오늘 수리학에서는 흐름을 분류해 봅시다.

1) 등류와 부등류

강이 처음부터 끝까지 속도, 물의 밀도 등이 일정하다면 그 강은 위치에 따라 변하지 않는 강입니다. 그런 흐름을 등류(uniform flow)라 합니다. 반대로 위치/공간에 따라 변하는 흐름을 부등류(nonuniform flow)라고 합니다.

2) 정류와 부정류

등류/부등류는 공간에 따른 분류였습니다. 정류와 부정류는 시간에 따른 분류입니다. 시간에 따라 속도나 압력이 변하지 않고 일정한 흐름을 정류(steady flow)라고 합니다. 변한다면 부정류(unsteady flow)라고 하겠죠.

'등'과 '정'은 의외로 헷갈리기 쉽습니다. 쉬워서 대충 익힌 탓일지도 모르니 시험 보기 전에 마지막으로 확인합시다. 영어 단어 uniform/steady로 외우면 그나마 쉽습니다. 달리기 선수의 출발신호는 Ready - Steady - Go입니다. Steady는 가만 있으라는 말입니다. 시간 기준이겠죠?

강이 구불구불 돌면서 속도가 천차만별인 대신, 그 상태가 지속되면 부등류지만 정상류입니다. 등류이자 정상류인 흐름은 아주 평화로울 겁니다. 비가 오거나 댐이 물을 방류해서 상류부터 물이 요동치면 부등류이면서 부정류가 되겠죠. 등류인데 부정류인 흐름은 있을까요? 시간에 따라 흐름이 달라지는데 위치에 따라 달라지진 않는다? 흐름 전체가 동시에 변하지 않는 한 불가능합니다.

3) 층류와 난류

층류(laminar flow)는 안정적인 흐름입니다. 군인들이 열을 맞추어 전진하듯이 분자들이 척척 나아갑니다. 난류(turbulent flow)는 화재경보기가 울린 백화점을 나오는 인파와 같습니다. 불규칙적이고 서로 엉킵니다. 층류와 난류는 레이놀즈 수 등 더 깊이 배울 기회가 나중에 있을 겁니다.

4) 관수로와 개수로

주사기에 물을 넣고 눌러 나오는 물을 관수로로 생각하면 됩니다. 관, 말 그대로 파이프 같은 곳을 지나는 흐름을 관수로라 합니다. 개수로는 개(開), 즉 열려 있다는 뜻입니다. 막히지 않은 곳, 강이나 하수구를 흐르는 흐름입니다. 그런데 조심해야 합니다. 관을 흐르는 흐름이 다 관수로는 아닙니다. 관을 흐르더라도 꽉 차 있지 않으면, 그래서 공기와 닿아 있다면 그건 개수로입니다.

  산업통상자원부는 10월 29일부터 콘크리트용 보강재 분야 국제표준화회의를 개최했습니다. 이 회의를 통해 우리나라는 프리스트레스트 콘크리트 강선, 이른바 PC 강선 국제표준에 우리나라 기업이 개발한 초고강도 PC강선을 추가할 계획을 세울 예정이라고 합니다. PC 강선은 무엇이며, 프리스트레스트 콘크리트(prestressed concrete)는 무엇일까요?

  콘크리트는 어느 건물에서나 보이는 흔한 재료입니다. 부으면 붓는 대로 모양이 완성되고 굳으면 돌처럼 단단해지는 콘크리트는 안 쓰는 것이 이상한 재료죠. 콘크리트의 다른 특징은 압축강도와 인장강도가 꽤 다르다는 겁니다. 콘크리트를 부어 건물을 만들었다면 눌리기도 하고 당겨지기도 하겠죠. 콘크리트는 당기는 힘에 버티는 능력(인장강도)이 누르는 힘에 버티는 능력(압축강도)에 비해 현저하게 낮습니다. 인장강도의 3분의 1~8분의 1밖에 되지 않습니다.

