통계 자료는 숫자만 있지 않습니다. 가끔은 단순히 예/아니오, 남자/여자처럼 수 대신 비율로 나타내는 자료도 있죠.

  이번 시간에는 모집단 비율을 비교합니다. 먼저 두 모집단 비율 차이를 구간추정/가설검정 합니다. 가설검정 이후 분산분석으로 여러 모집단 평균이 같은지 검정했듯 여러 모집단 비율의 동일성도 검정합니다. 모집단의 두 변수가 독립인지도 검정해 볼 텐데, 여러모로 모집단 비율 동일성과 비슷하니 생뚱맞지는 않을 겁니다.

모집단 비율 차이 – 구간추정

  두 회사 직원에게 박사학위가 있는지 물어보았습니다. 각 회사에서 100명을 뽑아 질문했습니다. 회사A는 100명 중 70명, 회사B는 100명 중 60명이 박사학위 소지자로 드러났습니다. 두 회사 박사학위 소지 비율 차이에 대한 90% 신뢰구간은 어디일까요?

  모집단 평균 신뢰구간을 구하는 법. 생각나시나요? 표본평균에 오차범위를 빼고 더했죠. 오차범위는 신뢰수준에 맞는 z에 표본분포 표준편차를 곱했습니다.

  표본이 충분히 크다면 포본분포는 정규분포에 근사하죠. 그러니 모집단 비율 차이 신뢰구간도 이렇게 합시다. 표본평균 대신 두 표본비율 차이를 넣습니다. z는 표준정규분포에서 중앙 면적이 신뢰수준만큼을 차지하는 값입니다. 엑셀 NORM.S.INV 함수를 이용하면 z를 구할 수 있습니다.

z = NORM.S.INV(1-유의수준/2)

*신뢰수준별 z값

90% - 1.645

95% - 1.960

99% - 2.576

  모집단 비율 차이의 표본분포 내 표준편차를 구하려면 모집단 비율을 알아야 합니다. 그런데 모르니까 구간추정을 하겠죠? 모집단 비율 대신 표본집단 비율을 넣습니다.

  박사학위 보유 차이에 대한 90% 신뢰구간을 구해 봅시다. 두 표본집단 비율과 표본 크기, 신뢰수준 90%에 맞는 z를 아니까 쉽게 구할 수 있습니다.

모집단 비율 차이 – 가설검정

  이번엔 두 회사 직원에게 파인애플 피자를 좋아하는지 물어보았습니다. 역시 회사마다 100명을 뽑아 질문합니다. 회사A는 100명 중 30명, 회사B는 100명 중 40명이 파인애플 피자를 좋아했습니다. 두 회사가 파인애플 피자를 좋아하는 비율은 같을까요?(유의수준 0.05)

  두 모집단 평균 차이를 검정하는 법은 지난번에 다뤘습니다. 두 모집단 평균 차이가 같다, 즉 차이가 0이라는 귀무가설을 세우고 차이가 0이 아니라는 대립가설을 세웠습니다.

  모집단 비율 차이도 같은 식으로 시작합니다. 두 모집단 비율 차이가 0이라는 귀무가설과 0이 아니라는 대립가설을 세웁니다.

  이제 z를 구합니다. 문제는 표준편차인데요. 가설검정이 옳다면 두 표본비율과 모집단 비율은 같을 겁니다.

  그런데 모집단 비율을 알 수 없으니 표본비율로 대체해야 합니다. 어느 집단의 표본비율로 대체하라는 거죠? 두 표본집단 비율을 합친 값을 씁니다. 정확히 말하면 두 표본집단 비율의 가중평균입니다. 가중치는 표본 크기고요. 이걸 모집단 비율의 합동추정량(pooled estimation of p)라고 합니다.

  이제 나머지는 가설검정과 같습니다. 이 z보다 중심에서 먼 양쪽 날개 면적이 p값입니다. p값이 유의수준보다 작으면 귀무가설을 기각합니다.

  엑셀에선 NORM.S.DIST 함수로 표준정규분포 꼬리 면적을 계산합니다.

p=NORM.S.DIST(Z, TRUE)

  과연 두 회사는 똑같은 비율로 파인애플 피자를 좋아할까요?

