옛날 옛적

어느 삼형제가 살았어.

삼형제는 사이가 안 좋았는데

나이가 많이 든 아버지는

자기가 죽고 나서 형제들이 싸울까 봐

걱정했지.

그러던 어느 날

아버지가 아들들한테 말했어.

"화살을 구해오너라."

아들들이 화살을 가져오자

아버지는 화살을 하나씩 부러뜨려 보라고 했어.

아들들은 쉽게 부러뜨렸지.

아버지는 화살을 모아 다발을 만들고

부러뜨려 보라고 했지.

아들들은 온힘을 가했지만

다발은 부러지지 않았어.

아버지는 말했지...

너희들이 혼자면 약하지만

여럿이 뭉치면 이처럼 강해진다.

뭐, 이런 이야기죠?

요즘은 화살도 안 쓰고

기계도 있어서

화살 수백 개를 모아도

단번에 부러뜨리는 세상이 됐어요.

사람은 사회생활을 할 수밖에 없어

누구와 살아가느냐만 다를 뿐.

그리고 진지한 이야기에 끼어들지 않는 건

사회생활의 필수지.

선배~

졸업도 안 했는데 꼰대가 되시면 곤란하니까

제가 말려드린 거예요.

흠흠!

그래. 아는 건 토목뿐.

재료역학 공부를 시작해보자.

아까 옛날 이야기처럼

화살을 부러뜨린다면

구부리고 휘게 되겠지?

재료를 구부리면 어떤 일이 발생할까?

구부러지다 조금씩 찢어져서

마침내 부러지겠죠.

왜 찢어질까?

늘어나기 때문이지.

재료가 늘어나다가 결국 끊어지는 과정은

예전에 설명해 줬지?

그럼 인장 때문에

찢어지게 되나요?

인장이 벌어지면 인장응력도 생기겠지?

즉 우리는 재료가 휘면서 생기는 이런

휨응력을 계산할 줄 알아야 해.

1) 인장과 압축

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여기 수많은 방이 모인 호텔이 있어.

내가 이 호텔을 이렇게 굽히면,

방이 커질까 작아질까?

아랫부분은 늘어나겠지만

윗부분은 줄어들죠.

그래, U자 모양으로 휘게 하면

윗부분은 압축을 받고

아랫부분은 인장을 받지.

즉 휨응력은 압축과 인장을 아우르는 개념이야.

2) 변형률과 응력 구하기

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인장/압축 응력을 구하려면

변형률을 구해야겠지.

변형률을 구하기 위해

재료의 일부분(미소길이) dx를 잘라 가져와보자.

구부러진 dx는 아주 작은 부분이니까

우린 이걸 원의 일부, 부채꼴이라 생각할 거야.

부채꼴 하니까

갑자기 소화제가 떠오르네요.

마케팅이 이래서 무섭다니까.

수학 용어를 듣고 소화제가 떠오른다니.

아무튼 부채꼴의 중심각은 dθ야.

문제는 부채꼴의 호 길이겠지.

당연히 dx를 가져왔으니

dx가 아닐까요?

아까 말했듯이

윗부분은 압축/아랫부분은 인장을 받아.

길이가 변한다는 뜻이지.

따라서 위치에 따라 길이가 달라져.

그럼 각도X반지름으로

부채꼴 호 길이를 구하면 되겠죠?

맞는 방법인데 순서가 잘못됐어.

우린 위치에 따른 호 길이를 따로 구할 거야.

윗부분은 dx보다 짧고

아랫부분은 dx보다 길 테니까

일단 길이가 여전히 dx인 곳이 어딘가에 있을 거야.

어딘지는 모르지만 말야.

어딘지도 모르면서 정하나요?

그게 수학의 괴상한 특징이지.

아무튼 이 '불변의 장소'는 휘고 나서도 길이가 dx야.

그 위는 압축을 받아 dx보다 짧고

그 아래는 인장을 받아 dx보다 길지

이 '불변의 장소'에서 y만큼 위로 간 곳의

길이는 얼마나 될까?

이제 새빛이 말대로

반지름과 각도를 써도 돼.

반지름은 원래 반지름(ρ라고 하죠)에서 y만큼 뺀 길이고

각도는 dθ니까

둘을 곱하면 그 길이는

(ρ-y)dθ죠.

좋아.

이 부분은 휘기 전 길이가 얼마였을까?

당연히 dx였죠.

그래. 원래 길이와 변한 길이를 알면

토목과로서 변형률을 구할 수 있지?

변형률은 (나중 길이-원래 길이)/원래 길이예요.

( (ρ-y)dθ - dx)/dx인 거죠.

dx는 ρdθ니까

분수를 정리하면...

식을 풀면

변형률은 -y/ρ이야.

1/ρ은 곡률(Curvature)로 쉽게 쓸 수 있어.

그리스어 문자로 카파(κ)라고 쓰는 편이지.

그럼 변형률은

-yX카파네요.

y가 +라면, 즉 '불변의 장소' 위라면

재료는 압축을 받고 변형률은 음수네요.

좋아.

불변의 장소는 중립축이라고 부르자.

불변의 장소는 왠지 중2병 같잖아?

이제 변형률을 아니까

인장/압축응력은 E만 곱하면 되겠어요

-y X 카파 X E요.

그런데 카파(곡률)는 어떻게 구하죠?

새빛아,

곡률은 어떻게 결정될까?

음. 얼마나 잘 휘느냐니까

재료를 휘는 모멘트나 재료의 유연함으로

정해지지 않을까요?