  콘크리트로 기둥 사이를 가로지리는 막대기(보라고 하는데)를 놓았다고 합시다. 그 위로 사람이 지나다니고 물건을 놓을 테니, 아래로 휠 겁니다.

  아래로 휘면 윗부분은 쪼그라들고 아랫부분은 찢어지겠죠? 즉 윗부분은 압축을 받고 아랫부분은 인장을 받습니다. 어느 쪽을 더 걱정해야 할까요? 콘크리트는 인장에 약하니 아랫쪽을 더 걱정해야 합니다.

  '철근 콘크리트'라는 말을 들어보셨을 겁니다. 철근과 콘크리트는 온도에 따른 팽창/수축율이 거의 똑같습니다. 같이 넣어도 잘 어울리는 '하늘이 내린 재료 콤비'입니다. 자. 철근을 윗부분과 아랫부분 둘 중 어디에 넣어야 할까요? 도움이 더 필요한 아랫부분에 넣어야겠죠? 철근을 넣는('배근한다'고 하는데) 곳은 그래서 아래쪽이 많습니다. 물론 필요하다면 윗부분에도 넣습니다.

  그런데 조금 머리를 굴려 봅시다. 기둥 사이에 놓인 보는 대부분 아래로만 힘을 받습니다. 보의 아랫부분은 인장만 받는다는 말입니다. 그래서 철근을 미리 압축하면 어떨까요? 이러면 압축엔 곤란해지겠지만, 어차피 이 부분은 인장만 받으니까 괜찮습니다. 인장에 대비해 철근을 미리 압축해 놓는 겁니다. 뜨거운 곳에 들어가기 전에 차가운 물을 몸에 끼얹듯이 말이죠.

  이렇게 철근을 미리(pre-) 압축해서 응력(stress)을 준 콘크리트를 프리스트레스트 콘크리트라 부릅니다. '프리스트레스 콘크리트'라고 '트'를 빼고 부르기도 합니다. 약자는 PSC 혹은 PC입니다. 제작방법에 따라 프리텐션과 포스트텐션이 있습니다.

  부력이란 유체에 잠긴 물체가 잠긴 부피만큼 차지한 물의 무게만큼 위로 받는 힘을 말합니다. 아르키메데스가 '유레카!'를 외치게 만든 그 원리가 맞습니다. 부력의 예시로는 물 위를 떠다니거나 물 속에 있는 모든 물체를 들 수 있습니다. 거대하고 무거운 유람선도 부력 덕분에 가라앉지 않을 수 있는 것입니다. 중, 고등 과학시간에 한번쯤 들어보셨을 테지만, 오늘은 유체역학에 걸맞게 부력을 증명하고 식으로 계산해봅시다.

부력 증명

  부력의 크기를 어떻게 구할 수 있을까요? 다행히 우리는 정역학과 자유물체도를 압니다.

  물 속에 떠 있는 물체 A를 가정합니다. 물은 흐르지 않고 물체도 정지한 상태입니다. 따라서 합력은 0입니다. 좌우방향은 어차피 상쇄할 테니까 상관이 없습니다. 문제는 상하(연직)방향입니다. 분명 물체엔 W라는 무게가 있습니다. 그런데 왜 아래로 움직이지 않을까요?

  정수압 때문일 겁니다. 정수압은 깊을수록 높습니다. 물체 윗부분을 아래로 누르는 정수압보다 아랫부분을 누르는 정수압이 더 크며, 이 크기가 무게 W를 완벽히 상쇄해 물체가 가만히 있는 것이겠죠. 연직방향 힘 평형식을 적어 봅시다.

(a는 물체의 위에서 본 면적, 윗방향을 +로 설정함)

정수압은 물의 단위중량 곱하기 깊이입니다.

식을 정리하면 (h2-h1)a는 물체의 부피 V와 같아집니다.

