재료역학 12] 변형에너지

오늘 배울 것

- 변형 에너지는 무엇일까?

- 축하중을 받을 때 변형 에너지는 얼마일까?

- 비틀림 상태의 변형 에너지는 얼마일까?

- 굽힘 상태의 변형 에너지는 얼마일까?

요즘 대학생들은 뽀빠이를 알까?

와, 선배. 이러기예요?

누가 들으면 나이 열 살은

차이 나는 줄 알겠네.

내가 좀 늦게 태어나서

사촌이나 큰집 나이가 많아.

그 사람들이 겪은 8, 90년대를

나도 간접 경험했지.

뽀빠이라면 저도 알아요

옛날 만화 주인공이죠?

시금치를 먹으면 강해진다는...

맞아

근데 뽀빠이는

8, 90년대가 아니라 6, 70년대인데...

우리 아빠도 늦게 태어났거든

시금치를 먹으면 근육이 생겨난다!

실제로 그러면 나라에서 시금치 공급량을 조절하겠지.

시금치에 단백질이 얼마나 있다고...

중요한 건, 무언가 집어넣으면 무언가 쌓인다는 거야.

우리가 살펴볼 변형 에너지(Strain Energy)가 바로 그런 경우지

0. 용수철의 변형에너지

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이과라면 배웠겠지만

일(힘X거리)은 곧 에너지야

내가 공을 밀어 일을 하면

공에는 운동에너지가 발생하지.

정말 오랜만에 들어보네요

용수철도 그래

내가 용수철을 힘으로 밀면

용수철에 일을 했지

그럼 그 일은 어디로 갔을까?

에너지가 되어서

용수철에 있죠

탄성에너지라고 부르던가요?

그럼 그 탄성에너지는 어떻게 구하지?

에너지=일이니까 힘X거리인데,

민 거리에 따라 필요한 힘이 다르니까(F=-kx)

힘-거리 그래프를 그리면 직선이 나오고

그걸 삼각형으로 구하면...

1/2*kx^2이네요

1. 축하중의 변형에너지

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재료는 탄성이란 점에선 용수철과 비슷하지.

하중은 일을 하고 그 일은 재료 속에서

변형 에너지가 된다고

재료에 축하중을 줄 때 재료에 들어간 에너지도

같은 원리로 구할 수 있지 않을까?

마지막에 힘-거리 그래프를 구했지?

힘은 하중이고

거리는 재료의 길이변화, 즉 변형량이야

하중-변형량 그래프를 그려봐

용수철이랑 같죠

이렇게 일직선이요

그럼 이번에도

재료에 들어간 에너지는 삼각형이네

Pδ/2.

우린 축하중 변형량이

δ=PL/EA임을 알아

('플리즈'로 외우면 좋지)

이렇게 식을 다시 쓸 수 있어.

2. 비틀림의 변형 에너지

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하중(힘)이 변형량(길이)를 만든다면,

토크(비틀림힘)는 무얼 만들까?

돌리니까... 각도?

토크의 짝은 '회전각'이야

이 사실은 비틀림 변형 에너지를 구하는 단서지

아까 하중-변형량 그래프를 그리듯

토크-회전각 그래프를 그릴 수 있어

우린 예전에 토크에 따른 회전각 공식을 구했지

(Φ=TL/GIp, Ip=극관성모멘트)

토크와 회전각은 비례하네요

이번에도 그래프는 일직선이고

이번에도 삼각형 모양이겠네요

'이번에도' 그 삼각형 식에

회전각 식을 넣으면 더 자세한 식이 될 거야

이렇게 끝인가요?

뭔가 불안한데...

우리는 복잡한 비틀림은 생략했어

부정정 비틀림, 얇은 관 비틀림 등

그걸 했다면 비틀림 상수(Torsion Constant)도 다뤘겠지만

어쩔 수가 없지

그건 새빛이 네가 개강하면 직접 배워

3. 굽힘의 변형 에너지

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제발 제발!

굽힘도 하중-변형량, 토크-회전각처럼

모멘트-무언가 구하기 쉬운 값이었으면!

행운의 여신이 이번엔 네 손을 들어줬네

(행운의 남자신은 없을까? 웬만하면 잘생긴 신으로)

휨을 만드는 것은 단연코 모멘트야

문제는 모멘트와 짝이 될 '그거'지

'그거'가 뭐죠?

질질 끌지 말고 알려주세요

변형량과 회전각은

하중과 토크가 클수록 값이 커졌어

그렇다면

'그거'는 휨이 클수록 커지는 값이 아닐까?

휨이 커지면...

재료가 더 둥글어지고...

'둥금'?

우린 지난 시간에

'둥금'을 뜻하는 단어

'곡률'을 배웠어

그리스어 카파(κ)로 표현했고

'그거'는 카파인가요?

아니, 곡률은 모멘트에 비례하지만

더 중요한 건

보가 둥글어지면서 생겨나는

부채꼴의 중심각 θ야.

중심각θ=호/반지름

= L/ρ = ML/EI가 돼

( ρ = EI/M이거든.

이 부분은 보의 처짐 시간에 할 거니까

그냥 그렇다고만 알고 있어)

이제 M과 θ 관계를 아니까

그래프로 그려 볼래?

잠깐,

또 일직선이고

또 삼각형이네요.

그래. 참 쉽지

안 그래?

물론 여러 하중/토크/휨응력이 걸리거나

부정정이거나 재료 단면이 비었거나....

인 경우는 더 배워야 하겠지만 말이야.

오늘의 복습

축하중을 받는 재료의 변형에너지는?

비틀림을 받는 재료의 변형에너지는?