오늘은 축하중이 나오는 문제를 풀어볼 거야.

공식만 들으면 쉬워 보이지만

조금 꼬아서 문제가 나오면 당황하거든.

맞아요.

듣기엔 쉬웠는데

막상 시험은 까다로웠어요.

문제는 거의 전공서적에 나오지만

예제가 아니면 솔루션을 봐야 정답이 나와서

'내가 푼 게 맞나?' 확신하지 못해.

이건 원칙적으로 하면 안 되는데

인터넷을 조금만 뒤지면

웬만한 솔루션이 나오니까 참고해.

진지하게 조언하자면

재료역학 정도는 스스로 풀어야지

재료역학마저 답 없이 못 풀면

남은 토목강의가 무척 힘들걸?

1. 부재에 여러 힘이 걸릴 때 변형 구하기

제일 흔한 변형문제는 이런 힘을 받는 부재야.

한 부재에 하중이 여러 가지네요.

당황하지 마!

공명의 함정...은 아니야.

이 정도는 함정이라 부르기도 민망하지.

우선 하중을 기준으로 해서

부재를 세 부분으로 분리해봐.

그런 다음

지지부에서 먼 쪽부터 자유물체도를 그려봐.

이때 힘평형을 꼭 생각하고.

제일 먼 CD 부분은

위로 10kN을 받으니까

아래부분에서 아래로 10kN을 받아야

힘평형이 맞겠죠?

두 번째 BC부분에서

윗부분은 아래로 15kN라는 외력을 받지만,

아까 CD에서 아래부분에 있는 10kN을

상쇄해 없애려면 위로 10kN도 받아야 해

따라서 BC 윗부분이 받는 힘은

넘겨받은 10- 외력 15 = 아래로 5kN이고

힘평형을 유지하려면

아랫부분은 위로 5kN을 받겠지.

그럼 마지막으로 AB는 위로 10kN이라는 외력을 받는데

BC한테서 물려받은 아래로 5kN을 합쳐서

총 위로 5kN을 받고,

힘평형에 따라 밑부분은 아래로 5kN을 받겠네요.

그렇지.

문제에서는 변형을 구하라고 했으니까

부분별로 PL/EA를 구한 다음

모두 합치면 돼

단, 압축과 인장을 잘 구분해서 헷갈리지 말도록!

옛. 알겠슴다!

2. 김밥(?) 부재

이번에는 금속으로 만든 김밥을 소개한다!

어디 보자.

부재가 벽에서 나오고

그 주변을 속이 빈 부재가 둘러싸고 있네요.

그리고 내부 부재는 케이블로

힘껏 당길 거야.

그냥 PL/EA로 늘어난 변형을

계산하면 안 되나요?

함정이 괜히 함정이겠어.

만약 계산한 변형이

내부부재와 외부부재 사이 거리(1mm)보다 길게 나온다면?

그럼 내부부재가 외부부재에 닿고...

그럼 외부부재도 같이 늘어나고...

아, 머리가!

단순한 문제가 아닌 건 알겠지?

이렇게 생각하자.

내부부재는 일단 외력은 확실히 받아.

문제는 내부부재가 늘어나면서 외부부재와 닿고

외부부재도 늘어나면서

내부부재한테 '늘어나지마!' 힘을 가한다는 점이야.

그 '늘어나지마!' 힘을 모르잖아요.

아직은 때가 아니야.

천천히 가자.

외부부재 입장에서 보면

갑자기 내부부재가 늘어나서

자기까지 늘리는 거겠지.

외부부재는 늘어난 만큼 반항할 것이고

내부부재에 '늘어나지마!'를 가하게 돼

결국 외부부재를 늘리는 힘은

'늘어나지마!'와 방향만 반대네요.

정확해.

그래도 그 '늘어나지마!'의 크기는 알 수가 없어요.

눈썰미가 있다면 다른 실마리를 발견할 수 있지.

생각해 봐.

내부부재와 외부부재는 닿는 순간부터 한몸이야.

늘어나는 시작지점은 달라도

늘어났을 때 두 부재의 끄트머리가 있을 곳은 같아.

내부와 외부 사이 거리가 1mm니까

내부가 늘어난 변형은 외부보다 1mm 길 수밖에 없죠.

식으로 쓰자면 이렇겠지.

변형은 PL/EA니까 이렇게 되고,

우리는 두 부재의 L, E, A를 알아

(외부부재는 속이 비었다는 점을 유념해)

그럼 P만 냅두고 다 계산해서 계수로 만들 수 있지.

P1은 '외력-늘어나지마!'고

P2는 '늘어나지마!'니까

대입하면 모르는 미지수는 '늘어나지마!' 하나뿐이라

방정식 계산이 가능해지지.

'늘어나지마!'를 구하면

내부부재가 받는 힘을 계산할 수 있고

변형도 구할 수 있겠죠.

3. 축하중을 받는 부정정 부재

마지막으로 살펴볼 부재는

부정정 부재야.