  결국, W는 물의 단위중량 곱하기 물체의 부피입니다. 즉 물체의 부피만큼 존재하는 물의 무게와 같습니다. 부력=W=물체만큼 있는 물의 무게. 물체가 울퉁불퉁해서 (h2-h1)a가 부피와 다르다면 어떡하냐고요? 그래도 적분을 이용하면 V가 나옵니다. 완전히 잠기지 않은 물체도 '잠긴 부피'만큼 물이 차지하는 무게가 부력으로 작용합니다.

  선박을 예로 들어 봅시다. 선박의 '잠긴 부피'를 헷갈리기 쉽습니다. 선박은 안이 비어 있지만, 잠긴 부피는 말 그대로 물에 들어온 부피를 말합니다. 만약 선박 안까지 꽉꽉 차 있었다면 물에 가라앉았겠죠. 속을 비웠기 때문에 부력을 유지한 채로 무게만 줄여서 잘 뜨는 것입니다.

응용. 바닥에 닿은 물체

  '바닥을 쳤다면 이제 오를 일밖에 없다'는 자기개발 문구를 자주 봅니다. 논리적으로 맞는 말이긴 한데 올라가기 전에 익사하지 않을까 생각합니다. 아무튼 물속 바닥에 있는 물체가 받는 힘을 구하라는 문제가 간혹 나옵니다. 놀랄 필요 없습니다. 물체가 연직방향으로 받는 힘은 세 가지뿐입니다. 아래로 받는 물체의 무게(중력), 위로 향하는 부력, 바닥에 위에서 받치는 힘입니다. 무게는 이미 알고 부력은 물체 부피를 알면 구할 수 있습니다. 따라서 힘 평형식을 세우면 바닥에서 받는 힘을 구할 수 있습니다.

응용. 뜰까 말까?

  물체를 바다에 던지면 뜰까 안 뜰까?도 부력을 통해 구할 수 있습니다. 물체의 부피를 잰 다음, 물의 단위중량을 곱하면 부력이 나옵니다. 이 부력이 물체의 무게보다 크다면 물체는 둥둥 뜨겠죠. 부력이 무게보다 작다면 가라앉게 될 겁니다. 사실 이 문제는 부력보다는 밀도/단위중량 문제입니다. 늘 밀도/단위중량이 높은 물체가 아래로 가게 되지요.

  지난 시간에 흐르지 않는 물의 압력(정수압)은 한 위치에선 어느 방향에서나 같다고 말했습니다. 물 속 한 지점을 잡으면, 그 지점을 누르는 물의 압력은 방향에 관련 없이 같습니다. 그 수압 크기는 깊이 곱하기 단위중량이며, 기준은 대부분 수면이라 대기압은 무시됩니다.

  하지만 아무리 생각해도 이상합니다. 물이 위에서 누르니까 아래루 누르는 수압은 이해가 됩니다. 하지만 옆에서, 또 아래에서 위로 누르는 수압도 같다니요? 파스칼의 원리로 이것을 증명할 수 있습니다. 지난 시간엔 생략했지만 이번엔 제대로 한번 파고들어 보겠습니다.

파스칼의 원리 증명

여기 정지한 물이 있습니다. 모기 유충도 녹조도 없는 깨끗한 물이군요.

물 가운데에 있는 부분을 임의로 잘라 보겠습니다. 직각삼각형 모양으로 자를 겁니다. 직각삼각형으로 자르는 이유는 나중에 알게 됩니다.

  이 직각삼각형 모양 물은 세 방향에서 힘을 받습니다. 왼쪽에서 받는 수압, 빗변이 받는 수압, 아래에서 위로 받는 수압이 있습니다. 여기에 중력이 물을 아래로 당겨 물 자체의 무게(자중)이 아래 방향으로 생깁니다.

  편의를 위해 축을 긋고 길이를 표시하겠습니다. 저희는 아주 작은 부분을 잘라냈기 때문에 깊이에 따른 수압 변화는 적어도 이 삼각형엔 없는 것으로 간주합니다. 무게는 W로 하고 세 가지 압력은 P로 씁니다.

