설찬범의 파라다이스
글쓰기와 닥터후, 엑셀, 통계학, 무료프로그램 배우기를 좋아하는 청년백수의 블로그
토목길 (16)
재료역학 6] 경사면 응력
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아~ 너무 멋있다!


나도 짙푸른 바다에서 시원한 바람을 맞으며

쏜살같은 요트를 타고 질주하고 싶다!

거기에 구릿빛 피부로 미소짓는

잘생긴 남자까지...



너 뭐 잘못 먹었니?

아침부터 침을 줄줄 흘리고...



잡지에서

요트 기사를 봤거든요.

하와이와 동남아에서

태평양 파도를 헤치는 사람들!

너무 부럽다~



잘 됐다.

안 그래도 오늘 내용을

설명할 방법을 찾고 있었는데

요트가 딱이겠어.



콘크리트 대신 요트로

건물을 짓는 것도 아니고

재료역학이니까

요트가 바람으로 받는 힘과 관련 있나요?



바람은 맞지만

설명하려는 건 좀 달라.


요트는 돛을 이리저리 돌리면서

방향을 조절하지?



네, 그 모습이 완전 멋있는걸요.



같은 바람이어도

돛 방향에 따라

요트가 받는 힘은 달라지지.


우린 그동안 직각 모양 부재의

응력만 다뤄왔어.

그런데 이런 모양의 부재가 인장을 받는다고 하자.




에이.

어차피 인장응력은 P/A니까

다르지 않을걸요?



내부야 그렇겠지.

하지만 기울어진 끝부분은

어떤 응력을 받을까?



기울어진 곳은 표면적이 넓으니까

응력은 좀 줄어들 것 같아요.



결론부터 말하자면 맞아.

다만 얼마나 줄어드느냐가 문제지.


인장응력은 표면에 수직하게 당겨서 생기니까

지금 힘(P)이 전부 인장에 쓰이진 않을 거야.

좌표축을 표면에 맞게 바꾸고

힘을 두 수직한 벡터로 쪼개면

인장하는 벡터의 크기를 구할 수 있지.



각도로 봐서

인장하는 벡터는 cosθ를 곱한

Pcosθ겠네요.




그리고 단면적.

아까 네가 말한 대로

기울어진 단면적은 A보다 넓을 거야.

이 정도는 고등학교를 졸업한 너도

충분히 할 수 있겠지?


어디 보자.

원래 면적이 A니까

cosθ가 (기울어진 면적)/A고

따라서 기울어진 면적은

A/cosθ네요!



이제 다 구했다.

인장응력은 결국 P/A

즉 힘/면적이야

다만 새로 구한 힘과 면적을 넣을 뿐.



그럼

Pcosθ / (A/cosθ)니까

P/A에 cosθ의 제곱을 곱한 값이겠네요!




평평할 때의 인장응력에 cosθ의 제곱을 곱했는데

cosθ의 최댓값은 θ가 0일 때 1이니까

θ가 0일 때를 제외하면 기울어진 면의 인장응력은

늘 평평할 때 인장응력보다 작을 수밖에 없지.



뭐, 어떻게 보면 제가 맞았네요.

요트에서 재료역학이 나오다니..


아직 안 끝났으니까

요트 생각은 그만해.


인장응력을 구했으니

전단응력도 구해야 하지 않겠어?



하아.

그래도 아까보단 쉬워요.

구하는 방법은 아니까요.


아까 P를 두 벡터로 쪼갠 곳으로 돌아가서,

이젠 평면을 따라 전단응력을 만드는

벡터힘을 알아보죠.

이번엔 Psinθ네요.




단면적은 아까처럼

A/cosθ고,

따라서 계산하면 전단응력은

P/A sinθcosθ,

 인장응력에 sinθcosθ를 곱한 형태네요.





맞아.

방향은 조심해야지.

재료역학에서는

대부분 이런 방향을 양으로 하니까 참고해.

이게 양이라면 아까 네가 구한 전단응력엔

(-)를 붙여야 겠다.



그리고 더 깜짝 놀랄 사실은

이제부터 시작이야...


다음에 계속...

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재료역학 5] 전단응력
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사각.. 사각...



무언가 자르는 소리가 나는데...



사각.. 사각.. 사각...



선배, 여기서 뭐 해요?



가위로 종이를 자르고 있지.

예전에 물리, 화학 실험강의마다

그래프를 인쇄해 보고서에 잘라 붙였는데 말야.

지금 생각하면 그냥 컴퓨터로 넣어서

한꺼번에 인쇄할 걸 그랬어.




그야 카피할까 봐 일부러 손으로 붙이게

시키기도 하지요.


그런데 말야.

종이는 왜 잘릴까?



가위를 자세히 보면

두 날이 종이를 양옆에서 눌러

종이를 반대방향으로 밀어내

자르지 않나요?


그래.

그리고 그 누르는 건

단순히 압축하고 인장하는 힘과는 달라.

누르고 당기는 힘이 아니라

직각 방향으로 쏠리게 만드는 힘이지.



반죽을 밀대로 밀면

아래로 눌리기도 하지만

옆으로 쓸리기도 하잖아요.

그런 힘을 뭐라고 부를까요?


전단력(Shear Force)이라고 부르지.

전단력은 표면에 접선 방향으로 작용해.

전단력이 만드는 응력은

당연히 전단응력(Shear Stress)이고.

