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엑셀 조건부 확률 (1)
엑셀로 통계하기 7 - 조건부 확률과 베이즈 정리
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A라는 사건이 생길 확률을 P(A)라고 합시다.

 



AB가 같이 생길 확률은

P(AB)라고 합시다.

(결합확률)

 


B가 이미 일어났을 때

A가 생길 확률은 얼마일까요?

 

확률은 P(AB)/P(B)입니다.

학교에서 배우셨을지도 모르겠네요.



 

이걸 조건부확률(Conditional Probability)이라 하고

P(AB)라고 합니다.

 

 

베이즈 정리

 



우리 학교 야구부는

가끔 근처 두 학교와 대결합니다.


 

A학교와 붙을 확률은 70%,

B학교와 붙을 확률은 30%입니다.



 

A학교와 붙으면 승률은 20%,

B학교와 붙으면 승률은 60%입니다.

 



어느 날 우리 학교 야구부가 이겼다는 소식을 들었습니다.

어디 학교와 붙었는지는 모릅니다.

A학교와 붙었을 확률은 얼마일까요?

 



이겼는지 졌는지 모른다면,

A학교와 붙었을 확률은 당연히 70%입니다.

그러나 이젠 이겼다는 사실을 알게 되었습니다.

 



영국의 목사 토머스 베이즈가 만든 베이즈 정리Bayes’ Theorem

이처럼 이미 벌어진 사건이 있을 때

새로운 정보로 새로운 확률

(사후확률, Posterior Probability)

을 구하는 공식입니다.


 

, 차근차근 해 봅시다.

 



A학교와 붙는 사건을 A, B학교와 붙는 사건을 B라 부르고

이기는 사건은 W, 지는 사건은 L이라 부릅시다.

 

A와 붙게 되고 이기기까지 할 확률은

P(AW) = P(A) P(WA)입니다.

A와 붙어서 질 확률은

P(AL) = P(A) P(LA)입니다.


 

이런 식으로 네 가지 경우 확률이 나옵니다.

(A와 붙어서 이김/, B와 붙어서 이김/)



 

A, B를 만날 확률은 압니다.

A, B를 만났을 때 이기거나 질 확률도 압니다.

따라서 네 가지 경우 확률을 전부 구할 수 있습니다.



 

우리가 원하는 건 이겼을 때 A와 붙었을 확률,

P(AW)입니다.

 


공식에 따라 P(AW)/P(W)

= P(A) P(WA)/P(W) 으로 바꾸어 쓸 수 있습니다.

 


이길 확률은 A한테 이길 확률 + B한테 이길 확률입니다.

(AB 이외의 학교와는 안 붙는다고 가정한다면)


 

따라서 P(A) P(WA) / P(WA) + P(WB)이고

P(A) P(WA)/ P(A)P(WA) + P(B)P(WB)입니다.



 

이 식에 있는 네 값은 전부 압니다.

따라서 이겼을 때 A를 만났을 확률을 구할 수 있습니다.

 


베이즈 정리에 따라,

B라는 사건이 일어났을 때 A1이라는 사건이 벌어졌을 확률은

다음과 같습니다.



*베이즈 정리의 조건

1) A1, A2...는 서로 절대 겹치지 않습니다.(상호 배반)

2) A1, A2...들을 합친 것 이외의 경우는 없습니다.

(마치 두 학교 이외에는 붙지 않듯이)

 



베이즈 정리는 새로운 정보를 알고 난 후

이미 알아낸 확률을 수정하는 법을 제공합니다.

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