보의 처짐(Deflection)

으앗!

텐트가 한가득이잖아!

내가 모르는 사이에 전쟁이 나서

피난민들이 몰려온 건가...

음냐.. 음냐...

선배?

왜 거기서 주무세요?

무슨 일이 벌어지고 있는 거죠?

응?

아, 왔구나. 나 샤워 좀 하게

여기 좀 맡아주라.

맡다뇨.

부동산 알박기도 아니고 왜 이곳을 맡아야 하죠?

너 작년 학교축제 안 왔니?

네. 작년 축제날에 학교 밖에서 미팅했거든요.

설마 학교축제를 기다리는 텐트인가요?

그래. 과별로 텐트를 차리고 줄을 선 거지.

드디어 오늘 저녁부터 축제가 시작돼.

연예인들을 바로 앞줄에서 봐야지

표값 가성비를 뽑지 않겠어?

그렇다고 텐트까지...

방탄소년단이라도 오나요?

사실, 몰라.

주최측에서 안 알려주거든.

애초에 학생회가 아니라 응원단에서 개최하는 축제고

연예인보다는 응원이 메인이라

연예인을 알려줬는데 별로이면

아예 참석을 안 한다나?

하지만 방법은 있지.

아이돌과 가수 소속사는 스케줄을 공지하니까

여러 가수들 스케줄을 뒤지면 조금은 알 수 있어.

선배. 눈꼽부터 떼셔야 할 것 같네요.

맞다.

며칠 사이 토목 이야기를 안 했지?

쇠뿔도 단김에 뽑으라고

바로 시작해 보자.

텐트에서 재료역학을 할 줄이야...

보의 처짐

텐트면 어떻고 무인도면 어때?

오늘 얘기할 보의 처짐은

재료역학의 꽃이야, 꽃!

선배는 뭐든 제일 중요하다고 하는 것 같은데

제 착각이겠죠?

크흠! 크흠!

야외에서 자다 일어나서 몸상태가 별로네.

보는 힘이나 모멘트를 받으면

당연히 위나 아래로 처질 거야

나무판자 위를 걸어보면 확실히 느낄 수 있지.

문제는,

처지는 깊이를 구하는 거겠죠.

우린 토목과니까요.

한번 추측해보자.

잘 안 늘어나는 재료라면

그 처짐이 작지 않을까?

E가 크다면요?

그렇겠죠?

그리고 묵직할수록

덜 처질 거야.

김 한 장은 잘 구부러지지만

김밥은 잘 구부러지지 않으니까.

비유가 좀 이상하지만

맞는 말 같아요.

이제 수학적으로 접근해 보자

프로처럼!

일단 이 장면을 보자.

어디서 많이 본 것 같지 않아?

네,

지난 휨응력 시간에 본 그림이잖아요.

꽤 복잡했는걸요.

휘어지는 재료(보)의 모습을

일종의 부채꼴, 원의 일부라고 가정해서

그 거동을 구해 봤어.

그때 곡률이라는 개념을 말했어.

그리스 문자 카파(κ)로 썼는데,

기억해?

네.

곡률은 반지름의 역수였죠?

클수록 더 급하게 휘어지고요.

그때 곡률식은

곡률=M/EI였어.

이걸 유념하고 다음 내용을 가 보자.

자, 이번에도 보가 힘을 받아서 휘었어.

중간에 미소길이 dx를 살펴보자.

지금 dx 안에서 휜 보의 길이를 ds라 하고

이 ds를 부채꼴이라 보는 거야.

부채꼴 중심각은 dθ로 하자.

수평과 비교해

ds 시작점에서 보가 이루는 각도는 θ야.

시작점의 처짐은 ν(그리스 문자 뉘/뉴)로 표시하자.

난 3학년까지 이게 브이인 줄 알았지 뭐야.

보는 오른쪽으로 갈수록 더 올라가는데요.

ν도 변하는 거 아닌가요?

ds가 가는 사이 더 처진 크기는

자연스레 dν가 되겠지.

자!

곡률은 얼마일까?

곡률은 반지름의 역수라고 했죠.

반지름은 호의 길이/각도니까

ds/dθ고

곡률은 dθ/ds가 되네요.

그런데 말야.