네 가지 힘을 하나씩 계산해 봅시다.

1) 왼쪽에서 누르는 힘은 압력으로 생깁니다. 압력에 면적을 곱하면 힘이 나올 겁니다. 폭을 dx라 합시다. 그럼 왼쪽에서 누르는 힘은 Px X dz X dy입니다.

2) 아래에서 누르는 힘도 방법은 같습니다. 수압에 면적을 곱합니다. Pz X dy X dx.

3) 빗변을 누르는 힘은 방향이 수직/수평이 아닙니다. 일단 크기부터 구합시다. Ps X dx X ds입니다. ds는 빗변 부분 길이입니다.

4) 물의 무게 W는 단위중량 곱하기 부피입니다. 부피는 직각삼각형 넓이에 dx를 곱한 값입니다.

  정역학을 배웠다는 가정 하에, 우린 힘의 평형식을 세울 수 있습니다. 이 물은 정지한 상태니까 힘의 합력은 0입니다. 평형식을 가로와 세로로 나누어 계산해 봅시다. 먼저 가로(y축)입니다. x축 방향의 힘은 왼쪽에서 누르는 힘과 빗변에서 누르는 힘의 가로 방향성분입니다. 사인(sinθ)을 곱하면 가로 방향이 성분이 나올 겁니다.

(오른쪽 방향을 +로 설정한 것임)

  두 항에 dx가 공통이니까 나누어 없앨 수 있습니다. sinθ는 dz/ds와 같습니다. 이걸 식에 대입하면 ds sinθ를 dz로 고칠 수 있습니다. 따라서 dz도 나누어 없애기 가능해집니다. 그럼 남은 건 두 P뿐이군요.

  Py=Ps가 됩니다. 따라서 옆에서 누르는 수압은 빗변을 누르는 수압과 같습니다. 세로(z축)도 보겠습니다. 세로 방향에 있는 힘은 세 가지입니다. 아래에서 수압으로 누르는 힘, 물의 무게, 빗변에서 누르는 힘의 세로 성분입니다. 세로 성분은 cosθ를 곱하면 나옵니다.

(위 방향을 +로 설정한 것임)

  세 항에 dx가 공통이니까 나누어 없앱니다. cosθ는 dy/ds이고, ds cosθ은 dy입니다. dy로 바꾸어 보니 세 항에 dy가 같이 있게 되네요. 이것도 없앱니다.

  조금 어색한 형태가 되었습니다. 그런데 우리는 한 '점'에 가하는 정수압을 알고 싶습니다. '점'엔 길이가 없으므로 dz를 없앨 수 있습니다. 따라서 Pz=Ps가 성립합니다.

  결과적으로 Py=Pz=Ps가 됩니다. 옆에서 누르는 수압은 위에서 누르는 수압과 같습니다. 우린 θ가 몇 도인지 딱히 정하지 않았습니다. 즉 θ를 몇 도로 하든 상관없이 이 식이 성립합니다. 어떤 각도를 정해 그 각도로 누르는 정수압을 계산해도 모두 같다는 말입니다. 따라서 파스칼의 원리에 따라 정수압은 방향에 무관하다는 것이 증명되었습니다.

  잠수함을 튼튼하게 짓지 않으면 심해에서 수압에 찌그러지게 됩니다. 수압은 물이 만드는 압력입니다. 물도 엄연히 무게가 있는 물질이고 깊이 들어갈수록 물의 무게는 우리를 짓누르게 됩니다. 그렇다면 공학자로서 그 물의 무게를 묻지 않을 수가 없습니다.

  우선 정수압(Hydrostatic Pressure)이라는 개념부터 알고 넘어갑시다. 정수압은 흐르지 않는 물의 압력입니다. 흐르는 물의 압력 즉 동수압은 나중에 알아보고 우선 가만히 있는 수압부터 생각합시다. 상식적으로 깊이 들어갈수록 수압은 세집니다. 아래로 갈수록 위에 있는 물 깊이가 깊어지고 위에서 누르는 물의 양도 많아집니다. 정수압은 그래서 깊이 곱하기 물의 단위중량입니다.