전단응력은 타우(τ)로 써.


전단응력은 그럼

옆으로 생기는 응력이군요?



그렇게 말하면 부족하지.

처음 들으면 헷갈리기 쉽지만,

전단응력은 가로방향 축응력과 전혀 달라.

누르고 당기는 게 아니라

뒤트는 응력이야.




그럼 전단응력 크기는

어떻게 구하죠?

힘/넓이는 알겠는데요.

어느 넓이를 말하는 거죠?



주로 부재의 단면적을 말하지

아래 그림을 보면

평균 전단응력은 P/A지.

모든 단면적에 전단응력이 균일하지는 않아서

'평균 전단응력'이라 할게.

(원한다면 균일분포로 가정할 수도 있고)





다만 그림과 같은 전단은

이중전단(Double Shear)라 부르는데

여기서 한 단면적에 걸리는 힘은

P/2라는 점을 조심해




그리고 축응력과 마찬가지로

변형률이 존재해

전단변형률(Shear Strain)이라 하고 감마(γ)로 써.

찌그러져 변하는 각도로 계산하지.

솔직히 축방향 변형률에 비해 크게 중요하진 않아.

(물론 시험에 나올 확률은 늘 있지)





응력과 변형률이 있다면

탄성계수도 있나요?


물론이지.

시그마-입실론(축방향 응력-변형률) 식처럼

전단에도 훅의 법칙이 있지.




인장 탄성계수는 E고

여기서는 G네요.


전단탄성계수(Shear Modulus of Elasticity)

인장 탄성계수처럼 압력, 응력과 단위가 같아

알루미늄의 전단탄성계수는

약 28GPa야.


그리고 인장탄성계수와 전단탄성계수 사이 관계는

아래 식과 같아. 한 번쯤 외워두라고.

기사시험에도 나오니까.


(υ는 푸아송 비율)




인장응력과 전단응력은 그럼 무관한가요?

응력을 만드는 힘의 방향이 아주 다른데요.



후후... 관계가 있지..

아주 재미있는 관계가...

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재료역학 4] 여러 까다로운 축하중 문제들
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오늘은 축하중이 나오는 문제를 풀어볼 거야.

공식만 들으면 쉬워 보이지만

조금 꼬아서 문제가 나오면 당황하거든.



맞아요.

듣기엔 쉬웠는데

막상 시험은 까다로웠어요.



문제는 거의 전공서적에 나오지만

예제가 아니면 솔루션을 봐야 정답이 나와서

'내가 푼 게 맞나?' 확신하지 못해.

이건 원칙적으로 하면 안 되는데

인터넷을 조금만 뒤지면

웬만한 솔루션이 나오니까 참고해.


진지하게 조언하자면

재료역학 정도는 스스로 풀어야지

재료역학마저 답 없이 못 풀면

남은 토목강의가 무척 힘들걸?




1. 부재에 여러 힘이 걸릴 때 변형 구하기



제일 흔한 변형문제는 이런 힘을 받는 부재야.





한 부재에 하중이 여러 가지네요.



당황하지 마!

공명의 함정...은 아니야.

이 정도는 함정이라 부르기도 민망하지.


우선 하중을 기준으로 해서

부재를 세 부분으로 분리해봐.


그런 다음

지지부에서 먼 쪽부터 자유물체도를 그려봐.

이때 힘평형을 꼭 생각하고.



제일 먼 CD 부분은

위로 10kN을 받으니까

아래부분에서 아래로 10kN을 받아야

힘평형이 맞겠죠?




두 번째 BC부분에서

윗부분은 아래로 15kN라는 외력을 받지만,

아까 CD에서 아래부분에 있는 10kN을

상쇄해 없애려면 위로 10kN도 받아야 해


따라서 BC 윗부분이 받는 힘은

넘겨받은 10- 외력 15 = 아래로 5kN이고

힘평형을 유지하려면

아랫부분은 위로 5kN을 받겠지.




그럼 마지막으로 AB는 위로 10kN이라는 외력을 받는데

BC한테서 물려받은 아래로 5kN을 합쳐서

총 위로 5kN을 받고,

힘평형에 따라 밑부분은 아래로 5kN을 받겠네요.






그렇지.

문제에서는 변형을 구하라고 했으니까

부분별로 PL/EA를 구한 다음

모두 합치면 돼

단, 압축과 인장을 잘 구분해서 헷갈리지 말도록!



옛. 알겠슴다!





2. 김밥(?) 부재



이번에는 금속으로 만든 김밥을 소개한다!



어디 보자.

부재가 벽에서 나오고

그 주변을 속이 빈 부재가 둘러싸고 있네요.



그리고 내부 부재는 케이블로

힘껏 당길 거야.



그냥 PL/EA로 늘어난 변형을

계산하면 안 되나요?



함정이 괜히 함정이겠어.

만약 계산한 변형이

내부부재와 외부부재 사이 거리(1mm)보다 길게 나온다면?



그럼 내부부재가 외부부재에 닿고...

그럼 외부부재도 같이 늘어나고...

아, 머리가!



단순한 문제가 아닌 건 알겠지?

이렇게 생각하자.

내부부재는 일단 외력은 확실히 받아.

문제는 내부부재가 늘어나면서 외부부재와 닿고

외부부재도 늘어나면서

내부부재한테 '늘어나지마!' 힘을 가한다는 점이야.





