레온하르트 오일러(1707~1783)는 스위스에서 태어난 수학자입니다. 오일러라는 이름을 못 들어봤다면, 여러분은 한 분야에 인생을 매진했거나 수학에 담을 쌓은 사람일 겁니다.

  그 정도로 오일러는 수학에 엄청난 발자취를 남겼고 심지어 그 발자취 하나하나가 교과서를 장식합니다. 오일러는 함수를 $f(x)$로 쓰기 시작한 사람입니다. 또 자연상수 $e$, 지수함수와 로그함수를 대중화했습니다. '세상에서 제일 아름다운 공식'이라고 불리는 오일러의 공식을 발견했고, 심지어 기둥이 좌굴(기둥이 무게에 찌그러지는 대신 옆으로 꺾여버리는 현상. 좌굴을 일으키는 하중은 찌그러뜨리는 하중보다 작은 경우가 많아 꼭 대비해야 합니다.)하는 임계하중을 계산해내어 건축/토목공학에까지 자기 이름을 남겼습니다.

  '심심풀이로 읽는 수학' 등에 잘 나오는 이른바 '한붓그리기'도 오일러가 이론으로 승화했습니다. 그야말로 사람이 수학계에 세울 수 있는 업적은 거의 다 세웠다고 봐도 좋은 사람입니다. 삶이 곧 계산이자 수학이던 오일러는 1783년 76세의 나이에 뇌출혈로 사망합니다.

오일러의 정리

  오일러는 수학 전반에 걸쳐 업적을 남겼고, 오일러가 만든 공식과 기호도 많습니다. 이번에 살펴볼 것은 바로 오일러의 정리(Euler's theorem)입니다. 오일러의 공식(Euler's formula)와 헷갈리지 않도록 조심합시다. 물론 언젠가 오일러의 공식도 한 번 살펴볼 겁니다. 오일러의 정리는 다음과 같습니다.

  ≡는 보셨다시피 나눈 나머지가 같음을 나타내는 기호입니다. 나눗셈, 몫, 나머지랑 관련한 기호에 제곱이 당당하게 나오는 것이 신기합니다.

  그러나 아무 숫자나 넣어 보시면 공식이 맞음을 알게 됩니다. 예를 들어 10을 봅시다. 10 미만 자연수 중 10과 서로소인 수는 1, 3, 7, 9로 네 가지입니다. 즉 $\varphi(10)=4$입니다. 여기에 10과 서로소인 7을 a로 해 봅시다. 7^4는 2401입니다. 이걸 10으로 나누면 2401 = 10*240 + 1이 되어 나머지가 1입니다.

  합동식의 기본 개념을 '중국인의 나머지 정리'를 설명하면서 설명했습니다.

오일러의 정리 증명

  $\varphi(n)$에 해당되는 수(n보다 작으며 n과 서로소인 수)들만 모으면 $b_1, b_2 \dots$가 있다고 합시다.

(당연히 개수는 $\varphi(n)$)

  여기에 n과 서로소인 a를 곱하면 $ab_1, ab_2 \dots$가 됩니다. $b_1, b_2 \dots$가 모두 n과 서로소이고 a도 n과 서로소이므로 둘을 곱한 $ab_1, ab_2 \dots$도 n과 서로소입니다.

$ab_1, ab_2 \dots$를 n으로 나눕니다. 나머지는 서로 전부 다릅니다. 어떻게 알까요?

귀류법을 사용합니다. 귀류법은 일부러 틀리게 시작한 다음, 모순이 생기면 처음 가정이 틀리다고 결론 짓는 방법입니다. 그럼 나머지가 전부 다르지 않다, 같은 것이 있다고 가정해 봅시다.

  $ab_i \equiv ab_j \pmod{n}$ (단 i≠j)인 i와 j가 있다고 칩시다. ($= ab_i$를 n으로 나눈 나머지가 같은 i가 둘 있다) $ab_i \equiv ab_j$는 n으로 나눈 나머지가 같으므로 둘을 빼면 나머지가 상쇄해 n으로 나누어떨어질 겁니다.

  즉, $a(b_i-b_j)$가 n의 배수가 되는 셈이죠. a는 n과 서로소이므로 $(b_i-b_j)$쪽이 n의 배수입니다. b들은 n보다 작으면서 서로소인 수라고 했습니다. 당연히 전부 n 이하입니다. 이 b 둘을 뺐으니 차이의 절댓값도 n 보다 작습니다.

$-(n-1) \leq b_i-b_j \leq n-1$

그런데 이 범위에는 n의 배수가 있을 수 없습니다.

n=10이라면 $-(n-1)=-9, n-1=9$입니다.

-9와 9 사이엔 10의 배수가 없습니다.

$(b_i-b_j)$이 n의 배수인데 가능한 범위에 n의 배수가 존재하지 않다니요? 모순입니다.

따라서 귀류법에 따라 $ab_i$는 n으로 나눈 나머지가 같은 쌍이 있을 수 없습니다. 즉 나머지는 모두 다릅니다.

여기서 잠깐. 서로소를 나눈 나머지는 나눈 수와 서로소일까요?

X와 Y는 서로소다. X를 Y로 나눈 나머지는 Y와 서로소인가?로 써 봅시다.

이번에도 귀류법을 사용합니다.

Y와 나머지 Z가 서로소가 아니라고 해 보죠.

$Y=ay, Z=az (a \neq 1)$로 쓸 수 있습니다. a라는 1이 아닌 공약수가 있는 것이죠.

나눗셈은 $X = ay*m + az = a(ym + z)$로 표현 가능합니다.

$X =a(ym + z)$로 X는 a의 배수입니다.

X가 a의 배수라면 Y와 서로소라는 가정을 어기므로

귀류법에 따라 Y와 Z는 서로소입니다.

이렇게 n과 $ab_i$도 서로소이므로 n으로 나눈 나머지도 n과 서로소입니다.

$ab_1, ab_2 \dots$를 n으로 나눈 나머지들은

1) n보다 작고

2) n과 서로소고

3) 개수가 'n보다 작고 서로소인 숫자'들 개수와 같다.

그러므로 이 나머지들은 $b_1, b_2 \dots$와 순서는 다를지 몰라도 내용물이 완전히 같습니다.