  수압의 단위는 보다시피 [힘/면적]으로 다른 압력의 단위와 같습니다. "이건 위에서 누르는 힘인데, 옆에서 누르는 수압 크기는 어떻게 되나요?"라는 질문이 나올 차례군요. 결론부터 말씀드리면 정수압의 크기는 방향에 무관합니다. 파스칼의 원리라고 하는데요. 깊이만 같다면 어느 방향이든 수압의 크기는 같습니다. 옆에서 누르는 수압도 아래에서 위로 누르는 수압도 똑같습니다. 수학으로 증명할 수도 있습니다만 어려워서 이 자리에서는 설명하지 않겠습니다. 유체역학이나 수리학 책을 보시면 대부분 증명이 있을 겁니다. 아무튼 정수압을 결정짓는 유일한 요소는 '깊이'라고 생각하면 편합니다.

기압

  물도 무게가 있다고 했는데, 공기에도 무게가 있습니다. 물에 들어가지 않아도 우리는 늘 공기의 압력인 기압을 받으면서 살고 있죠. 기압은 물을 누르고 물은 공기와 함께 우리를 누릅니다. 그러니까 우리가 물 속에 있으면 공기+물이 우리를 같이 누릅니다. 하지만 유체역학에서 수압을 구할 때는 기압을 생략하는 편입니다. 지표면에서 일반적인 1기압은 물 10.33m가 누르는 압력과 같습니다. 아주 세지만 대부분의 시험문제에서는 수압만 구하라고 합니다. 정확히 말하면 기압을 무시한다기보다는 1기압은 늘 있는 기준이라고 생각하는 것에 가깝습니다. 당연히 각 잡고 계산에 포함하라면 할 수 있어야 합니다.

*1기압 = 760mmHg = 10.33mH2O = 1.033kg/cm^2

물 속에서 받는 힘

  가로로 널찍한 판을 물 속에 넣었습니다. 이 판이 받는 힘은 얼마나 될까요? 우린 이미 깊이에 따른 정수압 크기를 구했습니다. 판 모든 곳이 수심이 같으니까 정수압도 모든 부분이 같을 겁니다. 힘은 압력 곱하기 면적입니다. 정수압에 이 판의 넓이를 곱하면 됩니다.

  이번엔 세로로 넣어 봅시다. 수문이나 댐 등 많은 구조물이 물 속에 연직(세로)방향으로 설치됩니다. 그러니까 제대로 구해 봅시다. 정수압은 방향에 무관하다는 법칙에 따라 판을 옆으로 누르는 수압의 크기도 깊이 곱하기 단위중량입니다. 다만 아래로 갈수록 깊이가 커지니까 정수압도 커지겠죠. 그림으로 그린다면 사다리꼴 모양이 될 겁니다. 삼각형과 직사각형으로 분리하거나 적분을 써서 힘을 구할 수 있습니다.

  수리학은 물(水)을 다루는 학문입니다. 유체역학이라고도 합니다. 유체는 말 그대로 흐르는 물체로 액체와 기체를 포함합니다. 여기서는 액체, 그중에서도 물만 다룰 예정입니다.

점성

  유체는 고체와 무엇이 다를까요? 유체는 흐릅니다. 커다란 바위가 있다고 상상해 봅시다. 여러분은 바위 윗부분을 발로 밉니다. 꽁초를 비벼 끄듯이 말이죠. 그렇다고 바위 윗부분이 흘러내리진 않을 겁니다. 하지만 호수 수면을 발로 밀면 그곳 물은 밀립니다. 바위 윗부분은 다른 부분과 아주 단단히 연결되어 있어서 여러분의 발질에 저항하지만, 물은 다른 부분과 느슨하게 연결되어 있어서 호수 나머지 부분은 여러분의 발질이 물 일부를 움직이는 것을 막지 못합니다. 이렇게 옆으로 뒤틀리는 방향으로 가하는 힘을 ‘전단력’이라고 하는데, 유체는 이 전단력에 저항하지 못합니다.