  귀무가설을 기각할 수는 없겠네요.

여러 모집단 비율의 동일성 검정 – 카이제곱 분포 이용

  이번엔 세 회사에서 100명을 추출해 ‘이순신과 세종대왕 중 어느 위인을 존경하는지’ 물어봤습니다. 과연 세 회사에서 이순신을 존경하는 비율은 전부 같을까요?(유의수준 0.05)

  모집단 평균 동일성을 검정할 때, 분산분석을 이용하기도 했습니다. 비교할 모집단이 셋 이상이면 분산분석은 매우 편리했죠. 이번에는 여러 모집단 비율의 동일성을 검정해보겠습니다. 이번 검정에는 카이제곱 분포가 필요합니다. 그냥 그런 분포가 있다고 알면 됩니다.

  분산분석처럼 이번에도 귀무가설/대립가설을 만듭니다. 귀무가설은 모든 모집단 비율이 같다는 것이고 대립가설은 하나 이상의 모집단 비율이 다르다는 겁니다.

  좋습니다. 이게 설문 결과입니다. 총 300명 중 이순신을 존경하는 회사원은 165명입니다. 비율로 계산하면 0.55네요. 귀무가설이 옳다면 세 회사에서 이순신을 좋아하는 비율은 전부 0.55일 겁니다. 그러니까 세 회사에서 100명씩 물어보면 이순신을 존경하는 사람이 55명 나왔을 거란 말이죠.

  이 값을 기대도수라고 부릅시다. 실제 설문에서 관찰한 값은 관측도수라고 하고요. 기대도수 공식은 다음과 같습니다. 가로합과 세로합을 생각하면 쉽습니다.

  이제 생각해 보세요. 귀무가설이 옳을수록 관측도수는 기대도수와 가깝습니다. 이걸 유념하며 카이제곱 검정통계량을 구합니다.

(모든 기대도수가 5 이상이어야 결과가 좋다고 합니다. 기대도수가 5 미만이라면 옆 범위와 합치라는군요.)

  검정통계량이라는 단어에 감이 오셨나요? 카이제곱 분포에서 이 카이제곱 검정통계량보다 큰 영역의 넓이가 바로 p값입니다. 카이제곱 분포는 자유도마다 모양이 다른데, 자유도는 k-1. 회사가 셋이니 자유도는 3-1=2입니다. 이제 p값이 유의수준보다 작으면 귀무가설을 기각하겠죠?

  엑셀에선 CHISQ.TEST 함수를 사용합니다. 첫 인수에는 관측도수 범위를 둘째 인수에는 기대도수 범위를 넣으면 자동으로 p값을 반환합니다.

=CHISQ.TEST(관측도수 범위, 기대도수 범위)

   세 회사가 똑같은 비율로 이순신을 존경하는지 CHISQ.TEST 함수를 써 보니 p값이 0.364가 나왔습니다. 귀무가설을 기각할 수 없겠네요.

모집단 비율 독립성 검정 – 카이제곱 분포 이용

  이제 회사원 100명에게 ‘박사학위가 있는지’와 ‘탕수육, 피자, 돈가스 중 어느 음식을 제일 좋아하는지’를 물었습니다. 과연 박사학위 유무는 좋아하는 음식과 관계가 있을까요?

  이렇게 독립성을 검정할 때도 카이제곱 분포를 이용합니다. 방법은 동일성 검정과 매우 비슷합니다. 똑같이 기대도수를 구하고, 카이제곱 검정통계량을 구합니다. 자유도가 (r-1)(c-1)인 카이제곱 분포에서 검정통계량보다 오른쪽에 있는 영역 넓이가 p값입니다. 귀무가설은 ‘두 변수는 독립적이다.’고 대립가설은 ‘두 변수는 독립적이지 않다.’입니다. p값이 유의수준보다 작으면 귀무가설을 기각합니다.

  이 회사원들의 박사학위와 음식 취향이 독립적인지 알아봅시다. 역시 엑셀 CHISQ.TEST 함수를 이용합시다. 기대도수를 구하고 카이제곱 검정통계량을 구했습니다. 카이제곱 분포에 넣어보니 p값이 0.8이네요. 이것도 기각할 수는 없겠네요.