  합동식은 mod 뒤 숫자만 같으면 여러 합동식이 있을 때 좌변은 좌변끼리, 우변은 우변끼리 곱해도 합동이 성립합니다.

$ab_1 \equiv \bigcirc_1 \pmod{n}$

$ab_2 \equiv \bigcirc_2 \pmod{n}$

$\dots$

↓

$ab_1 \times ab_2 \dots \equiv \bigcirc_1 \times \bigcirc_2  \dots \pmod{n}$

○들은 순서는 몰라도 내용물은 전부 $b_1, b_2 \dots$와 같습니다. 다 곱해버렸으니 이제 순서는 상관이 없겠죠. 따라서 

$ab_1 \times ab_2 \dots \equiv b_1 \times b_2 \dots \pmod{n}$

$ab_1 \times ab_2 \dots = a^{\varphi(n)} \times b_1 \times b_2 \dots $

로 쓸 수 있으니까 결과적으로

$a^{\varphi(n)} \times b_1 \times b_2 \dots \equiv b_1 \times b_2 \dots \pmod{n}$

입니다.

$b_1 \times b_2 \dots $는 n과 서로소고 최대공약수는 1이므로

합동식 성질에 따라

$ ab \equiv ac \pmod{m} $

일 때 d='a와 m의 최대공약수'라면

$b \equiv c \pmod{m/d}$로 나눌 수 있습니다.

  이 식에선 $b_1 \times b_2 \dots $와 n은 서로소니까 최대공약수 d=1입니다. 그러니 $b_1 \times b_2 \dots $로 나눠도 mod 뒤에 있는 n은 1로 나뉘어 똑같겠네요.

$1 \equiv a^{\varphi{n}} \pmod{n}$

페르마의 소정리

  수학자 하면 페르마도 빼놓을 수 없습니다. 비록 아마추어 수학자라고는 하지만 웬만한 프로 수학자만큼 업적이 대단한 사람이죠. 그 유명한 페르마의 마지막 정리로 수학자들을 고생시킨 장본인이고요.

페르마의 소정리(Fermat's little theorem)는 다음과 같습니다.

  페르마의 소정리는 오일러의 정리에 n 대신 소수 p를 입력하면 됩니다. 소수는 1과 자기 자신 빼고는 약수가 없는 수입니다. 따라서 소수 미만 자연수는 전부 그 소수와 서로소입니다.($\varphi(p)= p-1$)

응용

  페르마의 정리는 솔직히 실생활에 거의 쓸모가 없는 공식입니다. 주로 수학경진대회에 나와서 학생들의 골머리를 아프게 하죠.

문제 예) 7^2016의 마지막 세 자리를 구하시오

풀이 ) $\varphi(1000) = 400$임을 이미 아는 상태에서 시작하자.

$a=7, n=1000$으로 놓으면

$7^{400} \equiv 1 \pmod{1000}$이다.

$7^{2016} = (7^{400})^5 * 7^{16}$이고

$7^{2016} \equiv (7^{400})^5 * 7^{16} \pmod{1000}$이며

($a \equiv a \pmod{m}$이니까)

$7^{2016}$을 1000으로 나눈 나머지(마지막 세 자리)는

$(7^{400})^5 * 7^{16}$을 1000으로 나눈 나머지와 같다.

$(7^{400})^5$는 1000으로 나눈 나머지가 1이므로

......001로 끝난다. 여기에 $7^{16}$을 곱한 수는

마지막 세 자리가 $7^{16}$과 같다. 그러므로

$7^{2016}$의 마지막 세 자리는 $7^{16}$의 마지막 세 자리와 같다.

(물론 $7^{16}$의 마지막 세 자리도 구하긴 어렵겠지만)

1부 보러가기

3 으로 나누어 2가 남고,

5로 나누어 3이 남고,

7로 나누어 2가 남는 수는?

합동방정식

  지난 시간엔 사장의 고민과 5세기 중국인의 고민을 같이 살펴봤다. 보기엔 별것 아닌 듯 보여도 막상 풀려니 안 풀리는 문제였다. 이제 여러분은 ≡과 합동을 대강 알게 되었다. 그럼 문제로 들어가 볼까?

  사장은 조건에 맞는 수를 구하느라 진을 빼는 중이다. 알지 못하는 수를 우리는 미지수라고 부른다. 미지수가 들어간 식을 방정식이라고 한다. 우리가 자주 보는 방정식은 이렇게 생겼다.

$4x + 15 = 9$

$x^2 - 6x + 9 = 16$

(참고로 위 식 해는 $x=-4$, 아래는 $x=7, -1$이다.)

  이렇듯 =를 사이에 두고 모르는 숫자 x가 있어 그걸 풀 수 있다. 그럼 ≡가 있는 방정식은 없을까? 합동식인데 x가 있는 방정식이니, 이런 식을 합동방정식이라 부르자.

보통 1차합동방정식은 이렇게 생겼다.

$25x\equiv10 \pmod{15}$

  $25x$는 15로 나누어 10이 남는다는 말이다. 이 정도면 계산이 필요 없긴 하다. $x=1$ 이면 $25\equiv10 \pmod{15}$니까 맞다. $x=2$는 성립 안 하고, $x=3$이면 $75\equiv10 \pmod{15}$가 성립한다.

아마 답은 $x= 1, 3, 5\dotsc$인 모양이다. 이렇게 합동방정식의 해는 하나가 아니며 ≡를 넣어 표현할 수 있다. 위 같은 경우는 $x\equiv1 \pmod{2}$일 것이다.

일차합동식 풀어보기

  그럼 $25 \equiv10 \pmod{15}$를 '수학적'으로 풀어보자. 사장이 원하는 답은 일차합동식과 큰 관련이 있다.

  우리가 알고 싶은 건 $ax \equiv b \pmod{m}$을 만족하는 x다. ≡가 있는 걸 보니 ax와 b는 m으로 나눈 나머지가 같다. 식으로 표현하면 이렇다.

ax = □m + ※

b  = △m + ※

(□, △, ※는 당연히 정수다)

※가 공통이니까 따로 정리할 수 있다. 따라서

※ = ax-□m = b-△m,

ax-b = (□-△)m = km

이다.

  a, b, m은 알고 x, k는 모른다. 그런데 k를 y로 바꾸면 x와 y가 있는, 그나마 보기에 평범한 식이다.