  이번엔 여러분이 석유로 가득한 호수를 발견했다고 상상합니다. 이번에도 발로 밀어 봅니다. 신발이 더러워지는 건 상상이니까 괜찮습니다. 물보다는 밀기가 좀 힘들겠죠 . 물론 석유도 조금씩 밀리겠지만 물보다는 덜 밀릴 겁니다. 왜일까요? 석유가 물보다 더 끈적거리기 때문이겠죠. 이 끈적거림을 ‘점성(viscosity)’이라 합니다. 점성은 전단력이 주는 변형에 저항하는 성질입니다.

  물과 석유는 점성이 다릅니다. 다르다면 비교할 수 있고 비교할 수 있다면 수치로 나타내야 합니다. 점성을 어떻게 숫자로 표시할 수 있을까요? 뉴턴이 이 물음에 해답을 줬습니다. 여러분이 아는 그 뉴턴 맞습니다. 뉴턴은 중력만 발견한 사람이 아닙니다. 아무튼 이렇게 생각해 봅시다. 액체를 평평한 곳 위에 어느 정도 채웁니다. 그런 다음 판으로 맨 윗부분을 계속 밀기 시작합니다. 마치 러닝머신처럼요.

  윗부분은 힘을 받아 흐릅니다. 그 아래도 영향을 받아 흐르겠죠. 다만 아래로 내려갈수록 속도는 줄어들 겁니다. 아주 깊은 곳이라면 속도는 0, 즉 영향을 받지 않겠죠. 문제는 깊어질수록 속도가 줄어드는 양입니다. 석유과 물, 둘 중 어느 액체가 깊어질수록 급격하게 속도가 줄어들까요? 석유는 끈적거립니다. 윗부분이 움직이면 아랫부분도 손을 맞잡고 같이 움직이겠죠. 물은 물렁물렁하니까 윗부분이 움직여도 아랫부분은 ‘지나가라지’ 같은 태도로 대할 겁니다. 따라서 깊어질수록 속도변화가 적은 것이 더 높은 점성을 뜻합니다.

  이번엔 석유과 물이 속도변화가 같다고 상상합니다. 어떻게 이런 일이 가능할까요? 윗부분을 움직이게 하는 판에 힘을 조절하면 될 겁니다. 어느 쪽에 더 힘을 주고 있을까요? 석유는 잘 안 움직이니까, 물처럼 속도변화를 내려면 훨씬 더 힘을 줘야 할 겁니다. 그러니까 속도변화가 같을 때 점성은 전단응력에 비례합니다. 결국, 점성은 전단응력 나누기 깊이에 따른 속도변화를 보면 되지 않을까? 이게 뉴턴의 생각이었습니다. 이 값을 점성계수라 부릅니다.

  [응력 / (속도/길이) ] 단위를 정리하면 [ 질량 / 길이 X 시간 ]이 됩니다. 이게 점성(점성계수)의 단위입니다. 점성 단위로 그나마 유명한 것이 푸아즈(Poise)입니다. 푸아죄유라는 물리학자에서 유래했습니다. 1P = 0.1kg/m·s입니다. 푸아죄유는 온도에 따른 물의 점성계수 실험식도 세웠습니다.

  동점성계수(kinematic viscosity)는 점성계수를 밀도로 나눈 값입니다. 단위는 [길이^2 / 시간]입니다. 동점성계수 단위로는 스톡스(Stokes)가 있으며 1S = 1 cm^2/sec입니다.