그 '늘어나지마!' 힘을 모르잖아요.



아직은 때가 아니야.

천천히 가자.

외부부재 입장에서 보면

갑자기 내부부재가 늘어나서

자기까지 늘리는 거겠지.

외부부재는 늘어난 만큼 반항할 것이고

내부부재에 '늘어나지마!'를 가하게 돼



결국 외부부재를 늘리는 힘은

'늘어나지마!'와 방향만 반대네요.



정확해.



그래도 그 '늘어나지마!'의 크기는 알 수가 없어요.



눈썰미가 있다면 다른 실마리를 발견할 수 있지.


생각해 봐.

내부부재와 외부부재는 닿는 순간부터 한몸이야.

늘어나는 시작지점은 달라도

늘어났을 때 두 부재의 끄트머리가 있을 곳은 같아.




내부와 외부 사이 거리가 1mm니까

내부가 늘어난 변형은 외부보다 1mm 길 수밖에 없죠.



식으로 쓰자면 이렇겠지.



변형은 PL/EA니까 이렇게 되고,




우리는 두 부재의 L, E, A를 알아

(외부부재는 속이 비었다는 점을 유념해)

그럼 P만 냅두고 다 계산해서 계수로 만들 수 있지.




P1은 '외력-늘어나지마!'고

P2는 '늘어나지마!'니까

대입하면 모르는 미지수는 '늘어나지마!' 하나뿐이라

방정식 계산이 가능해지지.



'늘어나지마!'를 구하면

내부부재가 받는 힘을 계산할 수 있고

변형도 구할 수 있겠죠.



3. 축하중을 받는 부정정 부재



마지막으로 살펴볼 부재는

부정정 부재야.




부재가 두 벽 사이에 껴서

옴짝달싹 못하고 있네요.



옴싹달싹 아니야?



옴짝달싹 맞아요.



...흠. 아무튼

이 부재에 걸리는 힘은 힘평형 식으로 구할 수 없어.

평형식 셋 중에 축방향 힘평형 식만 쓸모가 있는데

위, 아래에 반력이 둘이야.

식 하나에 미지수 둘이니 풀 수가 없지.



무슨 방법이 있으니까

선배가 소개해 주는 거죠?



어허. 섣부른 예측은

무대에 선 사람을 피곤하게 하는 법.

그래도 네 말이 맞아.

푸는 방법은 존재하지.


먼저 AB와 BC로 부분을 나누고

각각 자유물체도를 그려보자.

이때 부분마다 무슨 힘이 걸린지 모르니까

그냥 Fa와 Fb라고 하자.

(방향을 잘 정해놓자. 나중에 -가 나오면 반대방향으로 쓰면 되니까.)



다음은... 잠깐만요, 선배.

뭔가 알 것 같은데요?



뭔데, 뭔데?



이 부재는 두 벽 사이에 끼어 있어요.

그 말인즉슨, 이 부재는 변형할 수가 없죠.

즉 변형이 0이죠.

맞죠?



또 설명하는 즐거움을 빼앗았구나.

네 말이 맞아.

이 문제를 푸는 실마리는

'부재의 총변형이 0이다'는 점이야.


즉 중첩 원리(Principle of superposition)를 이용해

두 부분의 변형을 합친 것이 전체 변형과 같음을 안다면

두 부분의 변형이 서로 상쇄한다는 점을 알 수 있지.

즉 두 부분의 PL/EA는 방향만 반대고 크기는 같아.



같은 부재라면

EA는 같을 테니까

두 부분의 PL이 방향만 반대겠네요.




그렇게 되면 두 P의 크기는

L의 크기에 반비례하고,

또 한쪽 P는 다른 쪽 P의 계수(L/L)로 쓸 수 있겠지.



그렇게 변환한 P를 힘평형 식에 넣으면

식 하나에 미지수도 하나가 되니까

P를 구하고

또 나머지 P도 구할 수 있겠네요.






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재료역학 3] 축하중을 받는 부재
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지난 시간에는 부재에 얼마나 하중을 받는지 계산해 봤어. 힘과 

모멘트 평형식으로 반력이나 내력을 알아냈지.


우선 스트레스를 받을 시간이야.



엥?

아. 농담도 잘하시네요.

응력(Stress) 말하는 거죠?


응력은 저도 알죠.

면적에 걸리는 힘이잖아요.

단위는 [힘/면적]이고요.



맞아. 압력과 단위가 같아서

Pa(파스칼)이나 psi(제곱인치 당 파운드)같은 단위도 쓰지.

단위변환을 외워두면 자잘하게 도움이 되니까 알아둬.


1 Pa = 1 N/m^2

1 psi = 6894.76 Pa

1 ksi = 1000 psi

1 bar = 100000 Pa




축하중을 받는 부재






응력 중에서 제일 단순한

축하중을 받는 부재의 응력이야.



이 부재는 모든 부분에서

'하중/부재 단면적'에 해당하는

응력이 걸리겠죠?



그렇지.

비록 축하중이 점하중이지만

우리는 이 하중이 부재 전면에 걸린다고 생각하자.



'생각'이요?

실제로는 안 그런가요?



차이가 없다고 할 수는 없겠지만

생 베낭트의 원리(St Venant's principle)에 따라

하중이 작용하는 곳에서 멀수록

점하중과 분포하중은 역학적으로 거의 같은 작용을 하지


걱정하진 마.

