기둥이 길수록 좌굴하기 쉬워지는 거죠.

I는 기준축에 따라 값이 달라져

직사각형 단면 기둥이 있다면

그중 더 잘 좌굴하는 방향이 있는 거고.

다음 시간(임계응력, 세장비와 한쪽 고정단 기둥 등)에 계속...