부재가 두 벽 사이에 껴서

옴짝달싹 못하고 있네요.

옴싹달싹 아니야?

옴짝달싹 맞아요.

...흠. 아무튼

이 부재에 걸리는 힘은 힘평형 식으로 구할 수 없어.

평형식 셋 중에 축방향 힘평형 식만 쓸모가 있는데

위, 아래에 반력이 둘이야.

식 하나에 미지수 둘이니 풀 수가 없지.

무슨 방법이 있으니까

선배가 소개해 주는 거죠?

어허. 섣부른 예측은

무대에 선 사람을 피곤하게 하는 법.

그래도 네 말이 맞아.

푸는 방법은 존재하지.

먼저 AB와 BC로 부분을 나누고

각각 자유물체도를 그려보자.

이때 부분마다 무슨 힘이 걸린지 모르니까

그냥 Fa와 Fb라고 하자.

(방향을 잘 정해놓자. 나중에 -가 나오면 반대방향으로 쓰면 되니까.)

다음은... 잠깐만요, 선배.

뭔가 알 것 같은데요?

뭔데, 뭔데?

이 부재는 두 벽 사이에 끼어 있어요.

그 말인즉슨, 이 부재는 변형할 수가 없죠.

즉 변형이 0이죠.

맞죠?

또 설명하는 즐거움을 빼앗았구나.

네 말이 맞아.

이 문제를 푸는 실마리는

'부재의 총변형이 0이다'는 점이야.

즉 중첩 원리(Principle of superposition)를 이용해

두 부분의 변형을 합친 것이 전체 변형과 같음을 안다면

두 부분의 변형이 서로 상쇄한다는 점을 알 수 있지.

즉 두 부분의 PL/EA는 방향만 반대고 크기는 같아.

같은 부재라면

EA는 같을 테니까

두 부분의 PL이 방향만 반대겠네요.

그렇게 되면 두 P의 크기는

L의 크기에 반비례하고,

또 한쪽 P는 다른 쪽 P의 계수(L/L)로 쓸 수 있겠지.

그렇게 변환한 P를 힘평형 식에 넣으면

식 하나에 미지수도 하나가 되니까

P를 구하고

또 나머지 P도 구할 수 있겠네요.

지난 시간에는 부재에 얼마나 하중을 받는지 계산해 봤어. 힘과 

모멘트 평형식으로 반력이나 내력을 알아냈지.

우선 스트레스를 받을 시간이야.

엥?

아. 농담도 잘하시네요.

응력(Stress) 말하는 거죠?

응력은 저도 알죠.

면적에 걸리는 힘이잖아요.

단위는 [힘/면적]이고요.

맞아. 압력과 단위가 같아서

Pa(파스칼)이나 psi(제곱인치 당 파운드)같은 단위도 쓰지.

단위변환을 외워두면 자잘하게 도움이 되니까 알아둬.

1 Pa = 1 N/m^2

1 psi = 6894.76 Pa

1 ksi = 1000 psi

1 bar = 100000 Pa

축하중을 받는 부재

응력 중에서 제일 단순한

축하중을 받는 부재의 응력이야.

이 부재는 모든 부분에서

'하중/부재 단면적'에 해당하는

응력이 걸리겠죠?

그렇지.

비록 축하중이 점하중이지만

우리는 이 하중이 부재 전면에 걸린다고 생각하자.

'생각'이요?

실제로는 안 그런가요?

차이가 없다고 할 수는 없겠지만

생 베낭트의 원리(St Venant's principle)에 따라

하중이 작용하는 곳에서 멀수록

점하중과 분포하중은 역학적으로 거의 같은 작용을 하지

걱정하진 마.

시험에서도 딱히 구분하진 않으니까.

심지어 생 베낭트라는 이름도

호기심에 찾아봤다가 들어본 이름이야.

난 재료역학 강의에서도 못 들어봤어.

응력-변형율 그래프

응력을 받을수록 재료는 늘어나거나 줄지

특히 재료역학에서 주로 다루는 재료인

금속은 탄성으로 행동하니까 말이야.

그래도 응력을 아주 많이 가하면

언젠가 끊어지겠죠?

그런 재료거동을 설명하는 것이

바로 응력-변형율 그래프지.

(응력-변형율 선도/곡선이라고도 하지)

앞으로 졸업할 때까지 볼지도 모를 그림이야.

잠깐, 변형율이 뭔지는 알지?

당연하죠.

원래 길이에서 길이가 달라진 비율이잖아요.

길이변화/원래길이로 계산하고요.

그래. 응력-변형율 그래프는

세로축을 응력, 가로축을 변형율(Strain)로 한 채

재료를 누르거나 당기면서 그 관계를 그린 그림이야.

그러니까 세로축(응력)이 증가한다면 더 큰 힘을 가한 것이고

가로축(변형율)이 증가한다면 더 늘어난(줄어든) 것이지.