$ax - my = b$

  이런 방정식을 선형 디오판토스 방정식이라고 한다. 옛날 그리스 수학자 디오판토스가 열심히 연구해서 이런 이름이 붙었다. 여기서 디오판토스 방정식을 구구절절 설명할 생각은 없다. 하나 확실한 건, 선형 디오판토스 방정식에 해가 존재하려면 b가 (a, m)의 최대공약수에 나누어떨어져야 한다는 점이다.

  a, m의 최대공약수를 d라고 부르자. 즉 b가 d에 나누어떨어져야만 위 일차합동식의 해가 존재한다.

  만약 저 조건이 맞아서 정수해가 존재한다고 하자. 그럼 그 해는 얼마일까? 다행히 수학자들이 다 구해 두었다.

  헷갈리지 않게 원래 식으로 쓰자면 u와 v는 각각 a와 m을 $gcd(a, m)$으로 나눈 값이다.

  보다시피 선형 디오판토스 방정식의 x는 가짓수가 무한하다(존재한다면). 그러나 우리는 합동식을 푸니까 x는 0보다는 크고 b보다는 작아야 함을 잊지 말자.

  디오판토스 방정식에서 해를 $x_0$, $y_0$라고 하자. $x_{0}$는 수많은 해 중에 제일 작은 양수다. 선형 디오판토스 방정식의 해에 따라 정수해 쌍은 $(x,y)=(x_0+\frac{mk}{d}, y_0-\frac{ak}{d})$다. 이 쌍의 x들이 우리가 원하는 일차합동식의 해가 되어줄 것이다.

잠깐, $x=x_{0}+\frac{mk}{d}$라고?

그럼 x는 '$\frac{m}{d}$의 정수곱에 $x_{0}$를 더한 것'이라고 말해도 되겠네?

그럼 $x \equiv x_{0} \pmod{{m/d} }$라고 불러도 되지 않을까?

  바로 예시로 들어가 보자.

예시- $35x \equiv14 \pmod{21}$의 해는?

성질 7

“$ab \equiv{ac} \pmod{m}$ 이고  $d=gcd(a, m)$ 이면 $b \equiv c \pmod{m/d}$다.”

를 기억하는가?

이 공식을 알면 합동식 양변을 나누어 쉽게 문제를 풀 수 있다.

  위 식을 쪼개면 $7 \times 5x \equiv 7 \times 2 \pmod{21}$이 된다. 7과 21의 최대공약수는 7이니까 $5x \equiv 2 \pmod{21/7=3}$으로 바꾸어 쓸 수 있다. 디오판토스 식으로 쓰면 $5x-3y = 2$고 제일 단순한 해는 'x가 1, y가 1'이다.

  단순해진 합동식은 더는 나눌 수가 없으니 여기서 멈추자. 이 단순해진 디오판토스 방정식의 해는 $(1 + k \times 3/1 , 1 – k \times 5/1)=(1+3k, 1-5k)$다. 우리한테는 x만 필요하니 결국 해는 $x \equiv 1 \pmod{3}$이다.(다른 말로 하면 3으로 나누어 나머지가 1인 수, 그러니까 1, 4, 7, 10....인 것이다.)

  근데 이건 단순해진 디오판토스 식의 해일 뿐 우리가 원하는 디오판토스 식의 해가 아니다. 물론 1, 4, 7, 10… 도 답이지만 뭔가 부족하다.

$35x \equiv 14 \pmod{21}$역시 쉬운 해를 구해서 $mk/d$를 더하면 일반적인 해가 될 텐데….

아까 구한 1, 4, 7, 10... 이 쉬운 해 아닌가!

$x_{0}=1$이라면 $1+k21/7=1+3k  \to x \equiv1 \pmod{21}$

$x_{0}=4$라면 $4+k21/7=4+3k \to x \equiv4 \pmod{21} \dots$

  ($x \equiv 22 \pmod{21}$부터는 쓰지 말자. 21로 나누어 나머지가 어떻게 21이냐는 말이다.)

  이렇게 일차합동방정식의 해를 구해 보았다. 보다시피 해는 7가지가 나왔다. 물론 이보다 더 복잡한 일차합동식이 있으며, 지금 배운 방법으로 풀 수 없는 합동식도 있지만 우린 여기까지만 하자. 필요한 건 다 챙겼으니 말이다.

  다음 시간에...

3부 보러가기

시작하는 이야기

  한밤중, 칠흑 같은 바다가 일렁인다. 조명을 켜놓은 항구는 분주하다. 양복을 입은 남자들이 짐을 나르고 있다. 컨테이너에서 박스를 꺼내 화물차에 싣는다. 이 일은 밤에 해야만 한다. 박스 속에 있는 건 위험한 물건이기 때문이다. 그게 뭐냐고? 알면 안 된다. 위험하다니까...

"사장님."

  양복쟁이 하나가 검은 세단으로 다가가 허리를 굽히며 말한다. 진한 선팅을 씌운 창문이 내려간다. 그곳 뒷좌석에 한 남자가 앉아 있다. 사장님이라 불린 남자는 선글라스를 벗는다. 애초에 한밤중에 선글라스는 왜 쓴 것일까. 역시 위험한 물건을 다루는 사람답다.

"뭔데?"

사장은 목에 힘을 준다. 이 세계는 멋이 힘이다.

"작업 끝났습니다."

  사장이 창문 틈으로 보니 벌써 화물차가 상자로 가득하다. 이제 마무리하고 뜨기만 하면 된다.

"갯수는 확인했고?"

"그게..."

"무슨 일 있어?"

차 밖에 선 남자가 식은땀을 흘린다. 조짐이 심상치 않다.

"중국 쪽에서 상자 수를 알려주지 않았습니다."

"무슨 소리야? 몇 박스인지도 안 말하고 보내주다니. 그쪽에서 삥땅이라도 치면 어쩔 셈이야!"

"큰형님, 아니 회장님께서 이번 일은 믿어도 된다고 하셨습니다."

"회장님이 그리 말씀하신다면야..."

사장은 선글라스를 고쳐 쓴다.

"그래도 빼돌린 게 있는지는 알아야지. 정말 중국 쪽에서 아무 말도 없었어?"

