재료역학 9] 비틀림(Torsion)

새빛아,

이번 주에 새로 생긴 빵집 가봤어?

와플과 꽈배기를 주로 팔던데

네,

고소한 와플 위에 사과잼을 깐 다음

바닐라 아이스크림을 얹고

초콜릿 시럽을 샤샤샥 뿌리면

천국의 맛이 따로 없던데요

그래. 와플 맛있지.

하지만 오늘은 꽈배기 이야기를 하고 싶은걸?

솔직히 말해봐요.

꽈배기로 토목 이야기를 하려는 거죠?

그래.

이제 속일 수도 없겠네.

꽈배기니까 당연히

재료를 뒤틀 거고요.

맞아.

오늘은 비틀림(Torsion)을 이야기할 거야.

비틀림은 말 그대로

꽈배기처럼 재료를 비트는 걸 말해.

우린 지금까지 재료를

늘리거나 누르거나

찌그러뜨리는 작용을 다뤘으니

비트는 건 또 다른 작용이지.

그럼 x축응력, y축응력, 전단응력 말고도

네 번째 응력이 생기는 건가요?

아니야. 걱정하지 마.

새로운 응력은 아니니까.

우선 이 원형 봉을 비튼다고 생각하자.

비트는 힘은 돌리는 힘이지?

그럼 힘과 모멘트 중에 뭘까?

돌리는 힘이라면 모멘트겠죠.

모멘트, 특히 지금처럼 비트는 모멘트는

비틀림 모멘트(Twisting Moment)나

토크(Torque)라고 부르지.

표시할 때는 돌아가는 화살표를 쓸 수도 있지만

오른손 법칙에 따른 직선 겹화살표를 쓰기도 해.

아무튼 이 원형봉은 비틀림모멘트를 받아

꽈배기처럼 돌아가겠지.

선배, 봉이 공중에 떠 있다면

비틀어도 비틀리지 않고 그냥 돌아갈 텐데요?

맞아. 사실 비틀림 모멘트는 쌍으로 작용하지

안 그럼 비틀 수가 없으니까 말이야.

이렇게 쌍으로 작용하는 힘을 우력(짝힘, couples)라고 해

예를 들어 봉 반대쪽이 벽에 박혀서 돌지 못한다면

이쪽에서 비트는 모멘트와 크기는 같고 방향이 반대인

다른 모멘트가 벽쪽에서 생길 거야.

이렇게 했으니 이제 비틀리겠지?

이제 중간중간 자른 단면을 보자.

상식적으로 벽에서 멀어질수록 원래 상태에서 더 비틀릴 거고

단면은 더 크게 회전할 거야.

거기까진 이해하겠어요.

순수한 원형 봉이고, 지금 비틀림모멘트 말고

다른 작용이 없다면

단면이 회전한 각도는 일정하게(일차함수처럼) 늘어날 거야.

그것도 쉽네요.

각도가 일정하게 늘어난다면

봉 절반 위치에서 돌아간 각도는

(총 돌아간 각도)/2일 거야.

더 생각해보면

길이당 돌아간 각도가 죽 일정할 거야.

바로 이 길이당 비틀림각이

비틈림을 표현하는 방법이고,

이걸 비틀림변화율(Rate of Twist)라고 부르자

문자로는 세타(θ)로 쓰는 편이지.

각도도 세타인데,

길이당 각도도 세타라면 좀 그렇네요.

자, 더 중요한 문제는

비틀림을 받을 때 어떤 응력을 얼마나 받느냐야.

음... 뒤틀리니까 전단응력은 받겠는데

축응력은 잘 모르겠네요.

잘 대답했어.

비틀림은 오직 전단응력만 만들어

순수전단(Pure Shear)인 거지.

그러니까 전단응력만 구해보자.

어디부터 구할까?

어디라뇨?

당연히 이 봉의 전단응력이죠.

봉의 표면과 내부는 단면이 돌아간 각도는 같아도

엄연히 뒤틀린 양이 다르기 때문에

전단응력이 다르지 않을까?

듣고 보니까 그렇네요.

일단 표면부터 알아보자.

봉에서 아주 작은 길이 dx를 잘라내서

살펴보는 거야.

길이당 비틀린 각도는 세타였지?

만약 오른쪽 단면은 왼쪽 단면에 비해

(세타Xdx)만큼 돌아갔을 거야.

전단변형률을 다시 떠올려 보자.

전단변형률은 비틀려서 생긴 각도변화였잖아?

그러니까 이 요소의 전단변형률은

여기 이 각도와 같겠지.

삼각함수가 나올 시간인가요?

머리가 띵~

간단히 생각하자.

일종의 부채꼴로 보는 거야.

부채꼴의 중심각은 호/반지름이었지

호는 단면 속 다른 부채꼴의 일부고

이건 단면 돌아간 각도 X 단면반지름이야.

반지름은 요소의 길이 dx니까

계산하면 변형률은 단면 반지름 X 비틀림변화율이야.

비틀림변화율은 총 돌아간 각도/봉길이로

쓸 수도 있고.

전단변형률로 전단응력을 구하려면

전단탄성계수를 곱하면 되겠네요.

따라서 전단응력은 이렇게 나오죠.

잘 했어.

이제 봉 내부만 살펴보자.

이번에도 dx만 자르는데

전체 단면이 아니라 내부를 보는 거야.

잘라낸 반지름은 소문자 r로 하자.

돌아간 각도와 길이(dx)는 완전 똑같고

다른 것은 단면 반지름 뿐이야.

따라서 단면 반지름만 바꾸면

똑같은 식이 성립되겠지.

결국 전단변형률은

알고 싶은 위치의 단면 중심부터 잰 거리를

대신 넣으면 되네요.

전단응력은 여기에 G만 곱하면 되고요.

맞아. 아니면 이런 식으로

표면의 전단변형률로 나타낼 수도 있고.

정말 재밌는 건 이걸

평면응력에 넣어보는 거지.

봉은 전단응력만 받는 상태니까

세 응력 중에 하나만 존재하고 나머지는 0이야.

그럼 평면응력 식이 전단응력만 존재하겠네요.

공식에 넣으면 주응력은 곧

각도가 0일 때의 전단응력과 같고,

그 주응력이 나오는 각도는 45임을 알 수 있어.

즉 비틀림을 줄 때

45도 각도로 부서지기 제일 쉽다는 말이지.

평면응력/주응력 보러가기

만약 재료가 원형봉이 아니면 어떡하죠?

당연히 그런 질문이 나와야지.

그건 다음 시간에 살펴보자...