재료역학 7] 평면응력

예능 프로그램을 보면

가끔 현미경으로 확대한 사진을 보여주고

무슨 물건인지 맞추라고 시키지 않아?

맞아요

근데 너무 확대해서 우둘투둘한 표면만 보이고

무슨 물건인지 짐작도 안 되더라고요.

그래.

그런 기념으로

우리도 좀 따라해 볼까?

어라?

지난 시간에 본

기울어진 경사면이잖아요?

여기에 생기는 인장응력과 전단응력은

깔끔하게 수학으로 구해 냈고요.

더 확대할 건덕지가 없죠.

확대하자는 게 아니야.

확대를 풀어보자는 거지.

엥? 이게 다가 아니라고요?

그럼.

잘 봐.

그러니까 선배 말은,

알고 봤더니 이 기울어진 표면이 겉표면이 아니라

(옆에서 보기에)직각직각한 부재의 내부였다, 이런 말이에요?

안될 게 뭐가 있어.

우린 이미 예전에

부재 내부를 쪼개서 그 표면에 걸린

내력을 알아냈어.

실제로 쪼갠 게 아니라 개념적으로 쪼갠 거였지.

그러니 반대도 되지 않겠어?

실제로 붙인 게 아니라 개념적으로 붙였다고,

즉 부재의 내부라고 상상할 수 있지.

말도 안 돼요.

부재엔 균일하게 축응력이 걸린다고

선배가 그랬잖아요.

지난번에 구한 기울어진 면 응력은

P/A랑 다르다구요.

균일한 응력은 면 방향이 다 같을 때 얘기고,

이건 면 방향이 달라.

같은 상황인데

면 방향에 따라 응력이 다르다고요?

그래요. 그렇겠죠.

면 방향이 바뀌면 당연히 단면적과

인장응력, 전단응력을 만드는 힘이 다르겠죠.

하지만 왜요?

왜 굳이 이미 있는 부재를

'개념적으로' 잘라 가며 방향에 맞는

응력을 구해야 하죠?

이 그림을 봐.

잘린 기둥이네요.

잘린 면의 각도가 45야.

왜일까?

그렇게 잘라서요?

이 기둥은 수직축에 맞게 압축하는 힘만 주었어.

물론 응력-변형률 선도에 맞게

항복응력과 극한응력을 지나 끊어질 수도 있었지.

하지만 그전에 45도 방향으로 끊기고 만 거야.

지난번에 배운 기울어진 면의 전단응력 기억하지?

거기서 최대 전단응력이 나오려면

각도가 45도였어.

그게 이것과 상관이 있나요?

있고말고!

45도가 전단응력이 제일 센 각도기 때문에

제일 먼저 그 각도로 부서지고 만 거야.

방향에 따라 응력이 다르니까

그 응력을 구하는 것도

공학인의 의무 아닐까?

공과대학에는

권리는 없고

의무만 가득하군요...

알았어요.

그래도

'개념적으로' 자른 면 말고

진짜 기울어진 면을 구하는 게

더 쓸모있어 보이네요.

물론 진짜 기울어진 면에 생기는

응력도 구할 수 있지!

잘 봐봐.

지금 보고 있는 건 응력요소야.

우리가 적분을 할 때 자그마한 덩어리(dx)를 떠올리듯

우리도 임의의 자그마한 덩어리를 만들 거야.

지금 응력요소에는

두 방향 응력과 전단응력이 걸려 있어.

지난번보다 좀 복잡하지.

(그림에 보이는 방향을 대체로 양(+)으로 해)

과연 다른 각도에서는

응력이 얼마나 걸릴까?

즉, 평면응력(Plane Stress)은 얼마일까?

우와.

삼각함수를 엄청 써야 할 것 같네요.

유도과정은 재료역학 교재를 참고하고,

여기서는 결론으로 들어가자!

설마 이거 외워야 되나요?

당근이지!

시험 볼 때마다 유도할 순 없잖니?

부호만 다르니까

어떻게든 외울 수는 있겠네요.

그치!

부호만 다르니까

둘을 더하면 첫 항만 남겠지?

지금 이 식에 따르면

결국 각도가 어떻든

인장(압축)응력의 합은 불변이네요?

맞아.

신기하지 않아?

그리고 전단응력도 알아두라고!

주응력

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아까 45도로 부서진 기둥에서 봤듯이

응력이 최대가 되는 각도와

또 그때 응력을

구할 필요가 있어

그 각은 주각(Principal Angle),

그때 평면은 주평면(Principal Plane)이라고 하지.

최댓값을 구하려면

그래프를 그리거나

미분해서 0이 되는 지점을 찾아야겠죠?

그래.

삼각함수 미분은 너도 하기 싫지?

나도 하기 싫어.

그래서 이번에도

미리 알려줄게

최대응력

그래도 삼각함수는 없으니

평면응력보단 외우기 쉽겠죠.

그리고 이걸 알아둬.

어느 각도든 직교하는 두 방향

축응력의 합은 불변이었지?

그럼 생각해봐.

최대응력이 생긴다면

거기에 직각인 응력은 얼마나 될까?

합이 일정한데

하나가 최대라면

다른 하나는 최소겠죠?

그렇지.

최대응력이 생기는 각도에선

하나는 최대고 하나는 최소가 되는 거야.

이 최대/최소응력을 주응력(Principal Stress)이라 하지.

그리고 신기한 사실 또 하나!

주평면에서 전단응력은 0이라는 거!

전단응력 이야기가 나와서 말인데,

최대 전단응력도 알아야 하지 않을까요?

물론!

최대전단응력이 나오는 각도와

크기는 다음과 같아.

잠깐,

이거 주응력에 나오는 제곱근 속 식과

같은데요?

그래. 제곱근 밖에 있는 식을 없애면

바로 최대전단응력이 되지.

조금만 창의력을 발휘하면

두 주응력을 뺀 다음 2로 나누면

제곱근 식만 남게 되므로

이렇게 쓸 수도 있어.

아하! 그러니까

주응력만 알면 최대전단응력을

바로 구할 수 있군요!

평면응력과 주응력은

여러 강의에서 자주 쓸 테니까

확실히 알아두라고!

그래도 평면응력을

그래프나 표로 그려서

쉽게 본다면 좋을 텐데요.

그래서 재료역학에서 쓰는

특별한 그림이 있지...