"조심히 배송했다고 그랬습니다. 세 박스씩 묶어 보내려니 두 박스가 남고, 다섯 박스씩 보내려니 세 박스가 남고, 일곱 박스씩 보내려니 두 박스가 남았답니다. 그래서 그냥 공안에 돈 좀 찔러 한 번에 보냈다면서 말입니다."

"이게 뭔 개 같은 수학 문제냔 말이야."

  많은 사람은 이런 '사장님'과 '회장님'은 학창시절에 놀기만 했다고 생각한다. 그러나 위험한 물건을 다루는 사람 중에는 고학력자가 의외로 많다. 이 일도 머리가 좋아야 하는 법이다. 사장도 서울에 있는 이름 있는 대학교를 나와 수학에는 자신이 있다.

"어디 보자. 일곱 박스씩 보내면 두 박스가 남는다 그랬지? 7에 2를 더하면 9. 9는 세 박스로 딱 떨어지니까 아니야. 14에 2를 더하면 15. 15는 다섯 박스로 딱 떨어지니까 아니야. 21에 2를 더하면 23. 23은 세 박스로 나누면 2가 남고 다섯 박스로 나누면 3이 남아. 그래, 23박스다. 내 말 맞지?"

"사장님, 죄송하지만 그보다는 많이 왔습니다."

"뭐야? 아 씨. 계속 구해야 하잖아. 28에 2를 더하면 30. 이것도 아니고. 35에 2를 더하면 37. 이것도 아니고…."

  칠흑 같은 밤. 바다는 계속 일렁이고 사장은 검은 세단에 앉아 7의 배수에 2를 더해간다….

이 문제는 중국에서 시작되어…

서기 440년 경 남북조 시대(출처 : Ian Kiu, Wikipedeia Commons)

  고구려 장수왕이 재위하던 서기 5세기. 중국은 한족의 남조와 유목민족의 북조가 땅을 갈라 살았다. 이때를 남북조 시대라고 하는데, 이 글은 중국 역사 교과서가 아니므로 자세한 건 다른 사람한테 묻기 바란다. 아무튼, 이 5세기 즈음 중국에서 손자산경孫子算經이라는 책이 나온다. 글쓴이는 손자인데 손자병법을 쓴 손자와는 동명이인이다.

청나라 때 나온 손자산경

  손자산경은 상권, 중권, 하권으로 총 세 권이 있다. 이중 하권 26번 문제는 다음과 같다.

3으로 나누어 2가 남고, 5로 나누어 3이 남고, 7로 나누어 2가 남는 수는?

  언뜻 보기에는 쉽다. 나눗셈과 나머지는 초등학교만 나와도 아는 것이다. 복잡한 수식도 없고 이상한 그리스어 문자도 없다. 기쁜 마음에 답을 찾으려니 곧 아리송해진다. 3으로 나누어 2가 남는 수는 구하기 쉽다. 3의 배수에 2를 더하면 된다. 5로 나누어 3이 남는 수도, 7로 나누어 2가 남는 수도 구할 수 있다. 문제는 세 조건을 전부 만족하는 수를 구하는 일이다.

  검은 세단에 앉은 사장처럼 7의 배수에 2를 더한 다음 나머지 조건에 맞는지 계속 확인할 수도 있다. 아니면 이런 방법은 어떤가?

  사장은 23을 발견했다. 여러분이 숫자를 잔뜩 쓴다면 128도 찾아낼 수 있다.

그런데 그다음은? 또 그다음은?

  23이라는 답이 일찍 나와 망정이지, 첫 답이 19473이면 어쩔 뻔했을까? 사장은 다음 날 아침까지 계산해야 할 것이다.

  게다가 이 방법은 '수학적'이지 않다. 여기서 '수학적'이란 모범생이 칠판에 온갖 수식을 뽐내는 짓을 뜻하지 않는다. 사장처럼 하나하나 수를 알아보는 대신, 논리적 과정을 거쳐서 어떤 답을 딱 하고 내놓는 걸 말한다. 규칙을 찾는다면 23과 128 다음 수도 구할 수 있지 않을까?

합동식

  나쁜 소식과 좋은 소식이 있다. 나쁜 소식은, 여러분이 괴로운 학창 시절처럼 무언가 배워야 한다는 것이다. 좋은 소식은, 여러분 앞에는 나무판자에 절연테이프를 감고 휘두르는 수학 선생이 없다는 것이다.

3으로 나누어 2가 남는 수를 생각해보자. 2, 5, 7, 11… 이 있다. 예를 들어 11을 보자. 11은 3으로 나누어 2가 남는 수다. 소리쳐도 될 만큼 정확한 사실이다.

"11은 3으로 나누어 2가 남는 수다!"

  와. 띄어쓰기 포함 무려 21자다. 효율을 좋아하는 수학자들이 이걸 가만히 둘 리가 없다. 이들은 기어코 합동식이란 걸 발명하고 말았다.

이 글을 쓰는 사람도 공대생인 건 함정

  '11은 3으로 나누어 2가 남는 수다'는 합동식으로 이렇게 쓴다.

11≡2 (mod 3)

  ≡ 양옆에 있는 수는 mod 뒤에 있는 수로 나눈 나머지가 같다는 뜻이다. 그러니까 이렇게 써도 맞는 말이다.

11 ≡ 5 (mod 3)

11 ≡ 19 (mod 4)

  이때 이 식은 '11과 2는 법(modulo) 3에 대해 합동'이라고 읽는다.

합동식의 성질

  벌써 졸릴 것이다. 조금(아주) 졸리겠지만, 이걸 짚고 넘어가야 진행이 된다. 합동식을 통성명만 하고 끝낼 수는 없으니까 말이다. 합동식의 고향과 직업과 연봉도 물어봐야 한다.

1

자기 자신과는 무조건 합동이다

a≡a(mod m)

2

좌우 바꿔도 된다.

a≡b(mod m)이면 b≡a(mod m)

3

친구의 친구는 친구다.

a≡b(mod m)이고 b≡c(mod m)면

a≡c(mod m)다.

4

양옆으로 서로 더하고 뺄 수 있다.

a≡b(mod m)이고 c≡d(mod m)면

a±c≡b±d(mod m)다

5

양옆으로 서로 곱할 수 있다.

a≡b(mod m),c≡d(mod m)이면

ac≡bd(mod m)다

6

양옆으로 같이 제곱할 수 있다.

a≡b(mod m)면 a^k≡b^k(mod m)다.