시험에서도 딱히 구분하진 않으니까.

심지어 생 베낭트라는 이름도

호기심에 찾아봤다가 들어본 이름이야.

난 재료역학 강의에서도 못 들어봤어.







응력-변형율 그래프



응력을 받을수록 재료는 늘어나거나 줄지

특히 재료역학에서 주로 다루는 재료인

금속은 탄성으로 행동하니까 말이야.



그래도 응력을 아주 많이 가하면

언젠가 끊어지겠죠?



그런 재료거동을 설명하는 것이

바로 응력-변형율 그래프지.

(응력-변형율 선도/곡선이라고도 하지)

앞으로 졸업할 때까지 볼지도 모를 그림이야.


잠깐, 변형율이 뭔지는 알지?



당연하죠.

원래 길이에서 길이가 달라진 비율이잖아요.

길이변화/원래길이로 계산하고요.



그래. 응력-변형율 그래프는

세로축을 응력, 가로축을 변형율(Strain)로 한 채

재료를 누르거나 당기면서 그 관계를 그린 그림이야.


그러니까 세로축(응력)이 증가한다면 더 큰 힘을 가한 것이고

가로축(변형율)이 증가한다면 더 늘어난(줄어든) 것이지.


먼저 힘을 가하면

응력과 변형율은 비례 관계로 늘어나기 시작해.

마치 용수철과 같지.

고등학교 물리에서 봤을 수도 있는데

용수철을 당기는 힘과 길이변화는 비례한다고 배웠지?



맞아요. 기억 나요.



처음 응력이 걸린 부재도

용수철과 비슷하게 작용해.

(물론 모든 재료가 이렇지는 않아)




여기서 응력이 더 증가해서

항복 강도(Yield strength)를 넘어버리면

그래프가 옆으로 죽죽 나아가지.



응력이 딱히 증가하지 않았는데

변형율이 늘어났으니

응력을 더 주지 않았는데도

재료가 늘어난 거네요.



그래. 그런 다음 변형 경화가 와.

응력과 변형율이 같이 증가하지

처음보다는 변형율이 속수무책으로 증가하긴 하지만.



그러다가 결국 산꼭대기에 서네요.



마침내 극한강도(Ultimate strength)

(인장강도, Tensile strengh라고도 해)에 다다르면

네킹(Necking) 현상이 벌어지고 말아.

죽죽 늘어나면서 단면적이 급격히 줄어들지

그런 다음에 파단(Fracture), 즉 끊어지고.




알루미늄 같은 재료는 항복강도가 좀 모호하긴 하지만

크게 다르지는 않아.



영의 계수



우리가 중점적으로 볼 부분은

맨 처음,

응력과 변형율이 비례하면서 늘어나는 부분이야.



용수철처럼 늘어나는 부분 말이죠?



훅의 법칙(Hooke's Law)에 따라

용수철을 늘이거나 줄일 때

용수철이 돌아가려고 반항하는 복원력은

늘어난 길이에 비례해.


F = -kx

(-가 있는 건

내가 늘인/줄인 방향과

용수철이 원래대로 가려는 방향이 반대기 때문이야)



이때 k는 용수철 상수라고 불렀고, 용수철마다 값이 달랐어요.



부재도 똑같아.

처음엔 응력과 변형율이 비례해.

비례식으로 쓰자면

응력 = 계수 X 변형율이지.




여기 계수 E는 뭐라고 부르죠?

부재계수라고 하나요?



영국 과학자 토마스 영을 따서

영의 계수(Young's modulus)라고 부르지.

영률, 탄성계수(Elastic modulus)라고도 하고.

알파벳 대문자 E로 써.

변형율이 [길이/길이]라 무단위기 때문에

영의 계수의 단위는 응력과 같아.



영의 계수도 재료마다 다르겠네요.



그래. 철은 약 200GPa,

알루미늄은 약 70GPa 되는 탄성계수를 가지지.







푸아송 비



여기서 문제.

세로로 꽉 누르는 이 부재의 부피는

어떻게 될까?




뭐, 꽉 누르고 축방향으로 압축되니까

당연히 줄어들겠죠?



맞아. 줄어들긴 줄어들겠지.

하지만 그냥 줄어들기만 할까?

만약 이게 건축재료가 아니라

젤리라면?



그럼 눌리다가 퍽 하고

옆으로 터져 버리겠죠.



그렇지? 재료도 같아.

세로로 누르면 가로로 살짝 뚱뚱해지고

당기면 살짝 홀쭉해지겠지.




그 비율을 표현한 것이 바로

푸아송 비(Poisson's ratio)야.




왜 식에 -가 있죠?



세로로 짧게 변형하면

대부분 재료는 가로로 늘어날 테니까

부호가 다를 수밖에.

거기에 -를 붙여서 양수로 만들어 주는 거지.



만약 세로로 압축시켰는데

가로로도 압축된다면

푸아송 비는 음수겠군요?



이론적으론 그래.

아무튼 푸아송 비를 알면

재료의 특성을 조금은 짐작할 수 있지.



변형길이 구하기



드디어 오늘의 하이라이트!

변형길이를 구해보자.



엥? 그거야 쉽죠.



올~ 한번 말해봐.



단면적과 길이와 탄성계수를 아는 부재에

축방향 하중이 걸린다면?


