드 무아브르의 정리

(De Moivre's formula/theorem)

18세기 프랑스 수학자 아브라함 드 무아브르(Abraham de Moivre)가 발견한 공식.

복소수와 삼각함수 사이의 관계를 보여준다.

공식

$(\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

증명

귀납법으로 증명

1) n=1일 때

$\cos\theta + i\sin\theta = \cos\theta + i\sin\theta$

로 성립

2) n이 성립할 때 n+1이 성립함을 증명

n일 때

$(\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

이 성립한다면

$(\cos \theta + i\sin \theta)^{n+1}$

$=(\cos \theta + i\sin \theta)^n \times (\cos \theta + i\sin \theta)$

$=(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))(\cos\theta + i\sin\theta)$

$=\cos(n\theta)\cos\theta-\sin(n\theta)\sin\theta + i(\cos(n\theta)\sin\theta+ \sin(n\theta)\cos\theta)$

$=\cos(n+1)\theta + i\sin(n+1)\theta$

응용

$z^n$을 만족하는 복소수 방정식의 해는

복소평면 위 정n각형 꼭지점이 된다.

$(\cos \theta + i\sin \theta)^n$

$=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=1$

$\theta= 2k\pi/n$