7

mod 뒤 숫자를 좀 나누는 조건으로

양옆 숫자를 나눌 수 있다.

ab≡ac(mod m)이고 d=gcd(a, m)이면

b≡c(mod m/d)다.

* gcd : 최대공약수

* 특히 중요하니 눈여겨보도록

8

mod 뒤 숫자의 약수는 꿀빤다.

a≡b(mod m)고, n이 m의 약수라면

a≡b(mod n)다.

9

모든 이의 약수로 세계평화를 실천할 수 있다.

a≡b(mod m)고, 0보다 큰 d가 a, b, m의 공약수라면

a/d≡b/d (mod m/d)다.

  과연 이런 것들이 1500년 전 중국 사람이 낸 문제와 사장이 ‘위험한 물건’이 몇 상자인지 벌이는 고민과 무슨 상관일까? 당연히 상관이 있다.

다음 시간에 계속…….

2부 보러가기

노노그램(=네모네모로직), 저도 참 좋아하는데요.

직접 퍼즐을 만들어서 혼자 풀어보고, 친구와 나눌 수 있는 사이트와 프로그램을 소개합니다.

Relax puzzles - Creating a nonogram

http://nonograms.relaxpuzzles.com/create-a-nonogram

- 플래시 기반 사이트

- 가로 99칸, 세로 99칸까지 가능

- 가로/세로/제목을 입력한다

- 마우스로 칠하고 Save를 누른다

- 저장하는 법은 없다. 알아서 캡처해야 한다.

Picross maker

http://ichrisi.bizhat.com/custom_js/picross_maker.html

- 노노그램을 칠하고 URL을 만든다.

- URL을 보관하거나 친구한테 보내서 풀게 할 수 있다

- 줄과 칸을 추가할 수는 있는데 한 줄씩 추가해서 꽤 귀찮다

- 색칠하고 'Generate URL to play'를 누르면 URL이 나온다. 클릭해서 들어가거나 복사해서 보낸다.

Nonogram.net

http://nonograms.net/

-사이즈가 제한적이다

- Create a new Nonogram을 누르고 크기를 정한 다음 Create를 누른다.

- Encode를 누르면 노노그램이 완성된다.

- URL을 주긴 하는데 칠한 칸이 그대로라 캡처해서 쓸 수가 없다.

Nonogram Puzzle Builder

http://www.landofcrispy.com/nonogrammer/nonogram.html?mode=build

- 컬러 노노그램을 만들 수 있다

- + 버튼을 누르면 색이 추가되고, 색을 클릭하면 색을 바꿀 수 있다

- 줄/칸 늘리는 것이 조금 귀찮다.

- Difficulty를 정하고 Generate Puzzle을 누른다

(숫자가 낮을수록 만든 노노그램에 힌트가 생긴다. 아무것도 없는 빈칸을 원하면 10으로 맞춘다)

- 퍼즐과 노노그램 플레이 링크가 같이 생긴다

LogTek Puzzle Maker

Logtek Puzzle Maker.zip

- 다운로드 받아 설치하는 노노그램 만드는 프로그램

- 흑백 외에도 6가지 색을 지원

- 풀 수 있는 퍼즐인지 테스트할 수 있다

- File - Print Puzzle을 누르면 프린트하거나 PDF 파일로 보낼 수 있다.

- 오프라인으로 보내기 딱 좋다.

  그냥 '작은 기타'라 부르기엔 자기 색이 강한 악기 우쿨렐레. 작고 네 줄짜리지만, 아이처럼 들뜨면서 낮잠처럼 그윽한 소리가 매력이다.

  하와이 섬 하면 꽃 목걸이, 나뭇잎 치마를 두른 아가씨가 추는 훌라춤, 야자수를 떠올리는데 이 우쿨렐레도 하와이 이미지에 한몫하는 하와이 대표 악기다. 우쿨렐레는 하와이어로 '튀어 오르는 벼룩'을 뜻한다.

  기타보다 작아 가지고 다니기 좋고 배우기도 쉬운 편이라 우리나라도 우쿨렐레가 인기를 얻었다. 특히 아이유가 우쿨렐레를 켜고부터 아는 사람이 사뭇 늘어난 것으로 기억한다.

우쿨렐레 악보 사이트들

- 웬만한 우쿨렐레 악보 사이트는 우쿨렐레 켜는 법도 가르치므로 알아둘 것.

- 우쿨렐레는 가요 반주가 많으니, 유튜브에서 원곡을 듣고 연주하면 더 좋을 것이다.

1. ukutabs.com

- 노래 양이 많다. 주로 팝송 반주다.

- 인쇄는 되는데 PDF 다운로드는 안 돼서 조금 불편하다.

2. theuke.com

- 악보가 적긴 한데 일단 넣어본다.

- PDF/이미지로 받을 수 있고, 악보 상단에 코드를 잘 설명해 놓았다.

3. 위키위키(WikiWiki)

- 한국 우쿨렐레 블로거

- 스스로 만든 악보, 동영상 강좌를 올린다.

- 꽤 실력이 있는 것으로 보인다.

- 악보 수는 많지 않지만, 내용이 알차서 배우기 좋을 것 같다.

4. 리얼코드

- 우리나라 사이트로 국내가요 악보가 많다.

- 기타 악보와 우쿨렐레 악보가 같이 있다.

- PDF 다운을 받지 못해 좀 아쉽다.

5. Ukulele Beatles Fun

- 비틀즈 노래를 우쿨렐레로 연주하는 법을 알려준다.

- 플래시 기반 사이트니 알아둘 것.

- 우쿨렐레 연주를 실시간 플래시로 보여주는데, 악보를 보여주는 것이 훨씬 낫지 않을까?

6. ukulele hunt

- 'tabs and chords'에 들어가면 코드를 볼 수 있다.

- 노래 종류는 많다.

- 다만 악보가 아니라 '이 부분엔 이 코드를 쳐 보세요'처럼 그냥 설명한 페이지도 있어서 가려가면서 살필 것.

