시작하기 전에...

  두 공장이 있습니다. 공장 A와 공장 B는 같은 제품을 생산하지만 공정은 다릅니다. 두 공장 중 어느 공장이 더 빨리 생산하는지 알고 싶습니다. 어떻게 해야 할까요?

시작!

  지난 시간에는 귀무가설과 대립가설을 세운 뒤, 그 귀무가설을 기각할 수 있는지 알아냈습니다. 표본평균이 어느 값 이상인지/이하인지/같은지 가설을 세운 다음, 모집단 표준편차를 알 때와 모를 때로 나누고, 귀무가설에 맞는 p값을 구해 유의수준과 비교해서, p값이 유의수준보다 작으면 귀무가설을 기각했습니다.

  이번 평균비교는 방법 자체는 p값 방법과 거의 같습니다. 모집단 표준편차를 알 때 모를 때를 나눈다거나, p값을 구한다거나 하는 과정은 같습니다. 다만 두 모집단의 평균이 같은지 다른지 알아내는 과정인 만큼 모집단의 표준편차가 둘인 점 등이 다릅니다.

평균 비교하기

  우리는 두 모집단의 평균이 같은지 알고 싶습니다. 각 모집단에서 표본을 추출해서 자료를 조사했습니다. 모집단 1의 표본평균, 모집단 2의 표본평균을 구합니다.

  지난 시간 귀무가설은 ‘모집단 평균이 ~ 이하다/이상이다/~다’였습니다. 이번에도 이런 방식을 사용합시다. 두 모집단 평균이 같다면, 두 모집단 평균을 뺀 값은 0입니다. 따라서 귀무가설은 ‘두 모집단 평균의 차이는 0이다’이고 대립가설은 ‘두 모집단 평균의 차이는 0이 아니다 ’입니다.

  지난 시간에는 표본평균의 표본분포를 만들었습니다. 표본분포는 기댓값이 귀무가설에 나온 그 값이고 표본분포의 분산은 모집단 분산에서 표본 크기를 나눈 값인 정규분포였습니다. 이번엔 두 표본평균 차이의 표본분포를 만듭니다. 역시 정규분포입니다. 기댓값은 0입니다. 그런데 분산(표준편차)는 어떻게 구할까요? 두 모집단의 분산이 다르고, 심지어 두 표본의 크기도 다를 텐데요.

  표본평균 차이의 표본분포 표준편차 공식은 이렇습니다. 이제 표본평균 차이의 표본분포를 알 수 있습니다.

  그럼 나머지는 귀무가설 검정과 같습니다. 표본평균 대신에 표본평균 차이로 z값을 구할 뿐이죠. z값이 3이라면, p값은 표본평균 차이 표본분포에서 –3이하/3이상인 영역 넓이입니다. 이 넓이가 유의수준보다 작다면 귀무가설을 기각할 수 있고 따라서 두 모집단의 평균이 다르다는 결론을 내릴 수 있습니다.

요약) 두 모집단 평균비교(모집단 표준편차를 알 때)

1) 표본평균 차이로 귀무가설/대립가설을 세운다

2) 표본평균 차이의 분포(정규분포)를 만든다

3) 표본평균 차이에서 z값과 p값을 구한다.

4) p값과 유의수준을 비교한다.

모집단 표준편차를 모를 때

  그럼 두 모집단의 표준편차를 모를 때는 어떻게 할까요? 가설 검정에서는 표본의 표준편차를 모집단 표준편차로 추정하고, 정규분포 대신 스튜던트 t분포를 사용했습니다. t분포의 자유도는 표본 크기-1이었죠.

  평균비교도 두 모집단 표준편차 대신 표본 표준편차를 사용합니다. 자유도는 어떡하냐고요? 자유도 공식은 다음과 같습니다.

나머지 방법은 같습니다.

요약) 두 모집단 평균비교(모집단 표준편차를 모를 때)

1) 표본평균 차이로 귀무가설/대립가설을 세운다

2) 표본평균 차이와 표준편차로 분포(정규분포)를 만든다

3) z값을 구하고 스튜던트 t분포에 맞는 p값을 구한다

4) p값과 유의수준을 비교한다

엑셀에서 평균 비교하기(모집단 표준편차를 알 때)

1) 엑셀 [데이터] - [데이터 분석]에 들어갑니다.

(없다면 [파일] - [옵션] - [추가 기능]에서 추가합니다)

2) 'z-검정 : 평균에 대한 두집단'을 선택합니다.

3) 변수 범위, 가설 평균차(여기서는 0), 두 모집단의 분산('분산-기지값', 기지旣知는 이미 안다는 뜻), 유의수준을 입력하고 '확인'을 누릅니다.

엑셀에서 평균 비교하기(모집단 표준편차를 모를 때)

1) 엑셀 [데이터] - [데이터 분석]에 들어갑니다.

(없다면 [파일] - [옵션] - [추가 기능]에서 추가합니다)

2) ‘t-검정: 이분산 가정 두집단’을 선택합니다.

3) 변수 범위, 가설 평균치(0), 유의수준을 선택하고 확인을 누릅니다.

지난 시간에는 귀무가설과 대립가설,

귀무가설을 기각할지 말지를

p값을 이용해서 알아보았습니다.

지난 시간에는 모표준편차를 안다고 가정하고 계산했지만

이번에는 모표준편차를 모르는 때를 알아봅시다.

구간추정에선 모표준편차를 알 때/모를 때를 구분했는데,

모를 때는 모표준편차 대신 표본 표준편차를 사용했습니다.

표준정규분포 대신 자유도에 따른 t분포를 사용했고요.

이번에도 같습니다.

모표준편차는 표본 표준편차로 대신해서

표본분포 표준편차를 구합니다.

모표준편차를 알 때는 표본평균의 표본분포를 그렸는데,

이번에는 자유도가 n-1인 t분포를 그립니다.

z값을 구하듯

(표본평균 – 가정한 모평균)/표본분포의 표준편차

를 계산합니다.

예를 들어

귀무가설 : μ≤3

대립가설 : μ>3

n = 50

표본평균 = 3.1

표본 표준편차 = 1.1

유의수준 = 0.05

일 때, 귀무가설을 기각해야 할까요?

t값은 (3.1-3)/ 1.1/√50 = 약 0.64입니다.

자유도가 50-1= 49인 t분포에서

0.64보다 클 확률은 얼마일까요?

엑셀 T.DIST 함수를 이용해서

t분포 값을 계산할 수 있습니다.

=T.DIST( x , 자유도 , T/F)

TRUE : 누적

FALSE : 확률밀도값

=T.DIST(0.64 , 49 , TRUE)는

0.73입니다.

t값이 유의수준보다 크므로

귀무가설을 기각할 수 없습니다.