맞아. 하지만 수학적으로 구하면

휨응력을 알 수 있겠지.

3) 도심과 단면1차모멘트

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그 전에 우리가 정한

'불변의 장소', '중립축'이 어딘지부터 알아보자.

맞아요.

곡률을 구해도

그 위치를 모르면

y를 구하지 못하니까요.

생각해 보면,

직사각형이나 원일 때 그 중립축은

당연히 중심점이 아닐까?

뭐, 그렇... 겠죠?

수학적으로 살펴봐야 겠지만요.

여기서 정역학적 접근이 필요해.

모든 정지한 부재는 합력이 0이다.

제일 중요한 사실이었지.

내가 이 단면을 잘라 볼게

위는 압축, 아래는 인장이지만

결국 모든 단면적으로 계산하면 합력은 0이 될 거야.

힘은 응력 곱하기 면적,

선배가 하듯이 미소면적 dA로 계산해 볼게요.

힘은 -y X 곡률 X E X dA가 되고

이걸 단면적에 적분하면 0이 된다는 말이죠.

곡률이랑 E는 상수니까 인테그랄을 나가고

남은 건 y랑 dA.

y dA 적분은 0이 되겠네요.

맞아. 정확히 말하면

0이 되는 게 아니라

0이 되어야 해.

y dA 단면 적분이 0이 되게 하는 축이

바로 '불변의 장소', 중립축이 될 거야.

어떤 축에서 미소면적까지의 거리를 곱해 적분한 값을

우리는 단면1차모멘트(First moment of area)라 부르지.

단면1차모멘트는 면적의 도심(Centroid)을 지나는 축에서 계산하면

0이 되는 특징이 있어.

그럼 어떤 단면을 지닌 재료가 휠 때,

그 중립축은 그 단면의 도심을 지나겠네요.

맞아.

직사각형과 원의 도심은 당연히 그 중심이고

여러 도형의 도심 위치는 아래 링크를 참조하라고.

여러 도형의 도심 위치(위키피디아)

4) 응력과 모멘트의 관계

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이제 중립축 위치도 알았겠다,

곡률을 식에서 없애보자.

그래야

휨응력을 쉽게 구하겠죠.

우리가 이번에 사용할 힌트는

바로 모멘트야.

단면의 합력은 0임은 알겠지?

하지만 모멘트 합은 0이 아니야.

엄연히 휘게 만드는 모멘트가 존재하거든.

즉 모멘트를 전부 합하면

휨모멘트와 같아.

모멘트 합력은 이번에도

미소면적을 사용한 적분으로 구하는 거죠?

기준점은 어디로 할까요?

당연히 중립축에서 해야 쉽겠지.

중립축에서 y만큼 떨어진 dA에 걸리는 모멘트는

응력XdAXy일 거야.

하지만 여기에 -를 붙여야 해.

왜요?

재료역학에서는 재료를 U자 모양으로 굽히는 모멘트를

+로 정하는 편이야.

단면을 잘라서 왼쪽 재료를 남겼다면

모멘트는 반시계 방향이어야 U자로 굽히겠지.

그런데 아까 구한 응력 식은 y가 +일 때 -가 되어서

U자로 굽히는데도 모멘트가 -가 되거든.

그래서 맞춰주기 위해 -를 또 붙이는 거야.

-를 붙이면

dM = -응력XdAXy가 되네요.

응력은 -y X 곡률 X E니까

dM = y^2 X 곡률 X E X dA가 되죠.

적분하면 곡률과 E는 빠져나가고

y^2dA가 인테그랄에 남네요

이건 y가 2차니까

적분하면 단면2차모멘트라도 되나요?

오, 어떻게 알았어?

맞아. 이건 단면2차모멘트(Area Moment of Inertia)라고 하지.

단위는 길이 네제곱이고

이것도 기준축에 따라 값이 달라.

하지만 여기서는

당연히 중립축(도심을 지나는 축)에 대한 값이겠죠?

맞아. 단면2차모멘트는 이제 I라고 쓰자.

그럼 적분을 끝낸 식은

M=곡률X E X I가 되겠지.

하지만 아직도 곡률이 식에서

안 없어졌잖아요.

곡률 없애는 게 목적 아니었나요?

기다려 봐. 없애줄 테니까.

M=곡률X E X I라면

곡률=M/EI겠지.

응력은 -y X 곡률 X E였으니까

여기에 곡률 대신 M/EI를 넣으면

E는 약분되고

응력 = -My/I가 되지.

짜잔!

그럼 휨응력은

휨모멘트, 단면2차모멘트, 중립축에서 세로로 떨어진 높이에 따라

결정되는군요.

생각해 보면 특이하지.

즉 단면과 휨모멘트가 정해지면

중립축에서 떨어진 거리와 응력은

일차함수 관계나 마찬가지야.

그럼 최대 인장/압축 휨응력은

도심에서 세로로 가장 멀리 떨어진

부분에서 생기겠네요.

휨을 대비하려면 아주 납작하게 만들어야겠어요.

하지만 그럼 I가 작아져서

휨응력이 커져 버리는걸.

최대 휨응력이 작으려면

도심에서 제일 먼 곳까지의 거리는 작고

I는 커야겠지.

I/거리는 흔히 단면계수(Section Modulus)라 하고 Z로 나타내.

단면계수가 작을수록

최대 휨응력은 작겠네요.

그래.

시험을 위해서라면

1) 보 내부에 걸리는 모멘트 구하는 법

2) 몇몇 도형 도심 위치

3) -My/I

를 꼭 기억하라고!

다음 시간에...