 블로그에 플래시 게임이나 플래시 영상(플짤)을 올릴 일이 있습니다. 티스토리에 플래시 파일을 업로드하는 법은 간단합니다. 물론 HTML 편집에서도 올릴 수 있지만, 티스토리는 외부 파일 업로드 기능을 지원합니다. 파일 업로드 기능을 사용하면 쉽게 플래시 파일을 올릴 수 있습니다.

  플래시 업로드 방법

  0. 먼저 플래시 파일(swf)를 구합니다. 포털 사이트에서 검색하면 swf 파일을 따는 법을 쉽게 구할 수 있습니다. 이번 게시물에서는 예를 들어서 플래시 게임 하나를 받아 보겠습니다.

1. 티스토리 글쓰기를 시작한 다음 '파일'을 누릅니다

2. 파일 메뉴에서 '파일 선택'을 눌러서 원하는 플래시 파일(swf)를 불러옵니다.

※ 티스토리는 최대 10메가바이트까지 지원합니다.

※ 파일명에 한글이 있으면 제대로 나오지 않을 가능성이 있다고 하니 웬만하면 문자와 숫자만으로 파일명을 지정하시기 바랍니다.

3. '등록'을 누르면 편집창에 표시가 나타납니다.

4. 글을 발행하면 플래시 파일이 나타난 것을 알 수 있습니다.

5. 편집화면 오른쪽 '파일보관함'에서 플래시 파일을 클릭하면 정렬방식을 바꿀 수 있습니다. 다만 정렬버튼을 누르면 다시 삽입하게 되므로 원래 있던 게시물 속 파일은 지우시고 그 자리에 넣기를 권장합니다.

6. 플래시의 크기를 조절하고 싶다면 HTML을 체크해 HTML 모드로 들어갑니다.

HTML 창에서 Ctrl + F를 눌러 검색창을 열고 swf를 검색합니다

빨간색으로 밑줄 친 부분, cfile~에서 ~.swf까지를 복사합니다.

HTML창 원하는 부분에 이렇게 입력합니다

<embed width="X" height="Y" src="/attachment/ZZZ" quality="high">

X에서 원하는 가로길이, Y에는 원하는 세로길이, ZZZ에는 방금 복사한 문자열을 입력합니다. 이 방법 역시 또 다시 플래시를 업로드하기 때문에 두 번 올리지 않도록 조심하시기 바랍니다.

무료 컴퓨터 화면 캡쳐 프로그램 5

  인터넷을 돌아다니거나 프로그램을 사용하다 보면 컴퓨터 화면을 캡처해서 그림파일로 보관할 필요가 생깁니다. 자기한테 욕하는 채팅을 화면 스크린샷으로 찍어서 증거로 확보하거나 에러를 찍어서 개발사에 제보하거나 재밌는 게시물을 캡처해서 다른 곳에 나누어 보고 싶을 때 우리는 컴퓨터 화면을 캡처합니다. 게임 스크린샷도 빼놓을 수 없겠죠.

  이번 시간에는 무료로 컴퓨터 화면을 캡쳐할 수 있는 프로그램들을 소개했습니다. 모두 장점과 단점이 있으니 비교해 보면서 쓰면 좋을 것 같습니다. 단, 프로그램이나 타인의 영상과 이미지를 허락 없이 캡쳐해 배포하면 저작권법에 위배될 수 있으니 조심하시기 바랍니다.

1. 시간이 없을 때! Print Screen 키

Print Screen키를 누른다 → 그림판을 켜서 붙여넣기한다 → 저장한다

  Print Screen키는 대부분 키보드 오른쪽 위에 있습니다. 이 키를 누르면 현재 보여지는 컴퓨터 화면 전체가 캡쳐됩니다.

  그러나 캡쳐만 되었지 아직 파일로는 존재하지 않습니다. 그러니 그림판을 켜서 붙여넣기를 하고 파일로 저장해야 합니다.

+ 프로그램이 딱히 필요 없다

+ 빠르고 간편하다

+ 그림판은 여러 확장자 저장과 펜, 글씨, 도형 삽입이 가능하다

- 그림판을 켜고 저장하는 과정이 번거로움

- 화면 일부만 캡쳐할 수 없음(그림판에서 원하는 부분 선택 후 따로 저장해야 함)

2. 생각보다 강력한 윈도우즈 캡처 도구

시작 메뉴 → 보조프로그램 → 캡처 도구 실행 → 원하는 범위를 드래그해 캡처한 후 저장

  윈도우에는 강력한 캡처 프로그램이 있습니다. 보조프로그램 중 하나인 '캡처 도구'입니다. 이 프로그램 하나면 거의 웬만한 캡처는 다 할 수 있습니다.

  프로그램을 실행하면 자동으로 캡처 모드가 됩니다. 원하는 부분을 마우스로 드래그해서 캡처할 수 있습니다. 색을 정해서 펜으로 간단한 그림을 그릴 수 있습니다.

  '모드' 옆에 있는 삼각형을 누르면 캡처 모드를 선택합니다. 기본은 사각형 캡처입니다. 자유형 캡처를 선택하면 자기가 원하는 범위를 마우스로 자유롭게 선택할 수 있습니다. 창 캡처는 현재 컴퓨터 화면에 뜬 여러 프로그램, 창 중 하나를 골라 캡처할 수 있습니다(창 캡처는 그 창의 범위를 캡처하기 때문에, 다른 창이 그 영역을 가리고 있으면 가린 채로 캡처됩니다). 전체 화면 캡처는 말 그대로 Print Screen을 눌렀을 때처럼 전체 화면을 캡처합니다.

  지연을 설정하면 카메라 대기 촬영처럼 기다렸다가 캡처할 수 있습니다. 참고로 동영상 캡처 등을 하실 때, 캡처 도구에서 캡처 모드로 들어가면 화면이 순간 멈춥니다. 그러니 어떤 순간을 캡처하고 싶으실 때는 그냥 그 순간에 '새로 만들기'를 누르면 됩니다.

