임계하중

지난 시간에 천재 수학자 오일러가

재료역학까지 마스터해서

오일러 하중을 구한 걸 봤어.

네. 대단했죠.

정말 천재는 존재하나 봐요.

하지만 우리는 토목인.

하중을 구했으면 응력도 구해야겠지?

그건 쉽죠.

하중을 면적 A로 나누면 되잖아요?

여기서 조금만 더 건드려 보자.

I와 A는 각각 면적과 관련된 값과 면적 그 자체야

단위는 I는 길이네제곱, A는 길이제곱이지

그래서요?

I를 A로 나누면 단위는 어떻게 될까?

길이제곱이죠.

이것의 제곱근을 구하면?

그럼 단위는 길이죠.

I가 분자에 있고 A가 분모에 있다 보니

이걸 아예 나누는 것도 한 방법이야.

그런데 단위가 길이제곱이라서

나눈 김에 제곱근으로 단위를 길이로 만들어 봤어.

이걸 회전반지름(Radius of Gyration)이라 해

일종의 반지름과 비슷하지.

회전반지름이 클수록 회전시키기 어려워.

설마 기둥을 돌릴 예정은 아니죠?

아니야. 잘 봐.

임계응력 식에서 I와 A를 회전반지름 r로 고치면

식이 이렇게 되지.

L/r이라.

마치 길이/반지름 같네요.

실제 반지름은 아니겠지만.

보고도 모르겠어?

길이와 반지름의 비율이잖아.

기둥이 얼마나 얇은지 상대적으로 보여주는 값이 된 거라고.

이걸 세장비(Slenderness Ratio)라 부르지.

임계응력 식에서 세장비를 제외하면

파이와 재료특정 E밖에 없어.

그렇다면 재료가 정해진 이상 임계응력은

오직 세장비로 결정되는 거네요?

그렇지! 이제 깨달았구나!

세장비가 클수록 임계응력은 줄어들고

따라서 좌굴을 일으키기 쉬워지는 거지.

밑단 고정, 윗단 자유 기둥

그럼 선배.

우리가 본 기둥은 밑단 핀 지지

윗단 롤러 지지였는데요.

다른 지지는 알 수 없나요?

당연히 구해 놨지.

먼저 밑단이 고정지지고

윗단이 자유로운 기둥을 보자.

음. 단순하네요.

장승을 떠올리면 되려나요?

방법은 지난번과 같아.

'처짐 두번 미분 = M/EI'와

모멘트 식을 이용해

미분방정식을 구하는 거지.

미분방정식을 풀 때는

경계조건을 이용하고요?

그래. 하지만 문제가 있어.

이 미분방정식을 풀려면 경계조건이 셋 필요해.

여기서 알 수 있는 경계조건은 둘

'밑단 처짐이 0'

'밑단 처짐 기울기(한 번 미분)가 0'뿐이야.

그럼 임계하중을 모르는 건가요?

아니야. 알 수는 있어.

다만 처짐거동의 모양만 알 뿐

처짐거동의 정확한 수치를 수학적으로 구할 순 없지.

(δ를 모른다)

다른 기둥도 볼까?

이번엔 위아래가 다 고정지지인 기둥이야.

뭔가 볼수록 답답하네요.

이것도 뚝딱뚝딱 계산하면...

짠! 임계하중이 나오지.

처음에 구한 식과 비슷한데요?

맞아. 처음 구한 임계하중의 정확히 네 배야.

상식적으로 위아래를 꽉 막았으니

좌굴하기가 더 어렵겠지?

마지막으로 밑단 고정, 윗단 롤러 기둥을 보자.

이 기둥의 임계하중은 솔직히 못 구해.

그럼 소개도 못 하지 않나요?

아니야. 컴퓨터를 이용해 수치해석으로 구한

근사 임계하중은 알고 있지.

파이의 제곱이 약 9.8이니까

이 임계하중은 약 두 배 큰 거네요.

상식적이네요.

밑단이 고정이니 롤러인 것보단 좌굴이 어렵겠지만

위아래가 다 고정인 것보단 나으니까요.