재료역학 10] 비틀림 공식

지난 시간(링크)에 이어

비틀림을 살펴볼 거야

만약 재료 단면이 원형이 아니라면

비틀림을 어떻게 구할까?

단면이 원일 때

전단변형률은 반지름X비틀림변화율이었어요.

단면이 원이 아니라면

반지름이 제각각이라서 구하기 힘들겠죠?

지금부터는 수학적으로 한번 놀아볼 거야

안전벨트 꽉 매라고.

토크가 걸리는 어떤 재료의 단면이 있어.

단면은 토크 때문에 비틀리지.

단면에 걸리는 모멘트를 다 합치면(적분하면)

그건 토크와 같을 거야.

선배의 지금 말은

단면 모양에 상관이 없군요.

일반적 접근. 골때리지만 좋은데요.

칭찬으로 들을게.

아무튼 단면에 걸리는 모멘트는 불균일하니까

dA로 조각 내서 구해야 해.

모멘트는 힘X거리야.

힘은 dA에 걸리는 전단력이겠지?

전단력은 전단응력X넓이니까

타우XdA일 거야.

거리는 말 그대로 중심에서 dA까지의 거리겠지.

로(ρ)로 쓰자.

중심이 어딘지도 모르면서

거리를 알 수 있나요?

지금은 모르지만

어딘가에는 있을 것 아냐.

단면마다 위치는 다르겠지.

일반적 접근.

방금 네가 좋아한 거 아냐?

아. 그 말 취소할래요.

그렇다면 이 dA가 받는 모멘트 dM은

τρdA라고 할 수 있지.

문제는 τ야.

우린 이걸 적분할 건데

웬만하면 위치에 불변하는 문자만 남기고 싶거든.

τ는 중심에서의 거리에 비례하잖아요.

중심이 어딘진 모르지만.

그래. 그걸 응용하자.

τ는 0~최대전단응력 사이 값이고

최대전단응력에 r/R을 곱한 거였지.

여기선 r=ρ니까 바꾸어 쓸 수 있어.

그럼 위치에 따라 달라지는 변수는

ρ밖에 안 남았네요.

어때?

이러면 적분하기 쉽겠지?

이걸 단면 전체로 적분한 값이 토크와 같아!

거리 제곱을 전 면적에 적분한 값이라.

이런 값들은 재료역학 책 뒷면에 다 구해 놓던데...

맞아.

이 특별한 값은

극관성 모멘트(Polar moment of Inertia)라고 해.

단위는 거리 네제곱이고.

속이 꽉 찬 원의 극관성 모멘트는 외워두라고.

(극관성 모멘트 식을 보면 추측이 가능하지만

사실 극관성 모멘트는 기준 위치에 따라 값이 달라져.

비틀림에서는 물론 단면의 중심에서 잰

극관성 모멘트를 쓴다는 점 명심해.)

좋아요. 그럼 최대 전단응력을 구했네요.

하지만 우리가 원하는 부분의 전단응력은요?

그것도 쉽지.

우린 이미 전단응력과 최대 전단응력 사이 관계를

r/R로 나타내지 않았어?

그럼 결국 단면에 상관없이

전단응력은 r/R 관계가 들어가는 거군요.

다만 그 중심점을 찾는 게 과제일 뿐.

생각해 보면 간단한 관계야.

전단응력은

1) 토크에 비례하고

2) 중심부터의 거리에 비례하고

3) 극관성모멘트에 반비례하지

극관성모멘트는 넓을수록 큰 편이니까

넓은 단면일수록 전단응력이 낮음,

그러니까 비틀림에 더 잘 버티겠네요

비틀림각

---

더 재미있는 일이 남았지.

지난번에 GX세타가 들어가는

전단응력 공식 기억나?

전단응력은

Gρθ였죠?

그래. 여기에 우리가 지금 구한

전단응력 식을 넣고

θ를 구해볼래?

그럼 이렇게 되는데요?

토크 나누기 G 나누기 극관성 모멘트요.

θ(비틀림변화율=길이당 회전각)은

토크에 당연히 비례하고

G에 당연히 반비례하겠지만

극관성 모멘트에도 반비례함을 알 수 있어.

우리 위대한 공학자들은

바로 G와 극관성 모멘트를 붙여서

비틀림강도(Torsinal Rigidity)라 이름 붙였지.

비틀림강도가 높을수록

비틀림변화율이 낮아져요.

즉 같은 토크를 주어도 길이당 비틀리는 각도가

낮다는 거죠.

여기에 길이를 곱하면

총 돌아간 각도,

즉 비틀림각이 되지.

(물론 길이마다 비틀림이 일정해야겠지?)

음...

슬슬 뇌세포가 배배 꼬이는데요?

여기 식에 있는 네 문자

(토크, 길이, G, 극관성모멘트)

사이에서 외부에서 오는 건 토크 하나.

나머지는 전부 재료에서 결정돼지.

맞춰 보죠.

또 세 수를 묶어서

무슨무슨 수라고 부를 거죠?

슬프지만 맞아.

이 세 수를 묶어서

비틀림 강성도(Torsional Stiffness)라고 하지.

뒤집으면 비틀림 유연도(Torsional Flexibility)고.

왜 굳이 있는 값의 역수를 만들면서까지

새로운 숫자를 만드는 걸까요?

나도 알고 싶어.

아무튼 복잡하니까

마음을 가라앉히고 공부하는 게 좋아.

그리고 선배,

아직 단면변화가 없는 재료의 비틀림은 어떡하죠?

마침 다음 시간에 설명해 주려던 참이었어...