압축성

  빈 주사기의 끝을 막고 세게 누르면 조금은 들어갑니다. 이런 실험 중학교에서 해보셨는지 모르겠습니다. 주사기 안에는 공기가 들어 있는데 세게 눌러서 들어간다는 건 공기는 압축이 된다는 사실을 의미합니다. 고체는 압축이 안 됩니다. 나무나 강철을 아무리 세게 눌러도 부피가 줄어들지 않습니다(물론 아주 미세하게 줄어들지만 무시합니다). 물은 어떨까요? 물도 세게 누르면 아주 조금 압축이 됩니다. 하지만 유체역학에서 물은 압축이 불가능한 물질로 간주합니다. 지하에서 어마어마하게 큰 압력을 받는 상황을 예외로 두긴 하지만, 앞으로 물은 압축이 되지 않는 것으로 생각하면 되겠습니다.

단위중량

  밀도와 단위중량을 헷갈릴 때가 종종 있습니다. 밀도는 질량을 부피로 나눈 값입니다. 단위중량은 무게를 부피로 나눈 값입니다. ‘질량과 무게가 같은 거 아냐?’라는 분은 대학 1학년 기본물리학으로 돌아가 주시기 바랍니다. 물의 단위중량은 약 9.8kN/m^3입니다. 물은 온도에 따라 부피가 달라지니까 온도가 다르면 단위중량도 조금은 변합니다.

표면장력

  표면장력은 앞으로 배울 유체역학과 큰 상관이 없습니다. 하지만 시험에 자주 나와서 짚고 넘어가겠습니다. 위키피디아에 따르면 표면장력은 ‘액체의 표면이 스스로 수축해서 되도록 작은 면적을 취하려는 힘의 성질’입니다. 표면장력은 모세관 현상을 일으키기도 합니다. 가는 관을 물에 꽂으면 물이 관을 타고 올라갑니다. 물 분자끼리 당기는 힘 때문입니다. 모세관을 타고 오르는 높이를 구하는 공식은 다음과 같습니다.

기둥의 좌굴

음... 뭐라고?

완전 바보 아냐?

알았어. 끊어.

오늘은 분위기가 이상하네

싸우기라도 했어?

군대 간 오빠예요.

며칠 후에 휴가를 나오는데

발목을 다쳤대요.

그래? 모처럼 휴가인데

다친 상태면 많이 아쉽겠네.

그건 그렇고

남매는 서로 증오한다는 속설이 사실이네

오빠가 바보짓을 한 걸 어째요

다 마신 음료수 캔을 밟다가

발이 삔 거래요

무슨 양파맛 음료수라고 했는데...

양파맛?

그걸 음료수라고 부를 수 있나?

아무튼 빨리 나았으면 좋겠다

마침 깡통 하니까

재료역학이 또 하나 떠올랐어.

건물을 깡통으로 짓지는 않는데요.

하지만 밟혀 찌그러진 깡통을 보면

재료역학에 대한 영감을 얻을 수 있지

지금까지 배운 재료역학에선

재료에 인장이나 압축을 가하면

항복응력을 거쳐 인장응력까지 다다른 다음

네킹되고 파단했어

그 재료시험은 전부

재료가 똑바로 압축되고 인장되는 시험이었지

그런데 우리가 밟은 깡통을 잘 보면

그 표면은 똑바로 압축되지 않고

꼬불꼬불한 모양이야

재료시험과는 전혀 다르지

캔은 얇잖아요

밟으면 종이가 접히듯이 차곡차곡 찌그러지죠

우리가 생각할 게 그거야

재료, 특히 길고 가는 재료를 압축하면

똑바로 압축되는 경우보다

옆으로 홱 꺾여 부러지는 경우가 많지

건물도 길고 가는 부분, 특히 기둥에서

이런 일이 많이 생길 거라고 생각할 수 있어

이런 현상을 좌굴(Buckling)이라고 부르지.

기둥은 일반적으로

압축응력이 커져서 파괴되는 것보다

좌굴로 파괴되는 것을 더 조심해야 해

왜죠?

