가끔은 그림으로 표현하는 것이 쓸모있기도 하지

함수를 그래프로 나타내면

이해하기 더 쉽듯이 말이야.

축응력과 전단응력을

그래프로 나타낼 수 있다는 것,

알고 있니?

sin과 cos이 있으니까

삼각함수 그래프가 될 것 같기도 하네요

단순한 삼각함수 그래프라면

여기서 소개할 일도 없겠지

독일의 크리스천 오토 모어(Christian Otto Mohr)는

평면응력 식과 전단응력 식에서

삼각함수가 있는 항만 우변에 남긴 다음

제곱해 더해봤어.

평면응력과 전단응력 식

제곱해 더한 식

sin과 cos 앞에 붙은 계수가 같기 때문에

제곱해 두 식을 더하면 묶을 수 있어

삼각함수 법칙에 따라

sin제곱과 cos제곱을 더하면 1이 되니까 사라지고

식은 이렇게 정리돼

각도회전이 없을 때의 두 축 응력과 전단응력은

이미 정해지니까

달라지는 건 평면응력 두 가지뿐.

하나를 x로, 하나를 y로 본다면

원의 방정식이지 않을까?

원의 방정식이라.

토목과를 들어와서 또 듣게 되다니...

아무튼 이 원은

x축이 인장응력, y축이 전단응력인 공간에서

중심점은 (평균인장응력, 0)이고

반지름은 R인 원을 나타내지.

이렇게 모어 원(Mohr's circle)을 그릴 수 있지.

그래서요?

그냥 수학으로 장난친 거 아닌가요?

모어 원을 그리면

각도에 따른 평면응력을 알 수 있어.

면이 돌아가면 모어 원에서도 각도가 돌아가거든

모어 원만 그려두면

평면응력을 알 수 있는 거지

단, 평면이 세타만큼 돌아가면

모어 원에서는 2세타만큼 돌아갈 뿐이지.

어떻게 평면응력을 알아내죠?

우선 방향을 잘 맞춰야지

우선 각도를 반시계방향으로 돌릴 때

모어 원에서도 반시계방향으로 돌려야 자연스럽겠지?

다만 이때는 전단응력이 +인 게 아래쪽이야.

그리고 돌리기 전에 현재 위치를 알아내자.

돌리지 않았을 때의 응력은 알기 때문에

모어 원에서 위치를 표시할 수 있어.

그 다음 돌아간 각도에 2를 곱해서

그래프에서 돌리자.

안 돌렸을 때 평면이 그래프에서 만든 각도는

원래 응력과 반지름을 역삼각함수로 구하면

나오니까

돌린 후의 각도를 알겠지?

그럼 그 각도에 맞게 삼각함수로

평면응력을 구할 수 있겠지?

같은 원리로 주응력을 구할 수 있어.

주응력은 모어원에서

제일 끄트머리인 점이죠?

최대인장응력은 중심점에서 반지름을 더하고

최대전단응력은 반지름 크기와 같겠죠?

여기로 돌리기 위한 각도를 구하고 2로 나누면

실제로 주응력을 만드는 각도가 나오고요.

그래. 배우는 게 빠르구나

모어도 처음 이 원을 그리고서

신기하단 걸 알았을까?