우리가 다루는 재료들은 대부분

처지고 변형하는 길이가 아주 아주 짧아.

그림은 축 처지게 그리지만

실제론 눈으로 보기도 힘들지.

금속이 치즈처럼 죽죽 늘어나면

그건 그것대로 공포스럽겠네요.

말이 나와서 말인데,

살짝 반칙을 쓰려고 해.

반칙요?

ds는 구하기 어렵잖아?

그런데 실제로 ds는 dx랑 아주 비슷해.

... 그러니까, ds 대신에 dx를 넣자?

왜 안 돼?

'수학적'으로 구해 보자면서요.

정치와 경제로 정하는 최저임금, 버스요금 등에 비하면

이 정도는 아주 냉철한 결정이지.

알았어요.

저도 제가 들을 강의를

굳이 어렵게 만들고 싶진 않아요.

좋아!

ds는 dx로 바꾸자!

그럼 곡률은 dθ/dx야.

약속한 거다?

약속한다 해도

이게 처짐과 무슨 상관이죠?

봐봐.

아까 ds 왼쪽 시작점이

수평과 이루는 각도를 θ라고 했잖아?

근데 그거 알아?

θ가 아주 작으면, tanθ랑 구분하기 힘든 거?

... 그러니까 θ를 tanθ라고 하자?

알아.

또 반칙이긴 한데...

알았으니까

빨리 말해 봐요.

tanθ는 구하기 쉬워.

네.

dν/dx잖아요.

응. 따라서

θ=tanθ=dν/dx라 말할 수 있지.

곡률은 θ를 x로 미분한 값이고

θ는 처짐을 x로 미분한 값이네요.

그렇담 곡률은

'처짐을 미분한 것을 미분한 것'이 아닐까?

ν를 x로 두 번 미분한 것이다?

그치. 근데 처음에 말했지.

곡률=M/EI라고.

잠깐만요. 곡률은 M/EI면서

동시에 처짐을 두 번 미분한 값이라는

답이 나오네요.

그래. A=B고 A=C라면

B=C지.

따라서

처짐을 두 번 미분한 것은 M/EI와 같아.

그래서, 처짐은요?

두 번 미분한 것이 M/EI니까

처짐을 구하려면

두 번 적분해야 하지 않을까?

처짐은 결국

M/EI를 x에 대해 두 번 적분한 것이다, 이 말이죠?

설마 고등학교에서 적분을 안 배우진 않았지?

배웠죠.

그래서 궁금해요.

적분은 적분상수가 생기잖아요.

그렇지.

두 번 적분하면 적분상수가 둘이나 생기는데

어떻게 정확한 처짐을 구하죠?

경계조건(Boundary Condition)

생각해 봐.

시험에서는 어떻게 적분을 구했지?

적분상수를 알도록 힌트를 줬죠.

x=0일 때 f(x)가 얼마라든가,

x=0일 때 f'(x)가 얼마라든가...

처짐을 구할 때도 그런 힌트가 있어.

그걸 경계조건(Boundary Condition)이라 부르지.

예를 들면요?

이 보를 봐.

왼쪽 끝은 벽에 박혀 있어.

따라서 이쪽은 처질 수도 없고,

심지어 휠 수도 없지.

즉 x=0일 때

두 번 적분한 식(처짐)의 값은 0이야.

또 x=0일 때

한 번 적분한 식(기울기)의 값도 0이지.

다른 보도 볼까?

이 보는 양쪽에 지지가 있어서

처질 수 없어.

그럼 x=0, L일 때 처짐이 0이네요.

게다가 보와 하중이 좌우 대칭이라서

정중앙이 최대로 처진다는 것도 알아.

따라서 x=2/L일 때 기울기가 0이지.

이런 조건들을 이용하면 적분상수를 알 수 있고

처짐과 기울기를 구할 수 있지.

잠깐, M/EI를 한 번 적분하면 기울기였네요.

저도 모르는 사이에 이해해 버렸어요.

조건이 부족할 때 쓰는 방법이나

다른 처짐 계산방법(모멘트 적분법)도 차근차근 알아보자.

우선 씻고 올 테니까

자리 좀 지키고 있어.

(텐트에서 이상한 냄새가 나...)