부력이란 유체에 잠긴 물체가 잠긴 부피만큼 차지한 물의 무게만큼 위로 받는 힘을 말합니다. 아르키메데스가 '유레카!'를 외치게 만든 그 원리가 맞습니다. 부력의 예시로는 물 위를 떠다니거나 물 속에 있는 모든 물체를 들 수 있습니다. 거대하고 무거운 유람선도 부력 덕분에 가라앉지 않을 수 있는 것입니다. 중, 고등 과학시간에 한번쯤 들어보셨을 테지만, 오늘은 유체역학에 걸맞게 부력을 증명하고 식으로 계산해봅시다.

부력 증명

  부력의 크기를 어떻게 구할 수 있을까요? 다행히 우리는 정역학과 자유물체도를 압니다.

  물 속에 떠 있는 물체 A를 가정합니다. 물은 흐르지 않고 물체도 정지한 상태입니다. 따라서 합력은 0입니다. 좌우방향은 어차피 상쇄할 테니까 상관이 없습니다. 문제는 상하(연직)방향입니다. 분명 물체엔 W라는 무게가 있습니다. 그런데 왜 아래로 움직이지 않을까요?

  정수압 때문일 겁니다. 정수압은 깊을수록 높습니다. 물체 윗부분을 아래로 누르는 정수압보다 아랫부분을 누르는 정수압이 더 크며, 이 크기가 무게 W를 완벽히 상쇄해 물체가 가만히 있는 것이겠죠. 연직방향 힘 평형식을 적어 봅시다.

(a는 물체의 위에서 본 면적, 윗방향을 +로 설정함)

정수압은 물의 단위중량 곱하기 깊이입니다.

식을 정리하면 (h2-h1)a는 물체의 부피 V와 같아집니다.

  결국, W는 물의 단위중량 곱하기 물체의 부피입니다. 즉 물체의 부피만큼 존재하는 물의 무게와 같습니다. 부력=W=물체만큼 있는 물의 무게. 물체가 울퉁불퉁해서 (h2-h1)a가 부피와 다르다면 어떡하냐고요? 그래도 적분을 이용하면 V가 나옵니다. 완전히 잠기지 않은 물체도 '잠긴 부피'만큼 물이 차지하는 무게가 부력으로 작용합니다.

  선박을 예로 들어 봅시다. 선박의 '잠긴 부피'를 헷갈리기 쉽습니다. 선박은 안이 비어 있지만, 잠긴 부피는 말 그대로 물에 들어온 부피를 말합니다. 만약 선박 안까지 꽉꽉 차 있었다면 물에 가라앉았겠죠. 속을 비웠기 때문에 부력을 유지한 채로 무게만 줄여서 잘 뜨는 것입니다.

응용. 바닥에 닿은 물체

  '바닥을 쳤다면 이제 오를 일밖에 없다'는 자기개발 문구를 자주 봅니다. 논리적으로 맞는 말이긴 한데 올라가기 전에 익사하지 않을까 생각합니다. 아무튼 물속 바닥에 있는 물체가 받는 힘을 구하라는 문제가 간혹 나옵니다. 놀랄 필요 없습니다. 물체가 연직방향으로 받는 힘은 세 가지뿐입니다. 아래로 받는 물체의 무게(중력), 위로 향하는 부력, 바닥에 위에서 받치는 힘입니다. 무게는 이미 알고 부력은 물체 부피를 알면 구할 수 있습니다. 따라서 힘 평형식을 세우면 바닥에서 받는 힘을 구할 수 있습니다.

응용. 뜰까 말까?

  물체를 바다에 던지면 뜰까 안 뜰까?도 부력을 통해 구할 수 있습니다. 물체의 부피를 잰 다음, 물의 단위중량을 곱하면 부력이 나옵니다. 이 부력이 물체의 무게보다 크다면 물체는 둥둥 뜨겠죠. 부력이 무게보다 작다면 가라앉게 될 겁니다. 사실 이 문제는 부력보다는 밀도/단위중량 문제입니다. 늘 밀도/단위중량이 높은 물체가 아래로 가게 되지요.