지난 시간에는 귀무가설과 대립가설,

귀무가설을 기각할지 말지를

p값을 이용해서 알아보았습니다.

지난 시간에는 모표준편차를 안다고 가정하고 계산했지만

이번에는 모표준편차를 모르는 때를 알아봅시다.

구간추정에선 모표준편차를 알 때/모를 때를 구분했는데,

모를 때는 모표준편차 대신 표본 표준편차를 사용했습니다.

표준정규분포 대신 자유도에 따른 t분포를 사용했고요.

이번에도 같습니다.

모표준편차는 표본 표준편차로 대신해서

표본분포 표준편차를 구합니다.

모표준편차를 알 때는 표본평균의 표본분포를 그렸는데,

이번에는 자유도가 n-1인 t분포를 그립니다.

z값을 구하듯

(표본평균 – 가정한 모평균)/표본분포의 표준편차

를 계산합니다.

예를 들어

귀무가설 : μ≤3

대립가설 : μ>3

n = 50

표본평균 = 3.1

표본 표준편차 = 1.1

유의수준 = 0.05

일 때, 귀무가설을 기각해야 할까요?

t값은 (3.1-3)/ 1.1/√50 = 약 0.64입니다.

자유도가 50-1= 49인 t분포에서

0.64보다 클 확률은 얼마일까요?

엑셀 T.DIST 함수를 이용해서

t분포 값을 계산할 수 있습니다.

=T.DIST( x , 자유도 , T/F)

TRUE : 누적

FALSE : 확률밀도값

=T.DIST(0.64 , 49 , TRUE)는

0.73입니다.

t값이 유의수준보다 크므로

귀무가설을 기각할 수 없습니다.

지난 시간에는 모표준편차를 알 때

구간추정으로 표본평균이 모평균에 얼마나 가까운지 추측했습니다.

표본평균에 더하고 빼는 오차범위는 이랬죠.

여기서 α는 유의수준으로,

95%의 신뢰수준이라면 1-0.95=0.05였습니다.

모표준편차를 모를 때

그러나 자료 대부분은 모집단 표준편차를 모릅니다.

그래서 표본을 추출해 조사하는 것 아니겠습니까.

모표준편차를 모를 때도 오차범위 식은 비슷합니다.

단 두 가지만 다르죠.

첫째, 모집단 표준편차 대신

표본 표준편차를 집어넣습니다.

둘째, 유의수준에 대한 Z값 대신

t분포에 대한 t값을 넣습니다.

t분포(스튜던트 t분포)는

맥주 양조장에서 일하던 윌리엄 고셋이

‘스튜던트’라는 필명으로 발표한 분포입니다.

이 분포는 자유도마다 분포가 하나씩 있습니다.

자유도 1에 대한 t분포,

자유도 2에 대한 t분포... 

(자유도가 커질수록 t분포는 표준정규분포에 가까워집니다.)

그럼 구간추정 오차범위에는

어떤 t분포값을 넣어야 할까요?

n-1 자유도에서

(n은 표본크기)

양쪽 꼬리 면적이 α/2인 t값을 넣습니다.

엑셀에서는 T.INV.2T 함수를 이용해

확률에 따른 t값을 계산합니다.

=T.INV.2T( x , 자유도)

x : 양쪽 누적한 확률

유의수준이 0.05, 자유도가 29라면

=T.INV.2T(0.05 , 29)가

오차범위에 넣을 t값입니다.

사실, 엑셀에는 신뢰수준에 따른 오차범위를 구하는 기능이 있습니다.

[데이터] 리본 오른쪽 끝 ‘데이터 분석’을 찾으셨나요?

없다면 [파일] - [옵션] - [추가기능] - [이동]에서

‘분석 도구’를 체크하고 확인을 누르면 생깁니다.

데이터 분석에 들어가서 ‘기술 통계법’을 선택합니다.

자료 범위를 지정하고

‘요약 통계량’에 체크하고

‘평균에 대한 신뢰 수준’에 원하는 신뢰수준을 입력하고

확인을 누르면 오차범위를 볼 수 있습니다.