임계하중

지난 시간에 천재 수학자 오일러가

재료역학까지 마스터해서

오일러 하중을 구한 걸 봤어.

네. 대단했죠.

정말 천재는 존재하나 봐요.

하지만 우리는 토목인.

하중을 구했으면 응력도 구해야겠지?

그건 쉽죠.

하중을 면적 A로 나누면 되잖아요?

여기서 조금만 더 건드려 보자.

I와 A는 각각 면적과 관련된 값과 면적 그 자체야

단위는 I는 길이네제곱, A는 길이제곱이지

그래서요?

I를 A로 나누면 단위는 어떻게 될까?

길이제곱이죠.

이것의 제곱근을 구하면?

그럼 단위는 길이죠.

I가 분자에 있고 A가 분모에 있다 보니

이걸 아예 나누는 것도 한 방법이야.

그런데 단위가 길이제곱이라서

나눈 김에 제곱근으로 단위를 길이로 만들어 봤어.

이걸 회전반지름(Radius of Gyration)이라 해

일종의 반지름과 비슷하지.

회전반지름이 클수록 회전시키기 어려워.

설마 기둥을 돌릴 예정은 아니죠?

아니야. 잘 봐.

임계응력 식에서 I와 A를 회전반지름 r로 고치면

식이 이렇게 되지.

L/r이라.

마치 길이/반지름 같네요.

실제 반지름은 아니겠지만.

보고도 모르겠어?

길이와 반지름의 비율이잖아.

기둥이 얼마나 얇은지 상대적으로 보여주는 값이 된 거라고.

이걸 세장비(Slenderness Ratio)라 부르지.

임계응력 식에서 세장비를 제외하면

파이와 재료특정 E밖에 없어.

그렇다면 재료가 정해진 이상 임계응력은

오직 세장비로 결정되는 거네요?

그렇지! 이제 깨달았구나!

세장비가 클수록 임계응력은 줄어들고

따라서 좌굴을 일으키기 쉬워지는 거지.

밑단 고정, 윗단 자유 기둥

그럼 선배.

우리가 본 기둥은 밑단 핀 지지

윗단 롤러 지지였는데요.

다른 지지는 알 수 없나요?

당연히 구해 놨지.

먼저 밑단이 고정지지고

윗단이 자유로운 기둥을 보자.

음. 단순하네요.

장승을 떠올리면 되려나요?

방법은 지난번과 같아.

'처짐 두번 미분 = M/EI'와

모멘트 식을 이용해

미분방정식을 구하는 거지.

미분방정식을 풀 때는

경계조건을 이용하고요?

그래. 하지만 문제가 있어.

이 미분방정식을 풀려면 경계조건이 셋 필요해.

여기서 알 수 있는 경계조건은 둘

'밑단 처짐이 0'

'밑단 처짐 기울기(한 번 미분)가 0'뿐이야.

그럼 임계하중을 모르는 건가요?

아니야. 알 수는 있어.

다만 처짐거동의 모양만 알 뿐

처짐거동의 정확한 수치를 수학적으로 구할 순 없지.

(δ를 모른다)

다른 기둥도 볼까?

이번엔 위아래가 다 고정지지인 기둥이야.

뭔가 볼수록 답답하네요.

이것도 뚝딱뚝딱 계산하면...

짠! 임계하중이 나오지.

처음에 구한 식과 비슷한데요?

맞아. 처음 구한 임계하중의 정확히 네 배야.

상식적으로 위아래를 꽉 막았으니

좌굴하기가 더 어렵겠지?

마지막으로 밑단 고정, 윗단 롤러 기둥을 보자.

이 기둥의 임계하중은 솔직히 못 구해.

그럼 소개도 못 하지 않나요?

아니야. 컴퓨터를 이용해 수치해석으로 구한

근사 임계하중은 알고 있지.

파이의 제곱이 약 9.8이니까

이 임계하중은 약 두 배 큰 거네요.

상식적이네요.

밑단이 고정이니 롤러인 것보단 좌굴이 어렵겠지만

위아래가 다 고정인 것보단 나으니까요.

오일러 좌굴

지난 시간에 네가 말했듯이

좌굴모델로 기둥의 좌굴하중을

알기는 어려워.

그래서 더 어렵고

더 정확한 모델을 가져왔지

아래는 핀 지지

위는 롤러 지지

그 위로 하중 P

같은데요?

맞아. 이상적인 기둥이지.

기중은 완벽한 직선이고

하중은 정확히 도심을 누르고

재료는 균열이 없고 완벽히 균일한

선형 탄성 재료야

이번엔 두 부분으로 쪼개지 말고

이렇게 곡선이 되었다고 가정하자.