먼저 힘을 가하면

응력과 변형율은 비례 관계로 늘어나기 시작해.

마치 용수철과 같지.

고등학교 물리에서 봤을 수도 있는데

용수철을 당기는 힘과 길이변화는 비례한다고 배웠지?

맞아요. 기억 나요.

처음 응력이 걸린 부재도

용수철과 비슷하게 작용해.

(물론 모든 재료가 이렇지는 않아)

여기서 응력이 더 증가해서

항복 강도(Yield strength)를 넘어버리면

그래프가 옆으로 죽죽 나아가지.

응력이 딱히 증가하지 않았는데

변형율이 늘어났으니

응력을 더 주지 않았는데도

재료가 늘어난 거네요.

그래. 그런 다음 변형 경화가 와.

응력과 변형율이 같이 증가하지

처음보다는 변형율이 속수무책으로 증가하긴 하지만.

그러다가 결국 산꼭대기에 서네요.

마침내 극한강도(Ultimate strength)

(인장강도, Tensile strengh라고도 해)에 다다르면

네킹(Necking) 현상이 벌어지고 말아.

죽죽 늘어나면서 단면적이 급격히 줄어들지

그런 다음에 파단(Fracture), 즉 끊어지고.

알루미늄 같은 재료는 항복강도가 좀 모호하긴 하지만

크게 다르지는 않아.

영의 계수

우리가 중점적으로 볼 부분은

맨 처음,

응력과 변형율이 비례하면서 늘어나는 부분이야.

용수철처럼 늘어나는 부분 말이죠?

훅의 법칙(Hooke's Law)에 따라

용수철을 늘이거나 줄일 때

용수철이 돌아가려고 반항하는 복원력은

늘어난 길이에 비례해.

F = -kx

(-가 있는 건

내가 늘인/줄인 방향과

용수철이 원래대로 가려는 방향이 반대기 때문이야)

이때 k는 용수철 상수라고 불렀고, 용수철마다 값이 달랐어요.

부재도 똑같아.

처음엔 응력과 변형율이 비례해.

비례식으로 쓰자면

응력 = 계수 X 변형율이지.

여기 계수 E는 뭐라고 부르죠?

부재계수라고 하나요?

영국 과학자 토마스 영을 따서

영의 계수(Young's modulus)라고 부르지.

영률, 탄성계수(Elastic modulus)라고도 하고.

알파벳 대문자 E로 써.

변형율이 [길이/길이]라 무단위기 때문에

영의 계수의 단위는 응력과 같아.

영의 계수도 재료마다 다르겠네요.

그래. 철은 약 200GPa,

알루미늄은 약 70GPa 되는 탄성계수를 가지지.

푸아송 비

여기서 문제.

세로로 꽉 누르는 이 부재의 부피는

어떻게 될까?

뭐, 꽉 누르고 축방향으로 압축되니까

당연히 줄어들겠죠?

맞아. 줄어들긴 줄어들겠지.

하지만 그냥 줄어들기만 할까?

만약 이게 건축재료가 아니라

젤리라면?

그럼 눌리다가 퍽 하고

옆으로 터져 버리겠죠.

그렇지? 재료도 같아.

세로로 누르면 가로로 살짝 뚱뚱해지고

당기면 살짝 홀쭉해지겠지.

그 비율을 표현한 것이 바로

푸아송 비(Poisson's ratio)야.

왜 식에 -가 있죠?

세로로 짧게 변형하면

대부분 재료는 가로로 늘어날 테니까

부호가 다를 수밖에.

거기에 -를 붙여서 양수로 만들어 주는 거지.

만약 세로로 압축시켰는데

가로로도 압축된다면

푸아송 비는 음수겠군요?

이론적으론 그래.

아무튼 푸아송 비를 알면

재료의 특성을 조금은 짐작할 수 있지.

변형길이 구하기

드디어 오늘의 하이라이트!

변형길이를 구해보자.

엥? 그거야 쉽죠.

올~ 한번 말해봐.

단면적과 길이와 탄성계수를 아는 부재에

축방향 하중이 걸린다면?

하중을 단면적으로 나누어 응력을 구하고

변형율은 응력을 탄성계수로 나누어 구하고

변형율은 변형길이/원래길이니까

여기에 원래길이를 곱하면 변형길이가 나오죠.

이럴 수가.

내가 호랑이 새끼를 키웠구나.

공식으로 쓰자면

변형길이는(주로 그리스 문자 델타로 쓰지)

PL/EA야.

난 1학년 때 플리즈(PLEAse~)로 외웠어.

EA는 흔히 축강도(Axial Rigidity)라고 불러.

그외에 하중을 변형길이로 나눈 값은

강성도(Stiffness)로 k라 쓰고

변형길이를 하중으로 나눈 값은

유연도(Flexibility)로 f로 쓰는 편이야.

(보면 알겠지만 서로 역수고)

다음 시간에는 좀 복잡한 케이스와

부정정 구조물을 알아보자.