왜긴. 순수 압축으로 파괴하는 응력보다

좌굴로 파괴하는 응력이 작기 때문이야.

그럼 우리가 할 일은

좌굴을 일으키는 하중/응력을 찾아내는 거겠죠?

좌굴모델

제일 간단한 기둥을 생각해 보자

아래는 핀, 위는 롤러로 지지한 기둥이야

땅에 장승처럼 박힌 기둥을 생각했는데요

그건 나중에 다뤄볼 거야

우선 이것부터.

이 기둥이 하중 P를 받아 좌굴한다면

이런 모습이겠지

이때 하중을 제거하면 어떻게 될까?

원래대로 돌아가지 않을까요?

하중이 너무 컸다면 아예 휘어버려 돌아가지 않을 거고요.

마치 용수철 같은 거동이지?

그래서 우리는 아주 간단한 좌굴모델을

이렇게 설정할 거야

기둥 두 부분이 중앙에서만 꺾이고

중앙에 있는 '회전 용수철'이 그걸 버티고 있는 모습이지.

회전 용수철이요?

용수철은 누르고 당기는 것만 있지 않아.

돌리는 걸 방해하는 용수철도 있지

네가 쓰는 도구나 기계에도 은근히 많을걸?

아무튼 회전 용수철도 우리가 아는 용수철처럼

적당히 돌아가면 놓여 원모습으로 돌아가겠지만

너무 돌리면 아예 변형할 거야

실제 기둥으로 치면

휘지 않고 평평한 기둥과

결국 휘어버린 기둥이겠지

우리가 원하는 건 휘게 만드는,

즉 좌굴하게 만드는 하중이야

안 휨과 휨의 경계에 있으니

임계하중(Critical Load)라고 하자.

생긴 모양은 그냥 자유물체도 같은데

여기서 그걸 알아낼 수 있나요?

그럼!

자유물체도니까 힘평형, 모멘트 평형식을 세울 수 있어.

이 모델의 윗부분만 떼어서 보자.

위에서 P가 내려오니까 자연히 아래에선

반대방향 P가 있겠지

수평합력은 아예 없고,

용수철이 모멘트를 가하고 있을 거야.

모멘트 크기를 모르잖아요.

아차. 이걸 말 안 했네.

용수철 훅의 법칙 F=kx 알지?

회전용수철도 비슷한 법칙이 있어

M=2βθ.

θ는 회전각이고

β는 회전강성도야.

왜 2가 들어가는지는 지금 묻지 말자.

힘 합력은 계산했으니까

남은 건 모멘트 평형식인데...

기준점은 윗점 아니면 아랫점

그런데 말이죠.

P가 가로로 얼마나 떨어졌는지를 모르는데요.

그건 융통성 있게 넘어가자

이 휜 재료와 수직선이 각각

부채꼴의 반지름이라고 가정하는 거야.

어차피 재료는 철, 알루미늄이야

아주 조금 휘었겠지

그래요?

그럼 반지름 곱하기 중심각이니까

θL/2네요.

그럼 모멘트 평형식을 써 볼게요

아랫점을 기준으로 하고 시계 반대방향을 +로 할 때

식이 이렇게 나오네요.

좋아.

아까 말한 회전용수철 법칙 속 M에

우리가 구한 M을 넣어보는 거야.

식이 나왔네요. θ를 양변에 나눌 수 있으려나.

나눌 수 있어.

0이면 좌굴하지 않았다는 말이잖아?

그런 경우는 제외해야지.

그럼 이렇게 되고.

P는 4β/L이네요.

실제 재료엔 용수철이 없으니

모델엔 맞는 식일지 몰라도

기둥 하나를 가져다놓고 임계하중을 구하라면

구하진 못하겠네요.

그래.

하지만 다음에 조금 진지한 좌굴에서는

오히려 쉽게 해달라고 빌지도 모른다구?

좌굴 2편에서 계속...