오일러 좌굴

지난 시간에 네가 말했듯이

좌굴모델로 기둥의 좌굴하중을

알기는 어려워.

그래서 더 어렵고

더 정확한 모델을 가져왔지

아래는 핀 지지

위는 롤러 지지

그 위로 하중 P

같은데요?

맞아. 이상적인 기둥이지.

기중은 완벽한 직선이고

하중은 정확히 도심을 누르고

재료는 균열이 없고 완벽히 균일한

선형 탄성 재료야

이번엔 두 부분으로 쪼개지 말고

이렇게 곡선이 되었다고 가정하자.

그래도 왠지 중앙부를 잘라

자유물체도를 그릴 것 같은

느낌적인 느낌이 드는데요

응.

아랫부분을 자르면 이렇게 되겠지

수직 힘은 양 방향으로 P

수평 힘은 없고

잘린 부분에 모멘트가 걸릴 거야

처짐식 기억해?

처짐 두 번 미분이

M/EI와 같다는 거요?

그래. 그러니까

처짐을 알려면

우선 여기 걸리는 모멘트 M부터 구해야지.

모멘트 평형식을 써 볼래?

지난번엔 처짐을 부채꼴 식으로 구했지만

이번엔 처짐 ν가 있으니까

그걸 이용해 봐

아! 그리고

ν에는 -를 붙여.

처짐도 밑으로 가서 음수 취급했잖아?

시계 반대방향을 +로 했을 때

모멘트 평형식은...

이렇게 나오네요.

그래. 이제 식을 정리하면

M=-Pν고

이걸 처짐 식에 넣으면...

EIν'' + Pν = 0이네요.

이거, 설마 미분방정식?

왜 그렇게 놀라?

1학년 때 미적분 강의에서 배우지 않았어?

배우긴 했는데...

전공과목에서 미분방정식이 나올 줄은...

좋아.

수학시간이 아니니까 간단히 설명할게.

x'' + k^2 x = 0 꼴의 미분방정식의 일반해는

다음과 같아.

원래 식엔 ν 앞에 EI가...

아. 양변으로 나누면 되는군요

k^2가 P/EI고.

좋아. 우선 경계조건을 넣어서

C를 구해보자.

이 좌굴에서 확실한 건 뭘까?

음...

맨 아랫부분과 맨 윗부분은

처지지 않는다는 거겠죠?

맞아. 따라서 x가 0, L일 때

ν=0이 되지.

우선 x=0일 때 ν가 0임을 대입하면

두 번째 C는 0이란 것이 밝혀져

벌써 식의 반이 사라졌네.

두 번째로 x=L일 때도 ν가 0임을 대입하자.

그럼 Csin(KL)=0이 나와.

첫 번째 C가 0 아닐까요?

그럼 ν식 전체가 0이 되어버려

처짐이 없는데 좌굴이라 말할 수 있을까?

따라서 삼각함수가 0이겠군요

사인함수가 0이려면 안에 있는 값이

0이거나 π의 배수여야 해요

잠깐, 제가 먼저 말해보죠.

kL이 0일 순 없어요.

L이 0이 아니니까 k가 0이어야 하는데

k^2=P/EI고 EI도 0일 순 없으니

따라서 P=0이란 말이잖아요.

그것도 좌굴일 수 없죠.

오. 새빛이 똑똑한데.

맞아.

따라서 kL= π, 2π, 3π....가 되지.

kL=nπ (n=1, 2, 3...)라고 해도 되고.

식을 정리하면 드디어

좌굴하중 P를 구할 수 있어.

재료의 특성인 E와

설계 특성인 L, I가 좌굴하중을 정하는데요

근데 n은 어떻게 알죠?

그걸 쉽게 알려면

우선 처짐식 ν를 알아야 해

두 번째 C는 0이었지?

한번 우리가 알아낸 k를 대입해서

처짐식을 구해 볼래?

kL=nπ니까

ν = Csin(nπx/L)이네요.

처짐은 사인함수를 따르게 되지.

n=1일 때

좌굴하는 모습은 사인 0~π야.

즉 주기의 반이지.

n=2일 때는

사인 0~2π야

한 주기지.

이런 식으로 n이 늘 때마다

좌굴하는 모양은

사인함수의 반 주기씩 추가돼.

단단한 재료가 저렇게 꼬불꼬불 변하나요?

빈 캔이야 얇아서 저렇다고 쳐도...

맞아.

현실은 n=2도 거의 안 나오지.

좌굴하중도 n=1일 때 제일 작으니까

n=1만 조심하면 돼

지금까지 나온 좌굴모델은

오일러가 생각해내서

오일러 좌굴(Euler buckling)이라 하고

이때 임계하중을

오일러 하중(Euler Load)이라 불러.

휨과 마찬가지로 좌굴하중은

재료가 정해진 이상

L과 I로 결정되지.

L이 클수록 좌굴하중은 급격히 낮아져요.

즉 기둥이 길수록 좌굴하기 쉬워지는 거죠.

I는 기준축에 따라 값이 달라져

직사각형 단면 기둥이 있다면

그중 더 잘 좌굴하는 방향이 있는 거고.

다음 시간(임계응력, 세장비와 한쪽 고정단 기둥 등)에 계속...

기둥의 좌굴

음... 뭐라고?

완전 바보 아냐?

알았어. 끊어.

오늘은 분위기가 이상하네

싸우기라도 했어?

군대 간 오빠예요.

며칠 후에 휴가를 나오는데

발목을 다쳤대요.

그래? 모처럼 휴가인데

다친 상태면 많이 아쉽겠네.

