재료역학 3] 축하중을 받는 부재

지난 시간에는 부재에 얼마나 하중을 받는지 계산해 봤어. 힘과 

모멘트 평형식으로 반력이나 내력을 알아냈지.

우선 스트레스를 받을 시간이야.

엥?

아. 농담도 잘하시네요.

응력(Stress) 말하는 거죠?

응력은 저도 알죠.

면적에 걸리는 힘이잖아요.

단위는 [힘/면적]이고요.

맞아. 압력과 단위가 같아서

Pa(파스칼)이나 psi(제곱인치 당 파운드)같은 단위도 쓰지.

단위변환을 외워두면 자잘하게 도움이 되니까 알아둬.

1 Pa = 1 N/m^2

1 psi = 6894.76 Pa

1 ksi = 1000 psi

1 bar = 100000 Pa

축하중을 받는 부재

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응력 중에서 제일 단순한

축하중을 받는 부재의 응력이야.

이 부재는 모든 부분에서

'하중/부재 단면적'에 해당하는

응력이 걸리겠죠?

그렇지.

비록 축하중이 점하중이지만

우리는 이 하중이 부재 전면에 걸린다고 생각하자.

'생각'이요?

실제로는 안 그런가요?

차이가 없다고 할 수는 없겠지만

생 베낭트의 원리(St Venant's principle)에 따라

하중이 작용하는 곳에서 멀수록

점하중과 분포하중은 역학적으로 거의 같은 작용을 하지

걱정하진 마.

시험에서도 딱히 구분하진 않으니까.

심지어 생 베낭트라는 이름도

호기심에 찾아봤다가 들어본 이름이야.

난 재료역학 강의에서도 못 들어봤어.

응력-변형율 그래프

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응력을 받을수록 재료는 늘어나거나 줄지

특히 재료역학에서 주로 다루는 재료인

금속은 탄성으로 행동하니까 말이야.

그래도 응력을 아주 많이 가하면

언젠가 끊어지겠죠?

그런 재료거동을 설명하는 것이

바로 응력-변형율 그래프지.

(응력-변형율 선도/곡선이라고도 하지)

앞으로 졸업할 때까지 볼지도 모를 그림이야.

잠깐, 변형율이 뭔지는 알지?

당연하죠.

원래 길이에서 길이가 달라진 비율이잖아요.

길이변화/원래길이로 계산하고요.

그래. 응력-변형율 그래프는

세로축을 응력, 가로축을 변형율(Strain)로 한 채

재료를 누르거나 당기면서 그 관계를 그린 그림이야.

그러니까 세로축(응력)이 증가한다면 더 큰 힘을 가한 것이고

가로축(변형율)이 증가한다면 더 늘어난(줄어든) 것이지.

먼저 힘을 가하면

응력과 변형율은 비례 관계로 늘어나기 시작해.

마치 용수철과 같지.

고등학교 물리에서 봤을 수도 있는데

용수철을 당기는 힘과 길이변화는 비례한다고 배웠지?

맞아요. 기억 나요.

처음 응력이 걸린 부재도

용수철과 비슷하게 작용해.

(물론 모든 재료가 이렇지는 않아)

여기서 응력이 더 증가해서

항복 강도(Yield strength)를 넘어버리면

그래프가 옆으로 죽죽 나아가지.

응력이 딱히 증가하지 않았는데

변형율이 늘어났으니

응력을 더 주지 않았는데도

재료가 늘어난 거네요.

그래. 그런 다음 변형 경화가 와.

응력과 변형율이 같이 증가하지

처음보다는 변형율이 속수무책으로 증가하긴 하지만.

그러다가 결국 산꼭대기에 서네요.

마침내 극한강도(Ultimate strength)

(인장강도, Tensile strengh라고도 해)에 다다르면

네킹(Necking) 현상이 벌어지고 말아.

죽죽 늘어나면서 단면적이 급격히 줄어들지

그런 다음에 파단(Fracture), 즉 끊어지고.

알루미늄 같은 재료는 항복강도가 좀 모호하긴 하지만

크게 다르지는 않아.

영의 계수

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우리가 중점적으로 볼 부분은

맨 처음,

응력과 변형율이 비례하면서 늘어나는 부분이야.

용수철처럼 늘어나는 부분 말이죠?

훅의 법칙(Hooke's Law)에 따라

용수철을 늘이거나 줄일 때

용수철이 돌아가려고 반항하는 복원력은

늘어난 길이에 비례해.

F = -kx

(-가 있는 건

내가 늘인/줄인 방향과

용수철이 원래대로 가려는 방향이 반대기 때문이야)

이때 k는 용수철 상수라고 불렀고, 용수철마다 값이 달랐어요.

부재도 똑같아.

처음엔 응력과 변형율이 비례해.

비례식으로 쓰자면

응력 = 계수 X 변형율이지.

여기 계수 E는 뭐라고 부르죠?

부재계수라고 하나요?

영국 과학자 토마스 영을 따서

영의 계수(Young's modulus)라고 부르지.

영률, 탄성계수(Elastic modulus)라고도 하고.

알파벳 대문자 E로 써.

변형율이 [길이/길이]라 무단위기 때문에

영의 계수의 단위는 응력과 같아.

영의 계수도 재료마다 다르겠네요.

그래. 철은 약 200GPa,

알루미늄은 약 70GPa 되는 탄성계수를 가지지.

푸아송 비

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여기서 문제.

세로로 꽉 누르는 이 부재의 부피는

어떻게 될까?

뭐, 꽉 누르고 축방향으로 압축되니까

당연히 줄어들겠죠?

맞아. 줄어들긴 줄어들겠지.

하지만 그냥 줄어들기만 할까?

만약 이게 건축재료가 아니라

젤리라면?

그럼 눌리다가 퍽 하고

옆으로 터져 버리겠죠.

그렇지? 재료도 같아.

세로로 누르면 가로로 살짝 뚱뚱해지고

당기면 살짝 홀쭉해지겠지.

그 비율을 표현한 것이 바로

푸아송 비(Poisson's ratio)야.

왜 식에 -가 있죠?

세로로 짧게 변형하면

대부분 재료는 가로로 늘어날 테니까

부호가 다를 수밖에.

거기에 -를 붙여서 양수로 만들어 주는 거지.

만약 세로로 압축시켰는데

가로로도 압축된다면

푸아송 비는 음수겠군요?

이론적으론 그래.

아무튼 푸아송 비를 알면

재료의 특성을 조금은 짐작할 수 있지.

변형길이 구하기

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드디어 오늘의 하이라이트!

변형길이를 구해보자.

엥? 그거야 쉽죠.

올~ 한번 말해봐.

단면적과 길이와 탄성계수를 아는 부재에

축방향 하중이 걸린다면?

하중을 단면적으로 나누어 응력을 구하고

변형율은 응력을 탄성계수로 나누어 구하고

변형율은 변형길이/원래길이니까

여기에 원래길이를 곱하면 변형길이가 나오죠.

이럴 수가.

내가 호랑이 새끼를 키웠구나.

공식으로 쓰자면

변형길이는(주로 그리스 문자 델타로 쓰지)

PL/EA야.

난 1학년 때 플리즈(PLEAse~)로 외웠어.

EA는 흔히 축강도(Axial Rigidity)라고 불러.

그외에 하중을 변형길이로 나눈 값은

강성도(Stiffness)로 k라 쓰고

변형길이를 하중으로 나눈 값은

유연도(Flexibility)로 f로 쓰는 편이야.

(보면 알겠지만 서로 역수고)

다음 시간에는 좀 복잡한 케이스와

부정정 구조물을 알아보자.