  지난 시간에는 여러 모집단 평균을 비교하는 분산분석을 수행했습니다. 인자가 하나인 일원배치법이었죠. 첨가제에 따른 제조 시간이 같은지 다른지를 판단했죠. 그런데 첨가제와 온도를 동시에 고려할 수는 없을까요? 예를 들어 첨가제 A와 80도 온도로 공정을 실행할 때와 첨가제 B와 90도 온도로 공정을 실행할 때 제조 시간이 같을까요?

  이렇게 인자 두 가지를 고려하는 방법은 이원배치법(Two way factorial design)이라고 합니다. 이원배치법은 반복이 없는 이원배치법과 반복이 있는 이원배치법으로 나뉩니다. 반복이 없는 이원배치법은 말 그대로 처리마다 결과가 하나입니다. 반복이 있는 이원배치법은 처리마다 여러 번 시험해서 결과도 여럿입니다. 반복이 없는 이원배치법부터 살펴봅시다.

반복이 없는 이원배치법

 지난 분산분석에서 자료값과 총평균의 차이를 분석한 것 생각나나요?

자료값과 총평균의 차이

= 처리가 달라서 생기는 차이 + 자료마다 개별로 생기는 차이

  공장으로 돌아가 봅시다. 첨가제와 온도를 다르게 하면서 제조시간을 쟀습니다. 첨가제는 세 종류, 온도는 두 종류가 있다고 가정합니다. 첨가제 B, 90도 자료를 보겠습니다. 이 자료와 모평균(자료 총 평균으로 모평균을 추정합니다)의 차이는 세 가지로 나눌 수 있습니다.

   자료값과 총평균의 차이

= 첨가제에서 생기는 차이 + 온도에서 생기는 차이 + 자료마다 개별로 생기는 차이

  첨가제에서 생기는 차이는 첨가제별 평균 - 총평균입니다. 온도가 달라서 생기는 차이는 온도별 평균 - 총평균입니다. 개별로 생기는 차이는 자료값에 각 인자별 평균을 빼고 총평균을 더한 값입니다. 식으로 쓰면 다음과 같습니다.

  (표본평균-총평균)의 제곱합을 처리제곱합이라 불렀습니다. 그런데 인자가 둘이라 표본평균도 첨가제별 평균, 온도별 평균으로 둘입니다. 따라서 처리제곱합도 두 가지입니다. 처리제곱합의 자유도는 각 인자수-1입니다. 첨가제 처리제곱합의 자유도는 3-1=2, 온도 처리제곱합의 자유도는 2-1=1가 되죠. 오차제곱합은 다행히 하나군요.

  처리제곱합을 자유도로 나눈 처리제곱평균은 두 가지, 오차제곱합을 자유도로 나눈 오차제곱평균은 한 가지입니다. 오차제곱합은 자유도가 조금 특이합니다. 각 인자 가짓수에서 1을 뺀 값의 곱이죠. 첨가제는 세 가지 온도는 두 가지니까 오차제곱합의 자유도는 (3-1)(2-1)= 2네요.

  처리제곱평균이 둘이니 처리제곱평균을 오차제곱평균으로 나눈 F비도 두 가지입니다. 귀무가설/대립가설 쌍도 두 가지고요.

  여러분은 원하는 인자를 골라서, 각 자유도에 맞는 F분포를 그린 뒤 F비 오른쪽 넓이(p값)를 구한 후 유의수준과 비교하면 됩니다. F분포에 들어가는 자유도는 SSTR 자유도와 SSE 자유도로 일원배치법과 같습니다. p값이 유의수준보다 작으면 귀무가설은 기각되고, 그 인자별 모집단 평균은 다르다고 말할 수 있습니다.

반복이 있는 이원배치법

‘첨가제와 온도가 만나서 시너지를 낼 수도 있잖아요!’

  맞습니다. 첨가제 그 자체, 온도 그 자체가 내는 효과도 있겠지만 특정 첨가제와 온도가 만나서 내는 효과도 있을 수 있습니다. 어느 한 처리가 특별한 값인 건 첨가제나 온도 탓일 수도 있지만, 딱 그 첨가제와 딱 그 온도가 만나서 나오는 효과 탓일 수도 있죠.