+ 기본 프로그램 치고 너무나 다재다능한 성능

+ PNG, JPEG, GIF 지원

+ 펜과 형광펜으로 메모 가능

- 오른쪽 마우스를 눌러 나타나는 메뉴 등은 마우스를 쓰는 프로그램 특성 상 캡처 불가능

3. 이토록 가벼운 프로그램이라니. 칼무리

칼무리를 실행한다 → 원하는 영역과 저장형식을 정한다 → 캡처한다

칼무리 다운받는 곳

  칼무리는 용량이 1MB도 하지 않는 초경량 프로그램입니다. 하지만 전체화면 캡처, 활성 프로그램 창만 캡처, 심지어 색상추출까지 있는 프로그램입니다. 캡처 단축키를 누르면 정해진 폴더에 자동으로 캡처가 저장됩니다(작업 표시줄에 있는 칼무리에 오른쪽 마우스를 눌러서 캡처 단축키와 저장 폴더 등을 지정할 수 있습니다)

  개인적으로 영역화면 캡처 모드를 좋아합니다. 영역화면은 말 그대로 캡처화면 영역을 정해두고 캡처할 수 있는 기능입니다. 영역의 크기와 위치는 마우스 드래그로 자유롭게 지정할 수 있습니다.

+ 가벼운 용량에 비해 압도적인 성능

+ 캡처하면 과정 없이 바로 저장

+ 기타 쓸 만한 기능들

- 캡처 단축키가 다른 프로그램과 겹치면 캡처 불가능

4. 궁극의 캡처 프로그램. 픽픽

픽픽을 다운받고 설치한다 → 원하는 모드로 캡처한다 → 원하는 효과를 주고 저장한다

픽픽 다운받는 곳

  픽픽은 여러분이 생각하는 거의 모든 캡처 프로그램 기능이 들어가 있습니다. 전체화면, 활성화 창, 자유형, 영역 고정 캡처 등을 지원합니다. 심지어 스크롤 캡처도 있습니다. 스크롤이 있어서 한 화면에 다 들어오지 않는 창도 캡처 가능합니다. 캡처한 이미지에는 여러 도형을 삽입하거나 붓질을 할 수 있고, 일부 구역에 모자이크를 넣거나 흐릿하게 처리할 수 있습니다. 또 흑백처리를 하거나 색반전, 명도/채도 조절도 가능합니다.

+ 다양한 캡처 모드 지원

+ 다양한 후처리 모드

+ 그림판과 맞먹는 그래픽 툴들

- 설치가 필요함

- 성능이 낮은 컴퓨터라면 조금 힘들어할 수 있음

- 칼무리와 마찬가지로 단축키가 겹치면 따로 지정해야 캡처할 수 있음

5. 가벼움과 강력함을 동시에. 한캡쳐

한캡쳐를 다운받아 설치한다 → 원하는 모드로 캡처한다 → 후처리 후 저장

한캡쳐 다운받는 곳

  한캡쳐는 가벼우면서도 다른 프로그램이 지원하는 기능들을 전부 지원합니다. 드래그 캡처, 창 캡처, 스크롤 캡처. 특히 연속 캡처는 흔히 말하는 '움짤'을 만들 수 있습니다. 물론 움짤 만드는 프로그램은 한캡쳐만큼 좋은 것도 많지만, 주목할 만한 기능이라고 생각합니다.

  정밀 캡처도 빠질 수 없는 기능 중 하나입니다. 영역을 지정하고 캡처하는 것은 다른 프로그램도 가능하지만, 한캡쳐에서는 픽셀 단위로 영역 크기를 조정할 수 있습니다. 보시다시피 한캡쳐는 복잡함과 가벼움 사이에서 저울질에 성공한 캡처 프로그램이라고 볼 수 있습니다.

+ 여러 캡처 기능들

+ 원한다면 옵션 등에서 원하는 만큼 정밀하게 조절 가능

+ 기본적인 그래픽 편집 기능

- 설치 필요

- 다른 프로그램보다는 덜 직관적

  가사는 아는데 노래를 알 수 없을 때가 있다. 음악은 대부분 멜로디로 기억나기 때문에 가사만 알고 노래를 모르기는 어렵다. 멜로디만 알 때는 노래찾기 어플 등을 쓰면 될 것이다. 그러나 세상에는 추상적인 사람도 있기 마련이다. 아니면 가사가 아름답거나 충격적이어서 더 기억에 새겨질 수도 있다. 네이버 뮤직을 이용하면 쉽게 노래를 찾을 수 있다.

  노래 가사로 노래 찾는 방법

  1. 네이버 뮤직으로 간다

2. 검색창에 기억나는 가사를 넣고 검색한다

 단, 단어 하나 차이로 검색결과가 달라질 수 있다. (예 : 그대/당신, 너에게/너한테)

 혹시 헷갈린다면 국어사전에서 비슷한 단어를 찾아보거나 가수나 앨범 위주로 검색하는 것도 좋다. 아니면 여러 검색어로 시도해 보자.

3. 검색결과 탭에서 '가사'를 누른다

4. 검색결과 중에 원하는 노래를 찾는다

단, 같은 가사라도 앨범이 다르거나 가수가 다를 수 있으니 헷갈리지 않도록 한다

(예: 원래 앨범과 베스트 앨범, 원곡 가수와 리메이크 가수)

5. 네이버 뮤직은 대부분의 노래에 미리듣기를 제공하므로 한 곡씩 들어보고 원하는 노래를 찾는다.

  프레젠테이션이나 기타 그래픽 작업을 하다 보면 이미지의 배경을 투명하게 할 필요가 생깁니다. 투명은 흰색과 다르기 때문에, 배경이 흰색인 이미지를 띄우면 흰색이 같이 떠오르죠. 그러면 어떻게 이 흰색을 없애서 투명 배경의 이미지를 만들 수 있을까요.

첫째. 포토샵 이용하기

  컴퓨터에 포토샵이 깔려 있다면 배경을 없앨 수 있습니다. 이곳이나 이곳을 참고하시기 바랍니다. 참고로 업자(?)들은 배경 투명화를 누끼라고 부르는 모양입니다.

둘째. 파워포인트 이용하기

  파워포인트 2010 버전부터는 배경을 투명하게 하는 기능을 제공합니다. 이건 여기를 참고하시기 바랍니다.

셋째. 사이트 이용하기

  구글에 배경 없애는 사이트를 검색하면 Backgroundburner 사이트가 검색되지만, 현재는 유료로 바뀌었습니다. 현재는 Clipping Magic을 추천합니다

사용법

1. 빨간 네모에 이미지 파일을 드래그하거나, 불러오거나, 이미지 URL을 입력합니다.