하중을 단면적으로 나누어 응력을 구하고

변형율은 응력을 탄성계수로 나누어 구하고

변형율은 변형길이/원래길이니까

여기에 원래길이를 곱하면 변형길이가 나오죠.



이럴 수가.

내가 호랑이 새끼를 키웠구나.


공식으로 쓰자면

변형길이는(주로 그리스 문자 델타로 쓰지)

PL/EA야.




난 1학년 때 플리즈(PLEAse~)로 외웠어.

EA는 흔히 축강도(Axial Rigidity)라고 불러.


그외에 하중을 변형길이로 나눈 값은

강성도(Stiffness)로 k라 쓰고

변형길이를 하중으로 나눈 값은

유연도(Flexibility)로 f로 쓰는 편이야.

(보면 알겠지만 서로 역수고)




다음 시간에는 좀 복잡한 케이스와

부정정 구조물을 알아보자.



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재료역학 2] 반력과 내력
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지난 시간, 힘 평형과 모멘트 평형을 식으로 배워보았다.

이번에는 반력과 내력을 구하고

이를 바탕으로 자유물체도를 그려보자.



지난번에는 물체를 가져다놓고

물체에 가해지는 힘을 표시하면서

예를 들었어.

기억나니?


네.

화살표로 힘의 방향을 표시하고

숫자로 그 양을 썼죠.



맞아.

한 물체에 가해지는 힘을 죄다 표시한 것이

바로 자유물체도(Free Body Diagram, FBD)야.





제일 쉬운 자유물체도라면

바로 이런 보의 자유물체도겠지.

보에 힘을 가하고,

밑에서는 반력이 생기면서

힘과 모멘트가 평형을 이루는 거야

(보 자중은 생략)



선배,

보 왼쪽 지지부는 뾰족데

오른쪽 지지부는 둥그네요?



맞다! 반력 종류를 설명해 줘야겠구나!



반력의 종류





이 그림을 봐.


멋진 스케이트보드네요.


이 스케이트보드를 위에서 누르면 어떻게 될까?


뭐, 체중이 150kg이 아닌 다음에야

가만히 있겟죠.


그럼 옆에서 누르면?


바퀴가 달렸으니까

옆으로 이동하지 않을까요?



맞아.

바퀴는 세로방향 힘에는 저항하지만

가로방향 힘에는 저항하지 못해

(마찰 등을 제외한다면)


어떤 물체가 바퀴로 지지된다면

그 물체는 가로방향 반력을 만들지 못할 거야

반력(Reaction Force)은 말 그대로 반응(Reaction)하는 힘이니까.



그럼 이런 지지는

세로방향 반력만 만들 수 있는 건가요?




그렇지!

그러니까 이런 지지의 반력을 구하고 싶다?

지지하는 방향의 직각방향 반력만 설정하면 되지




두 번째 지지는 이런 모양이야.


아파트 정문 게이트에 있을 법한 구조네요.


이걸 가로세로로 누르면 어떻게 될까?


이건 위치가 고정되었으니까

어느 방향이든 움직이지 않겠네요.


선배처럼 말하자면

어느 쪽이든 반항하니까

반력은 세로방향 힘과 가로방향 힘,

두 가지가 나오겠죠?


머리회전이 빠르구나.

그럼 이건 어때?




막대기가 벽에 박혔네요.

이것도 위치가 고정이니까

두 가지 힘이 반력으로 나오지 않을까요?


반은 맞고 반은 틀려.

앞선 두 지지는 회전에 저항하지 못했어.

하지만 이번 지지는 어떨까?

박혀 있으니 돌리지 못하겠죠.

돌리지 못하니까... 아!

모멘트 반력도 생기는군요!




그렇지.

이런 지지에서는

힘 두 가지에 모멘트까지 해서

반력이 세 종류 생기게 돼.


지지는 내가 말한 순서대로

롤러(Roller), 핀(Pin), 고정(Fixed)이라고 주로 말하지.

물론 다른 지지도 있지만

이 세 가지가 제일 기본이고

대학생활 내내 볼 거라는 점 명심해.




내력



이제 물체를 중간에서 잘라보자.


네? 왜 잘라요.

자르면 무너지지 않나요?


바보야. 진짜 자르는 게 아니라

가상으로 잘라 보자는 이야기야.

그래야 물체 중간에 걸리는 힘을 알 수 있거든.


물체는 모든 부분이 다 같은 힘을 받지 않나요?


정말 그렇게 쉬웠다면

나도 학점을 잘 받았을 텐데...


한번 이 보의 정중앙을 (상상 속에서)잘라보자.

이 두 단면 사이에는 힘과 모멘트가 작용할 거야.


왜요?


나랑 네가 손을 잡았는데,

상상 속에서 두 손을 떼어놓는다고

실제로 뗀 건 아니잖아?

양쪽이 서로 밀고, 당기고, 돌리고 할 거라고.


그럼 힘 두 가지랑 모멘트,

이렇게 셋이 있는 건가요?


그래. 이렇게 표시하자.




꼭 이 방향이어야 하나요?



대부분은 이렇게 표시해.

거의 규칙이니까 너도 익숙해지는 게 좋아.


실제 이런 방향이 아닐 수도 있잖아요.


그럼 계산해서 -가 나오겠지.

