A라는 사건이 생길 확률을 P(A)라고 합시다.

A와 B가 같이 생길 확률은

P(A∩B)라고 합시다.

(결합확률)

B가 이미 일어났을 때

A가 생길 확률은 얼마일까요?

확률은 P(A∩B)/P(B)입니다.

학교에서 배우셨을지도 모르겠네요.

이걸 조건부확률(Conditional Probability)이라 하고

P(A∣B)라고 합니다.

베이즈 정리

우리 학교 야구부는

가끔 근처 두 학교와 대결합니다.

A학교와 붙을 확률은 70%,

B학교와 붙을 확률은 30%입니다.

A학교와 붙으면 승률은 20%,

B학교와 붙으면 승률은 60%입니다.

어느 날 우리 학교 야구부가 이겼다는 소식을 들었습니다.

어디 학교와 붙었는지는 모릅니다.

A학교와 붙었을 확률은 얼마일까요?

이겼는지 졌는지 모른다면,

A학교와 붙었을 확률은 당연히 70%입니다.

그러나 이젠 이겼다는 사실을 알게 되었습니다.

영국의 목사 토머스 베이즈가 만든 베이즈 정리Bayes’ Theorem는

이처럼 이미 벌어진 사건이 있을 때

새로운 정보로 새로운 확률

(사후확률, Posterior Probability)

을 구하는 공식입니다.

자, 차근차근 해 봅시다.

A학교와 붙는 사건을 A, B학교와 붙는 사건을 B라 부르고

이기는 사건은 W, 지는 사건은 L이라 부릅시다.

A와 붙게 되고 이기기까지 할 확률은

P(A∩W) = P(A) P(W∣A)입니다.

A와 붙어서 질 확률은

P(A∩L) = P(A) P(L∣A)입니다.

이런 식으로 네 가지 경우 확률이 나옵니다.

(A와 붙어서 이김/짐, B와 붙어서 이김/짐)

A, B를 만날 확률은 압니다.

A, B를 만났을 때 이기거나 질 확률도 압니다.

따라서 네 가지 경우 확률을 전부 구할 수 있습니다.

우리가 원하는 건 이겼을 때 A와 붙었을 확률,

즉 P(A∣W)입니다.

공식에 따라 P(A∩W)/P(W)

= P(A) P(W∣A)/P(W) 으로 바꾸어 쓸 수 있습니다.

이길 확률은 A한테 이길 확률 + B한테 이길 확률입니다.

(A와 B 이외의 학교와는 안 붙는다고 가정한다면)

따라서 P(A) P(W∣A) / P(W∩A) + P(W∩B)이고

P(A) P(W∣A)/ P(A)P(W∣A) + P(B)P(W∣B)입니다.

이 식에 있는 네 값은 전부 압니다.

따라서 이겼을 때 A를 만났을 확률을 구할 수 있습니다.

베이즈 정리에 따라,

B라는 사건이 일어났을 때 A1이라는 사건이 벌어졌을 확률은

다음과 같습니다.

*베이즈 정리의 조건

1) A1, A2...는 서로 절대 겹치지 않습니다.(상호 배반)

2) A1, A2...들을 합친 것 이외의 경우는 없습니다.

(마치 두 학교 이외에는 붙지 않듯이)

베이즈 정리는 새로운 정보를 알고 난 후

이미 알아낸 확률을 수정하는 법을 제공합니다.