2. 왼쪽 그림은 작업 그림이고, 오른쪽 그림은 미리보기입니다. 빨간 네모 안에 초록색 마크와 빨간색 마크가 있습니다. 살리고 싶은 부분에는 초록색 마크를 눌러 칠하시고, 지워서 투명하게 만들고 싶은 부분에는 빨간색을 눌러 칠하면 됩니다.

배경 색이 확실하다면, 대충 칠해도 다 인식됩니다. 다 되었으면 Download 버튼을 눌러서 세팅을 맞춘 다음 다운로드합니다.

넷째. 무료 그래픽 사이트 이용하기

  픽슬러 에디터(Pixlr Editor)라는 환상적인 사이트가 있습니다. 무료로, 인터넷만 되면 어디서든 쓸 수 있는 그래픽 툴입니다. 즉 포토샵 살 돈이 아까운 사람들을 위한 포토샵입니다.

사용법

1. 새 이미지 생성을 클릭합니다

2. 투명하게 만들려는 이미지의 가로X세로 픽셀로 넓이와 높이를 적고, 투명에 체크를 반드시 한 후 확인을 누릅니다

(넓이와 높이를 원래 이미지보다 크게 해도 상관은 없지만, 이미지에 투명한 부분이 불필요하게 커질 수 있습니다)

3. 투명한(체스판처럼 생긴) 배경이 생겼습니다. 레이어 > 이미지를 레이어로 열기를 눌러서 원하는 그림을 불러옵니다

4. 왼쪽에 있는 마술봉 아이콘을 클릭합니다

5. 마술봉 상태로 배경을 클릭하면, 배경이 통째로 선택됩니다

6. Delete 키를 누르면 배경이 사라지면서 투명해집니다. 검은색이 완전히 사라지지는 않지만, 사실 대부분의 이미지는 완벽히 깔끔하게 배경을 없애기는 힘듭니다.

7. 파일 > 저장을 누른 후 형식을 PNG로 설정하고 저장합니다(JPEG는 배경이 투명하지 않고 흰색이 됩니다)

  저가로 팔자니 마진이 줄어들고, 프리미엄을 붙이자니 판매량이 줄어들고... 하나를 고르면 하나를 포기해야 하는 딜레마는 비즈니스뿐 아니라 모든 분야에도 마찬가지 아닐까요. 로저 마틴의 저서 <생각이 차이를 만든다>에서는 두 방안의 장점을 모두 끌어안는 통합적 사고를 소개합니다. 100을 지불해 100을 얻는 트레이드오프가 결국 본전 찾기에 불과하다면, 도대체 어떻게 두 마리 토끼를 잡을 수 있을까요?

 1  통합적 사고 단계

  저서에 따르면 의사결정 사고에는 4단계가 있습니다. 1) 돌출요소는 사고에 필요한 요소, 2) 인과관계는 요소 사이의 관계, 3) 구조는 중점적으로 생각하는 방향, 4) 해결은 해결책을 선택하는 단계입니다. 여행으로 예를 들어 볼까요.

1) 돌출요소 : 여행에 신경써야 할 문제는 뭐가 있지? (경비, 기간, 계절, 안전, 인원수...)

 

2) 인과관계 : 요소끼리는 무슨 관계지? (기간이 늘면 경비가 증가...)

 

3) 구조 : 이중 중점적으로 무얼 볼까? (돈은 충분하니 기간 위주로 봐야지...)

 

4) 해결 : 그래서 결론은? (이렇게 여행하면 조건을 만족하니 이걸로 하자...)

  통합적 사고를 하는 사람은 이 네 가지를 일반인과는 다르게 생각한다고 합니다. 통합적 사고를 하는 사람들은 첫째, 다른 사람보다 돌출요소를 많이 추가합니다. 둘째, 'X가 증가하면 Y가 증가/감소'하는 선형관계뿐 아니라 다각적이고 비선형적인 관계를 고려합니다. 셋째, 개별 문제를 해결하려고 노력하되 전체 구조를 놓치지 않으려고 합니다. 넷째, 여러 방안 사이의 긴장을 창의적으로 해결하는 방법을 내놓습니다.

 2  통합적 사고를 갈고닦는 법

  그렇다면 통합적 사고를 잘 하려면 어떤 연습이 필요할까요? 저서는 다시 지식체계를 세 단계로 나눕니다.

 

1. 입장 : 태도나 가치관

2. 도구 : 세상을 다루는 방식

3. 경험 : 위 입장과 도구를 실천

  입장, 도구, 경험은 서로 영향을 줍니다. 입장에 따라 다른 도구를 사용하고 다른 경험을 하기도 하고, 경험에 따라 도구와 입장을 수정하기도 합니다. 저서가 말하는 통합적 사고를 위한 입장, 도구, 경험은 다음과 같습니다.

통합적 사고를 위한 입장

1. 기존 모델은 현실과 다르다

2. 상반되는 모델은 두려움의 대상이 아니라 활용 대상이다

3. 더 나은 모델은 있다. 찾지 못했을 뿐

4. 더 나은 모델은 분명 찾을 수 있다

5. 필요하다면 복잡성을 정면으로 맞서겠다

6. 더 나은 모델을 만들 여유시간을 갖겠다

통합적 사고를 위한 도구

1. 생성추론 : 명제가 참인지 알아내는 선언추론과 달리, 생성추론은 단서를 바탕으로 법칙을 역추적합니다.

2. 인과모델링 : 여러 변수 사이 비선형적이고 다방향적인 관계를 발견

3. 적극적 탐구 : 내 모델을 지키는 데에 급급하지 않고 다른 모델을 인정하고, 다른 모델의 근거를 밝혀내고, 내 모델과 합쳐 더 나은 모델을 만들기

통합적 사고를 위한 경험

경험은 전문성과 독창성을 키울 수 있기에 필수적이다.

 3  노력과 끈기

  저자는 이외에도 노력과 책임을 강조합니다. 통합적 사고는 쉽게 찾아오지 않기 때문에, 일에 책임의식을 가지고 끈덕지게 연구해야 한다는 뜻이죠. 비록 시간이 오래 걸리지만, 해결만 할 수 있다면 두 마리 토끼를 잡는 통합적 사고. 오늘부터 시작해 보는 건 어떨까요?