그래도 왠지 중앙부를 잘라

자유물체도를 그릴 것 같은

느낌적인 느낌이 드는데요

응.

아랫부분을 자르면 이렇게 되겠지

수직 힘은 양 방향으로 P

수평 힘은 없고

잘린 부분에 모멘트가 걸릴 거야

처짐식 기억해?

처짐 두 번 미분이

M/EI와 같다는 거요?

그래. 그러니까

처짐을 알려면

우선 여기 걸리는 모멘트 M부터 구해야지.

모멘트 평형식을 써 볼래?

지난번엔 처짐을 부채꼴 식으로 구했지만

이번엔 처짐 ν가 있으니까

그걸 이용해 봐

아! 그리고

ν에는 -를 붙여.

처짐도 밑으로 가서 음수 취급했잖아?

시계 반대방향을 +로 했을 때

모멘트 평형식은...

이렇게 나오네요.

그래. 이제 식을 정리하면

M=-Pν고

이걸 처짐 식에 넣으면...

EIν'' + Pν = 0이네요.

이거, 설마 미분방정식?

왜 그렇게 놀라?

1학년 때 미적분 강의에서 배우지 않았어?

배우긴 했는데...

전공과목에서 미분방정식이 나올 줄은...

좋아.

수학시간이 아니니까 간단히 설명할게.

x'' + k^2 x = 0 꼴의 미분방정식의 일반해는

다음과 같아.

원래 식엔 ν 앞에 EI가...

아. 양변으로 나누면 되는군요

k^2가 P/EI고.

좋아. 우선 경계조건을 넣어서

C를 구해보자.

이 좌굴에서 확실한 건 뭘까?

음...

맨 아랫부분과 맨 윗부분은

처지지 않는다는 거겠죠?

맞아. 따라서 x가 0, L일 때

ν=0이 되지.

우선 x=0일 때 ν가 0임을 대입하면

두 번째 C는 0이란 것이 밝혀져

벌써 식의 반이 사라졌네.

두 번째로 x=L일 때도 ν가 0임을 대입하자.

그럼 Csin(KL)=0이 나와.

첫 번째 C가 0 아닐까요?

그럼 ν식 전체가 0이 되어버려

처짐이 없는데 좌굴이라 말할 수 있을까?

따라서 삼각함수가 0이겠군요

사인함수가 0이려면 안에 있는 값이

0이거나 π의 배수여야 해요

잠깐, 제가 먼저 말해보죠.

kL이 0일 순 없어요.

L이 0이 아니니까 k가 0이어야 하는데

k^2=P/EI고 EI도 0일 순 없으니

따라서 P=0이란 말이잖아요.

그것도 좌굴일 수 없죠.

오. 새빛이 똑똑한데.

맞아.

따라서 kL= π, 2π, 3π....가 되지.

kL=nπ (n=1, 2, 3...)라고 해도 되고.

식을 정리하면 드디어

좌굴하중 P를 구할 수 있어.

재료의 특성인 E와

설계 특성인 L, I가 좌굴하중을 정하는데요

근데 n은 어떻게 알죠?

그걸 쉽게 알려면

우선 처짐식 ν를 알아야 해

두 번째 C는 0이었지?

한번 우리가 알아낸 k를 대입해서

처짐식을 구해 볼래?

kL=nπ니까

ν = Csin(nπx/L)이네요.

처짐은 사인함수를 따르게 되지.

n=1일 때

좌굴하는 모습은 사인 0~π야.

즉 주기의 반이지.

n=2일 때는

사인 0~2π야

한 주기지.

이런 식으로 n이 늘 때마다

좌굴하는 모양은

사인함수의 반 주기씩 추가돼.

단단한 재료가 저렇게 꼬불꼬불 변하나요?

빈 캔이야 얇아서 저렇다고 쳐도...

맞아.

현실은 n=2도 거의 안 나오지.

좌굴하중도 n=1일 때 제일 작으니까

n=1만 조심하면 돼

지금까지 나온 좌굴모델은

오일러가 생각해내서

오일러 좌굴(Euler buckling)이라 하고

이때 임계하중을

오일러 하중(Euler Load)이라 불러.

휨과 마찬가지로 좌굴하중은

재료가 정해진 이상

L과 I로 결정되지.

L이 클수록 좌굴하중은 급격히 낮아져요.

즉 기둥이 길수록 좌굴하기 쉬워지는 거죠.

I는 기준축에 따라 값이 달라져

직사각형 단면 기둥이 있다면

그중 더 잘 좌굴하는 방향이 있는 거고.

다음 시간(임계응력, 세장비와 한쪽 고정단 기둥 등)에 계속...