그건 그렇고

남매는 서로 증오한다는 속설이 사실이네

오빠가 바보짓을 한 걸 어째요

다 마신 음료수 캔을 밟다가

발이 삔 거래요

무슨 양파맛 음료수라고 했는데...

양파맛?

그걸 음료수라고 부를 수 있나?

아무튼 빨리 나았으면 좋겠다

마침 깡통 하니까

재료역학이 또 하나 떠올랐어.

건물을 깡통으로 짓지는 않는데요.

하지만 밟혀 찌그러진 깡통을 보면

재료역학에 대한 영감을 얻을 수 있지

지금까지 배운 재료역학에선

재료에 인장이나 압축을 가하면

항복응력을 거쳐 인장응력까지 다다른 다음

네킹되고 파단했어

그 재료시험은 전부

재료가 똑바로 압축되고 인장되는 시험이었지

그런데 우리가 밟은 깡통을 잘 보면

그 표면은 똑바로 압축되지 않고

꼬불꼬불한 모양이야

재료시험과는 전혀 다르지

캔은 얇잖아요

밟으면 종이가 접히듯이 차곡차곡 찌그러지죠

우리가 생각할 게 그거야

재료, 특히 길고 가는 재료를 압축하면

똑바로 압축되는 경우보다

옆으로 홱 꺾여 부러지는 경우가 많지

건물도 길고 가는 부분, 특히 기둥에서

이런 일이 많이 생길 거라고 생각할 수 있어

이런 현상을 좌굴(Buckling)이라고 부르지.

기둥은 일반적으로

압축응력이 커져서 파괴되는 것보다

좌굴로 파괴되는 것을 더 조심해야 해

왜죠?

왜긴. 순수 압축으로 파괴하는 응력보다

좌굴로 파괴하는 응력이 작기 때문이야.

그럼 우리가 할 일은

좌굴을 일으키는 하중/응력을 찾아내는 거겠죠?

좌굴모델

제일 간단한 기둥을 생각해 보자

아래는 핀, 위는 롤러로 지지한 기둥이야

땅에 장승처럼 박힌 기둥을 생각했는데요

그건 나중에 다뤄볼 거야

우선 이것부터.

이 기둥이 하중 P를 받아 좌굴한다면

이런 모습이겠지

이때 하중을 제거하면 어떻게 될까?

원래대로 돌아가지 않을까요?

하중이 너무 컸다면 아예 휘어버려 돌아가지 않을 거고요.

마치 용수철 같은 거동이지?

그래서 우리는 아주 간단한 좌굴모델을

이렇게 설정할 거야

기둥 두 부분이 중앙에서만 꺾이고

중앙에 있는 '회전 용수철'이 그걸 버티고 있는 모습이지.

회전 용수철이요?

용수철은 누르고 당기는 것만 있지 않아.

돌리는 걸 방해하는 용수철도 있지

네가 쓰는 도구나 기계에도 은근히 많을걸?

아무튼 회전 용수철도 우리가 아는 용수철처럼

적당히 돌아가면 놓여 원모습으로 돌아가겠지만

너무 돌리면 아예 변형할 거야

실제 기둥으로 치면

휘지 않고 평평한 기둥과

결국 휘어버린 기둥이겠지

우리가 원하는 건 휘게 만드는,

즉 좌굴하게 만드는 하중이야

안 휨과 휨의 경계에 있으니

임계하중(Critical Load)라고 하자.

생긴 모양은 그냥 자유물체도 같은데

여기서 그걸 알아낼 수 있나요?

그럼!

자유물체도니까 힘평형, 모멘트 평형식을 세울 수 있어.

이 모델의 윗부분만 떼어서 보자.

위에서 P가 내려오니까 자연히 아래에선

반대방향 P가 있겠지

수평합력은 아예 없고,

용수철이 모멘트를 가하고 있을 거야.

모멘트 크기를 모르잖아요.

아차. 이걸 말 안 했네.

용수철 훅의 법칙 F=kx 알지?

회전용수철도 비슷한 법칙이 있어

M=2βθ.

θ는 회전각이고

β는 회전강성도야.

왜 2가 들어가는지는 지금 묻지 말자.

힘 합력은 계산했으니까

남은 건 모멘트 평형식인데...

기준점은 윗점 아니면 아랫점

그런데 말이죠.

P가 가로로 얼마나 떨어졌는지를 모르는데요.

그건 융통성 있게 넘어가자

이 휜 재료와 수직선이 각각

부채꼴의 반지름이라고 가정하는 거야.

어차피 재료는 철, 알루미늄이야

아주 조금 휘었겠지

그래요?

그럼 반지름 곱하기 중심각이니까

θL/2네요.

그럼 모멘트 평형식을 써 볼게요

아랫점을 기준으로 하고 시계 반대방향을 +로 할 때

식이 이렇게 나오네요.

좋아.

아까 말한 회전용수철 법칙 속 M에

우리가 구한 M을 넣어보는 거야.

식이 나왔네요. θ를 양변에 나눌 수 있으려나.

나눌 수 있어.

0이면 좌굴하지 않았다는 말이잖아?

그런 경우는 제외해야지.

그럼 이렇게 되고.

P는 4β/L이네요.

실제 재료엔 용수철이 없으니

모델엔 맞는 식일지 몰라도

기둥 하나를 가져다놓고 임계하중을 구하라면

구하진 못하겠네요.

그래.

하지만 다음에 조금 진지한 좌굴에서는

오히려 쉽게 해달라고 빌지도 모른다구?

좌굴 2편에서 계속...