재료역학 2] 반력과 내력

지난 시간, 힘 평형과 모멘트 평형을 식으로 배워보았다.

이번에는 반력과 내력을 구하고

이를 바탕으로 자유물체도를 그려보자.

지난번에는 물체를 가져다놓고

물체에 가해지는 힘을 표시하면서

예를 들었어.

기억나니?

네.

화살표로 힘의 방향을 표시하고

숫자로 그 양을 썼죠.

맞아.

한 물체에 가해지는 힘을 죄다 표시한 것이

바로 자유물체도(Free Body Diagram, FBD)야.

제일 쉬운 자유물체도라면

바로 이런 보의 자유물체도겠지.

보에 힘을 가하고,

밑에서는 반력이 생기면서

힘과 모멘트가 평형을 이루는 거야

(보 자중은 생략)

선배,

보 왼쪽 지지부는 뾰족데

오른쪽 지지부는 둥그네요?

맞다! 반력 종류를 설명해 줘야겠구나!

반력의 종류

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이 그림을 봐.

멋진 스케이트보드네요.

이 스케이트보드를 위에서 누르면 어떻게 될까?

뭐, 체중이 150kg이 아닌 다음에야

가만히 있겟죠.

그럼 옆에서 누르면?

바퀴가 달렸으니까

옆으로 이동하지 않을까요?

맞아.

바퀴는 세로방향 힘에는 저항하지만

가로방향 힘에는 저항하지 못해

(마찰 등을 제외한다면)

어떤 물체가 바퀴로 지지된다면

그 물체는 가로방향 반력을 만들지 못할 거야

반력(Reaction Force)은 말 그대로 반응(Reaction)하는 힘이니까.

그럼 이런 지지는

세로방향 반력만 만들 수 있는 건가요?

그렇지!

그러니까 이런 지지의 반력을 구하고 싶다?

지지하는 방향의 직각방향 반력만 설정하면 되지

두 번째 지지는 이런 모양이야.

아파트 정문 게이트에 있을 법한 구조네요.

이걸 가로세로로 누르면 어떻게 될까?

이건 위치가 고정되었으니까

어느 방향이든 움직이지 않겠네요.

선배처럼 말하자면

어느 쪽이든 반항하니까

반력은 세로방향 힘과 가로방향 힘,

두 가지가 나오겠죠?

머리회전이 빠르구나.

그럼 이건 어때?

막대기가 벽에 박혔네요.

이것도 위치가 고정이니까

두 가지 힘이 반력으로 나오지 않을까요?

반은 맞고 반은 틀려.

앞선 두 지지는 회전에 저항하지 못했어.

하지만 이번 지지는 어떨까?

박혀 있으니 돌리지 못하겠죠.

돌리지 못하니까... 아!

모멘트 반력도 생기는군요!

그렇지.

이런 지지에서는

힘 두 가지에 모멘트까지 해서

반력이 세 종류 생기게 돼.

지지는 내가 말한 순서대로

롤러(Roller), 핀(Pin), 고정(Fixed)이라고 주로 말하지.

물론 다른 지지도 있지만

이 세 가지가 제일 기본이고

대학생활 내내 볼 거라는 점 명심해.

내력

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이제 물체를 중간에서 잘라보자.

네? 왜 잘라요.

자르면 무너지지 않나요?

바보야. 진짜 자르는 게 아니라

가상으로 잘라 보자는 이야기야.

그래야 물체 중간에 걸리는 힘을 알 수 있거든.

물체는 모든 부분이 다 같은 힘을 받지 않나요?

정말 그렇게 쉬웠다면

나도 학점을 잘 받았을 텐데...

한번 이 보의 정중앙을 (상상 속에서)잘라보자.

이 두 단면 사이에는 힘과 모멘트가 작용할 거야.

왜요?

나랑 네가 손을 잡았는데,

상상 속에서 두 손을 떼어놓는다고

실제로 뗀 건 아니잖아?

양쪽이 서로 밀고, 당기고, 돌리고 할 거라고.

그럼 힘 두 가지랑 모멘트,

이렇게 셋이 있는 건가요?

그래. 이렇게 표시하자.

꼭 이 방향이어야 하나요?

대부분은 이렇게 표시해.

거의 규칙이니까 너도 익숙해지는 게 좋아.

실제 이런 방향이 아닐 수도 있잖아요.

그럼 계산해서 -가 나오겠지.

네가 설정한 방향대로 풀었는데 음수라면

사실은 그 반대 방향으로 양수인 거야.

왜 V와 N이라고 쓰죠?

각각 축방향(Normal)힘과

수직방향(Vertical) 힘이지.

아무튼 힘평형과 모멘트 합 공식을 이용하면

내부에 걸리는 힘과 모멘트를 계산할 수 있을 거야.

진짜 공부하는 사람이라면

도서관에서 예제를 풀지 않을까?

분포력

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그런데 좀 이상해요.

응? 어디가?

못이나 우산 끄트머리로 누른다면야

이런 자유물체도를 그릴 수 있겠죠.

하지만 힘은 원래 한 지점보다는

넓게 퍼져서 들어가지 않나요?

우리 김새빛 학우가

정말 센스 있는 말을 해 줬구나.

네 말대로 세상에는 집중하중뿐 아니라

분포력도 있어.

분포력은 당연하겠지만

힘/길이 단위로 표현하지

(실제로는 힘/면적이겠지만

우리 진도는 아직 옆에서 보는 2차원임을 잊지 마)

그럼 평형식으로 계산할 때는 어떡하죠?

힘 평형에서는 당연히 분포하중에 길이를 곱해서

그 총량으로 계산해야지.

예를 들어 3N/m가 2m에 퍼져 있다면

총 6N인 셈이지.

모멘트는요?

힘X거리인데 거리가 '여기부터 저기까지'잖아요.

설마 인테그랄 적분식으로 구하라는 건...

사실, 원리적으로는 적분으로 구하는 게 맞아.

하지만 요령이 있어.

모멘트를 구할 때

힘 크기는 총합으로 하되

위치는 그 분포하중의 정중앙으로 두는 거야.

그래도 적분 결과랑 같거든.

그렇겠네요.

근데 그건 분포하중이 일정할 때만 맞지 않나요?

만약 분포하중이 1차, 2차 그래프 형태라면요?

분포하중이 삼각형 모양이면

위치를 2:1 지점으로 하면 돼.

1차 그래프(사다리꼴)라면

일정한 분포하중 + 삼각형 형태로 나누어 계산하고.

하지만 더 복잡한 모양이라면...

그저 하늘을 원망하는 수밖에...