  반복이 있는 이원배치법은 이렇게 두 인자가 만나서 내는 ‘교호작용(Interaction)’을 확인할 수 있습니다. 반복이 있는 이원배치법은 말 그대로 이원배치법을 처리마다 여러 번 시험하는 것입니다. 첨가제A와 80도를 세 번 시험하고 첨가제A와 90도를 세 번 시험하고….

  이번 경우에는 처리마다 세 번 시헙했습니다. 이제 자료값과 총평균의 차이는 인자마다 있는 차이뿐 아니라 인자들이 만나서 생기는 차이도 한몫합니다.

   자료값과 총평균의 차이

= 첨가제가 달라서 생기는 차이 + 온도가 달라서 생기는 차이

+ 첨가제와 온도가 만드는 차이 + 자료마다 개별로 생기는 차이

  총제곱합 = 처리제곱합 세 가지와 오차제곱합

  세 가지 처리제곱평균이 생깁니다. 자연스레 F비도 세 가지고 귀무가설/대립가설도 세 가지가 나오겠죠.

엑셀 – 반복이 없는 이원배치법

[데이터] - [데이터 분석] - [분산 분석: 반복 없는 이원 배치법]을 선택합니다.

데이터 범위과 유의수준을 정합니다.

(‘이름표’에 체크하면 인자 이름이 있는 셀도 선택할 수 있습니다.

인자 이름이 결과표에 떠서 결과를 알아보기 쉬우니 체크하는 편이 좋습니다.)

‘확인’을 누르면 F비와 p값을 볼 수 있습니다.

(변동의 요인에서 인자 A(행)은 세로(여기서는 온도), 인자 B(열)은 가로(여기서는 첨가제)입니다.)

엑셀 – 반복이 있는 이원배치법

[데이터] - [데이터 분석] - [분산 분석: 반복 있는 이원 배치법]을 선택합니다.

데이터 범위, 표본당 행수, 유의수준을 정합니다.

(엑셀에서 반복 있는 이원배치법을 하려면 처리 별 자료를 세로로 나열해야 합니다. 이 행 수를 ‘표본당 행수’로 입력합니다. 가로로 쓴 데이터도 쓸 수 있으면 좋을 텐데요.)

‘확인’을 누르면 각 인자와 교호작용에 따른 F비와 p값을 볼 수 있습니다.

지난 시간에는 귀무가설과 대립가설,

귀무가설을 기각할지 말지를

p값을 이용해서 알아보았습니다.

지난 시간에는 모표준편차를 안다고 가정하고 계산했지만

이번에는 모표준편차를 모르는 때를 알아봅시다.

구간추정에선 모표준편차를 알 때/모를 때를 구분했는데,

모를 때는 모표준편차 대신 표본 표준편차를 사용했습니다.

표준정규분포 대신 자유도에 따른 t분포를 사용했고요.

이번에도 같습니다.

모표준편차는 표본 표준편차로 대신해서

표본분포 표준편차를 구합니다.

모표준편차를 알 때는 표본평균의 표본분포를 그렸는데,

이번에는 자유도가 n-1인 t분포를 그립니다.

z값을 구하듯

(표본평균 – 가정한 모평균)/표본분포의 표준편차

를 계산합니다.

예를 들어

귀무가설 : μ≤3

대립가설 : μ>3

n = 50

표본평균 = 3.1

표본 표준편차 = 1.1

유의수준 = 0.05

일 때, 귀무가설을 기각해야 할까요?

t값은 (3.1-3)/ 1.1/√50 = 약 0.64입니다.

자유도가 50-1= 49인 t분포에서

0.64보다 클 확률은 얼마일까요?

엑셀 T.DIST 함수를 이용해서

t분포 값을 계산할 수 있습니다.

=T.DIST( x , 자유도 , T/F)

TRUE : 누적

FALSE : 확률밀도값

=T.DIST(0.64 , 49 , TRUE)는

0.73입니다.

t값이 유의수준보다 크므로

귀무가설을 기각할 수 없습니다.