네가 설정한 방향대로 풀었는데 음수라면

사실은 그 반대 방향으로 양수인 거야.


왜 V와 N이라고 쓰죠?


각각 축방향(Normal)힘과

수직방향(Vertical) 힘이지.


아무튼 힘평형과 모멘트 합 공식을 이용하면

내부에 걸리는 힘과 모멘트를 계산할 수 있을 거야.

진짜 공부하는 사람이라면

도서관에서 예제를 풀지 않을까?


분포력



그런데 좀 이상해요.


응? 어디가?


못이나 우산 끄트머리로 누른다면야

이런 자유물체도를 그릴 수 있겠죠.


하지만 힘은 원래 한 지점보다는

넓게 퍼져서 들어가지 않나요?


우리 김새빛 학우가

정말 센스 있는 말을 해 줬구나.


네 말대로 세상에는 집중하중뿐 아니라

분포력도 있어.




분포력은 당연하겠지만

힘/길이 단위로 표현하지

(실제로는 힘/면적이겠지만

우리 진도는 아직 옆에서 보는 2차원임을 잊지 마)


그럼 평형식으로 계산할 때는 어떡하죠?


힘 평형에서는 당연히 분포하중에 길이를 곱해서

그 총량으로 계산해야지.

예를 들어 3N/m가 2m에 퍼져 있다면

총 6N인 셈이지.


모멘트는요?

힘X거리인데 거리가 '여기부터 저기까지'잖아요.

설마 인테그랄 적분식으로 구하라는 건...


사실, 원리적으로는 적분으로 구하는 게 맞아.

하지만 요령이 있어.



모멘트를 구할 때

힘 크기는 총합으로 하되

위치는 그 분포하중의 정중앙으로 두는 거야.

그래도 적분 결과랑 같거든.


그렇겠네요.

근데 그건 분포하중이 일정할 때만 맞지 않나요?

만약 분포하중이 1차, 2차 그래프 형태라면요?




분포하중이 삼각형 모양이면

위치를 2:1 지점으로 하면 돼.



1차 그래프(사다리꼴)라면

일정한 분포하중 + 삼각형 형태로 나누어 계산하고.



하지만 더 복잡한 모양이라면...

그저 하늘을 원망하는 수밖에...

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재료역학 1] 힘과 모멘트의 평형
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  아직 바람이 차가운 3월. 그러나 대학 캠퍼스는 개강한 대학생들로 활기가 넘친다. 대학생이라면 기대만큼이나 걱정도 많을 터. 특히 2학년이 되어 전공과목을 배우기 시작한 대학생이라면 학업이 더 부담스럽다. 이제 토목과 2학년에 올라온 김새빛도 마찬가지다.





어쩌지. 작년엔 일반물리학, 일반화학, 미적분학 같은 공통과목만 배웠어. 토목과 관련이 있는 건 정역학 정도였지. 그런데 이제 재료역학, 공업수학, 유체역학, 토질공학을 배워야 한다니. 책을 봐도 전혀 이해가 안 되는걸...



새빛아. 뭐가 그렇게 걱정스러워?


아. 유역학 선배!



처음 보니까 당연히 이해가 안 가지. 중학교와 고등학교에서 배운 행렬, 수열, 경우의 수, 2차방정식, 미적분도 처음엔 뭐가 뭔지 모르지만 지금 너는 그걸 다 알잖아? 하다 보면 되겠지.



으... 그래도 해야 할 게 너무 많다구요... 이 두꺼운 교재 좀 보세요...



배울 게 많다는 점은 인정할게. 그래도 차근차근 나아가는 게 중요해.

두꺼운 교재에 주눅이 들었다가는 시작도 하지 못할걸? 정말 모르겠다면 내가 도와줄게.



정말요?



물론이지.

안 그래도 이번 학기는 휴학하고 다른 활동을 할 예정이었거든.

틈틈이 후배를 도와주는 것도 괜찮겠지.



정말 고맙습니다, 선배!



좋아. 그럼 무슨 강의부터 알고 싶은데?



어... 재료역학이요. 아무래도 토목의 기본이 되는 과목 같아서요.



재료역학(Mechanics of Materials)은 토목과뿐 아니라 건축과, 기계과 등 여러 전공에서 필수로 익혀야 해.

산수로 치면 구구단처럼 기초적인 과목이지.



기초부터 이렇게 어려운데, 나중엔 어떡하죠?



내가 말했지. 한 번에 하나씩 하자니까.

구구단을 떼자마자 미적분을 배울 수도 없고, 그렇게 배우려 해서도 안 돼.

앞으로 대학생활이 3년은 남았으니까 조금 여유를 찾자고.



알았어요...



일단 카페라도 가서 이야기할까?



그러죠!




원리와 공식




좋아. 재료역학을 시작해 보자.

그전에 토목을 공부하는 자세를 좀 알아뒀으면 해.



토목을 공부하는 자세요?



응. 원리를 이해하되 공식 자체를 외워두는 것이 좋아.



원리와 공식이라...



원리를 이해해야 하는 이유는 알지?

어느 분야든 왜, 어떻게 그렇게 되는지를 알면 쉽고 깊이 외울 수 있지.

다만, 공식도 늘 알고 있어야 해.

앞으로 시험도 볼 거고, 상위 전공과목도 수강할 테니까.

시험장에서 '이 공식은 어디어디에서 시작해서....' 하면서 모두 처음부터 유도할 수는 없잖아?

나중에 더 어려운 걸 배울 때 강의실에서도 다 처음부터 되짚는다면 지칠걸.



확실히 시험 보면서 그러면 시간이 모자라겠네요.



게다가 공식 중에는 경험식도 많으니까 말야.



경험식이요?



어떤 원리에서 파생한 식이 아니라 실험과 관찰로 얻어낸 식을 말해.

실제 현상을 보고 만든 공식이니 유도할 원래 식이 없지.

지금은 기초니까 다 과학적이겠지만 나중에 가면 경험식이 많아져.

그건 어쩔 수 없이 외우는 수밖에.



이해할 시간에 외우는 것도 방법일까요?



글쎄. 교수 중에는 식만 달달 외우는 학생들을 위해 '못 이해하면 못 푸는 문제'를 내는 분도 있으니까.




평형식



새빛이는 정역학은 수강했겠지?



네, 전공필수였어요.



그래도 복습하는 차원에서 다루고 넘어가자.

뉴턴부터 시작해 볼까?



엥? 웬 뉴턴인가요.

뉴턴은 물리학자지 토목공학자는 아니잖아요.



뉴턴은 중력만 발견한 사람이 아냐.

수학과 공학에도 엄청난 영향을 끼쳤다고.

심지어 힘의 단위(N)에 자기 이름을 넣었으니까.

유체역학의 시초기도 하지.

하지만 지금은 뉴턴의 세 가지 법칙을 살펴보자.

농담으로 공학 공식은 다 이 세 법칙에서 나온다고 해.



뉴턴의 운동법칙

1. 관성 법칙 : 물체는 외부 힘이 없으면 등속도 운동한다.

2. 가속도 법칙 : 가속도는 힘에 비례한다.

3. 작용/반작용 법칙 : 모든 힘은 크기는 같고 방향은 반대인 반작용을 만든다



중학교 과학 시간에 배운 기억이 떠오르네요.

두 번째 법칙은 F=ma죠?

예전에 당구공끼리 부딪히는 문제를 죽어라 풀었죠.



그건 운동량 보존 법칙 아닐까?

아무튼 우리는 첫 번째 법칙에 집중하자.

힘을 받지 않으면 물체는 같은 속도로 움직여. 관성의 법칙이라고 부르지.

그 반대도 성립해. 등속도로 운동하는 물체가 있다면 그 물체는 아무 힘도 받지 않아.



정확히 말하면 아무 힘도 안 받는 게 아니라 '힘의 합력이 0'인 거겠죠.






그래. 바벨을 들고 있는 역도 선수를 생각해 보자.

어마어마하게 무거운 바벨이 역도선수한테 아래 방향으로 힘을 주고 있지.

F=ma를 생각한다면 선수는 아래 방향으로 가속도를 받아야 해. 그런데 역도선수는 가만히 있잖아?

그건 역도선수가 바벨 무게만큼 위로 힘을 주고,

바닥이 바벨 무게와 연도 선두 몸무게를 버티며 위로 힘을 주고 있기 때문이야.

그래서 힘의 합력이 0이고 선수는 바닥을 뚫고 내려가지 않는 거야.



가만히 있는 것도 등속도라 이거군요.



속도가 0으로 일정한 것도 엄연히 등속도지. 안 그래?

따라서 물체가 가만히 있는다면 그 물체가 받는 힘의 합력은 0이다

라 말해도 무리는 없겠지.



좋아요. 슬슬 토목과 상관이 없어지는데요?





이제 토목에 들어가려는 참인데!

자. 여기 테이블 위에 텀블러가 있다고 하자.

텀블러의 무게는 무시할게. 앞으로 구조 자체의 무게는 무시할 거야.

내가 이 텀블러 위에 1kg짜리 책을 올려놓는다고 하자.

텀블러는 움직이지 않아. 그렇다면 합력이 0이지.

텀블러는 위에서 아래로 1kgf의 힘을 받고 있어.

그런데 어떻게 합력이 0일까?





텀블러가 아래에 있는 테이블에서 1kgf만큼 위로 받치는 힘을 받기 때문 아닌가요?

물리학 시간에 배웠죠. 



그래. 따라서 합력은 0이고,

테이블은 현재 1kgf의 힘을 위로 주면서 버티고 있지.



이게 토목과 상관이 있나요?



있고말고.

빌딩, 다리, 발전소, 우리가 있는 카페도 모두 물건과 사람의 무게를 견디고 있어.

기둥과 보에 어느 정도로 힘이 걸리는지 알아야 버틸지 못 버틸지 알아내고 나아가 설계할 수 있겠지.

원래는 더 복잡한 기술도 필요하고 구조 자체의 무게(자중)도 고려해야 하지만,

지금은 기초를 배우고 있으니까 쉽게 생각하자.




힘의 평형



아까 봤듯이 대부분의 구조는 움직이지 않아

(구조가 움직일 때는 정말 끔찍할 거야)

움직이지 않는다면 그 구조에 가하는 모든 힘의 합력은 0이야.

새빛이는 벡터에 대해 알지?



'벡터와 스칼라' 할 때의 그 벡터요?

온도, 시간처럼 방향이 없고 값만 있는 수치는 스칼라라고 하고

힘과 속도처럼 크기와 방향이 같이 있는 수치를 벡터라고 하죠?



그렇지. 힘은 벡터지?

그러니까 '힘의 합력이 0이다'라는 건

힘의 벡터들을 전부 합치면 크기가 0이라는 뜻이 돼.



구조니까 힘의 방향은 위에서 아래로 누르는 방향 아닐까요?



그렇겠지만, 가로 방향 힘도 무시하면 안 되지.

이 물체를 보자.

내가 여기에 있는 힘을 모두 표시할게. 하나만 빼고.

이 물체는 현재 움직이지 않아.

그렇다면 아래에 있는 힘은 크기와 방향이 얼마나 될까?




아래 방향 힘이 총 100N이니까,

합력이 0이려면 위에서 아래로 100N의 힘이 필요하겠죠. 아닌가요?



맞아. '합력이 0이다'를 수학식으로 쓰면 이렇겠지.





F 밑에 y는 뭐죠?



당연히 y축, '세로 방향'이라는 거 아니겠어?

맞다! 이걸 그리는 걸 깜빡했네!




엥? x축 y축이 왜요?



아까 보여준 그림을 다시 봐봐. 여기에 x축, y축 표시가 있었어?



없었죠.



그런데 내가 갑자기 y축은 어쩌구저쩌구... 한다면

읽는 사람은 어디가 y축인지 알겠어?

무조건 세로 방향이 y라는 보장이 없거든.

우리끼리야 괜찮다고 해도 모르는 사람, 특히 레포트와 시험을 채점하는 조교님은 이걸 보고 뭐라고 생각하시겠어?



그렇군요.

축을 말하려면 먼저 어디가 x축이고 y축인지 설명해야 하는군요.



레포트 쓸 때와 시험시간에 잊지 말라고.

힘의 합력에 대해서는 두 가지 공식이 나오지.





x축 합력과 y축 합력이 0이다. 맞죠?



그래. 그리고 축은 임의로 설정할 수 있어.



그게 무슨 뜻이죠?



예를 들어 이 구조를 보자.

이 구조는 경사가 있기 때문에 축도 기울여서 설정하면 계산하기 쉽겠지.



축을 원래처럼 하면 틀리겠군요?



무슨 소리야. 축은 어떻게 정하든 상관 없어.

합력이 0이라면 어떤 방향으로 축을 잡든 0이야.

축을 막 정하면 삼각함수로 계산하가는 좀 어렵겠지만,

합력이 0이라는 사실은 변하지 않아.


어떻게든 90도 차이만 나게 x축 y축 방향을 마음대로 정하면 된다는 거죠?

어차피 합력은 0이니까요. 하지만 웬만하면 계산하기 쉽게 정하는 게 좋다는 거죠?



모멘트의 합



힘의 합력은 0.

하지만 힘 말고 모멘트도 있어. 정역학 시간에 배웠지?



네. 모멘트는 힘X거리죠?



맞아. 이 그림을 봐.




물체가 양옆으로 힘을 받네요.



두 힘은 방향만 반대고 크기는 같아. 힘의 합력은 0.

지금까지 배운 대로면 이 물체는 움직이지 않아야 정상이야.

그런데 상상해봐. 이 물체는 과연 미동도 없을까?



하나는 위, 하나는 아래에 있어요.

이대로 힘을 주면 시계 반대방향으로 물체가 돌겠는데요.



그래. 힘의 합력만 생각하면 '회전'을 고려하지 못해.

토목인이라면 구조가 이동하는 것뿐 아니라 돌아가는 것도 조심해야지.

그래서 힘의 합력뿐 아니라 모멘트의 합력도 0인 걸 고려해야 해. 식으로 쓰자면 이렇겠지.




식 처음에 있는 화살표는 뭐죠?



시계 반대방향 모멘트를 +로 한다는 뜻이야.

x축과 y축을 설정하듯이 모멘트도 어느 방향이 +인지 정해줘야지.

이것도 레포트와 시험에 잊지 말라고.

이 그림을 보자. 모멘트 합이 정말 0인지 알아볼까?



잠깐만요. 모멘트는 힘X거리잖아요.

거리는 어디 기준이죠?



이것도 합력 계산과 같아. 기준점은 어디든 상관 없어.

왼쪽 끝을 기준으로 해 보자. 시계 반대방향을 +로 하는 거야.

10N은 거리가 0이니 모멘트도 0

15N이 만드는 모멘트는 15X1 = 15Nm

5N이 만드는 모멘트는 5X3 = -15Nm

전부 합치면 0이지

새빛이는 15N이 작용하는 지점을 기준으로 해 봐.



10N이 만드는 모멘트는 10X1 = 10Nm

15N이 만드는 모멘트는 거리가 0이니 0

5N이 만드는 모멘트는 5X2 = -10Nm

합이 0이 되네요.



그치? 오늘은 세 가지 식만 기억하자.

합력이 0이라는 식 두 가지와 모멘트 합이 0이라는 식 한 가지.





그런데 이게 무슨 소용인지 잘 모르겠어요.

실제로 구조는 늘 가만히 있지 않나요?

그런데 왜 굳이 합력과 모멘트 합이 0인지 알아야 하죠?



이건 기본에 불과해. 반력과 응력을 구하려면 필수지.

곱셈과 제곱을 하려면 먼저 구구단을 배워야 하듯이 말이야.



다음 화에 계속...

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