오늘 배울 것

- 변형 에너지는 무엇일까?

- 축하중을 받을 때 변형 에너지는 얼마일까?

- 비틀림 상태의 변형 에너지는 얼마일까?

- 굽힘 상태의 변형 에너지는 얼마일까?

요즘 대학생들은 뽀빠이를 알까?

와, 선배. 이러기예요?

누가 들으면 나이 열 살은

차이 나는 줄 알겠네.

내가 좀 늦게 태어나서

사촌이나 큰집 나이가 많아.

그 사람들이 겪은 8, 90년대를

나도 간접 경험했지.

뽀빠이라면 저도 알아요

옛날 만화 주인공이죠?

시금치를 먹으면 강해진다는...

맞아

근데 뽀빠이는

8, 90년대가 아니라 6, 70년대인데...

우리 아빠도 늦게 태어났거든

시금치를 먹으면 근육이 생겨난다!

실제로 그러면 나라에서 시금치 공급량을 조절하겠지.

시금치에 단백질이 얼마나 있다고...

중요한 건, 무언가 집어넣으면 무언가 쌓인다는 거야.

우리가 살펴볼 변형 에너지(Strain Energy)가 바로 그런 경우지

0. 용수철의 변형에너지

이과라면 배웠겠지만

일(힘X거리)은 곧 에너지야

내가 공을 밀어 일을 하면

공에는 운동에너지가 발생하지.

정말 오랜만에 들어보네요

용수철도 그래

내가 용수철을 힘으로 밀면

용수철에 일을 했지

그럼 그 일은 어디로 갔을까?

에너지가 되어서

용수철에 있죠

탄성에너지라고 부르던가요?

그럼 그 탄성에너지는 어떻게 구하지?

에너지=일이니까 힘X거리인데,

민 거리에 따라 필요한 힘이 다르니까(F=-kx)

힘-거리 그래프를 그리면 직선이 나오고

그걸 삼각형으로 구하면...

1/2*kx^2이네요

1. 축하중의 변형에너지

재료는 탄성이란 점에선 용수철과 비슷하지.

하중은 일을 하고 그 일은 재료 속에서

변형 에너지가 된다고

재료에 축하중을 줄 때 재료에 들어간 에너지도

같은 원리로 구할 수 있지 않을까?

마지막에 힘-거리 그래프를 구했지?

힘은 하중이고

거리는 재료의 길이변화, 즉 변형량이야

하중-변형량 그래프를 그려봐

용수철이랑 같죠

이렇게 일직선이요

그럼 이번에도

재료에 들어간 에너지는 삼각형이네

Pδ/2.

우린 축하중 변형량이

δ=PL/EA임을 알아

('플리즈'로 외우면 좋지)

이렇게 식을 다시 쓸 수 있어.

2. 비틀림의 변형 에너지

하중(힘)이 변형량(길이)를 만든다면,

토크(비틀림힘)는 무얼 만들까?

돌리니까... 각도?

토크의 짝은 '회전각'이야

이 사실은 비틀림 변형 에너지를 구하는 단서지

아까 하중-변형량 그래프를 그리듯

토크-회전각 그래프를 그릴 수 있어

우린 예전에 토크에 따른 회전각 공식을 구했지

(Φ=TL/GIp, Ip=극관성모멘트)

토크와 회전각은 비례하네요

이번에도 그래프는 일직선이고

이번에도 삼각형 모양이겠네요

'이번에도' 그 삼각형 식에

회전각 식을 넣으면 더 자세한 식이 될 거야

이렇게 끝인가요?

뭔가 불안한데...

우리는 복잡한 비틀림은 생략했어

부정정 비틀림, 얇은 관 비틀림 등

그걸 했다면 비틀림 상수(Torsion Constant)도 다뤘겠지만

어쩔 수가 없지

그건 새빛이 네가 개강하면 직접 배워

3. 굽힘의 변형 에너지

제발 제발!

굽힘도 하중-변형량, 토크-회전각처럼

모멘트-무언가 구하기 쉬운 값이었으면!

행운의 여신이 이번엔 네 손을 들어줬네

(행운의 남자신은 없을까? 웬만하면 잘생긴 신으로)

휨을 만드는 것은 단연코 모멘트야

문제는 모멘트와 짝이 될 '그거'지

'그거'가 뭐죠?

질질 끌지 말고 알려주세요

변형량과 회전각은

하중과 토크가 클수록 값이 커졌어

그렇다면

'그거'는 휨이 클수록 커지는 값이 아닐까?

휨이 커지면...

재료가 더 둥글어지고...

'둥금'?

우린 지난 시간에

'둥금'을 뜻하는 단어

'곡률'을 배웠어

그리스어 카파(κ)로 표현했고

'그거'는 카파인가요?

아니, 곡률은 모멘트에 비례하지만

더 중요한 건

보가 둥글어지면서 생겨나는

부채꼴의 중심각 θ야.

중심각θ=호/반지름

= L/ρ = ML/EI가 돼

( ρ = EI/M이거든.

이 부분은 보의 처짐 시간에 할 거니까

그냥 그렇다고만 알고 있어)

이제 M과 θ 관계를 아니까

그래프로 그려 볼래?

잠깐,

또 일직선이고

또 삼각형이네요.

그래. 참 쉽지

안 그래?

물론 여러 하중/토크/휨응력이 걸리거나

부정정이거나 재료 단면이 비었거나....

인 경우는 더 배워야 하겠지만 말이야.

오늘의 복습

축하중을 받는 재료의 변형에너지는?

비틀림을 받는 재료의 변형에너지는?

지난 시간(링크)에 이어

비틀림을 살펴볼 거야

만약 재료 단면이 원형이 아니라면

비틀림을 어떻게 구할까?

단면이 원일 때

전단변형률은 반지름X비틀림변화율이었어요.

단면이 원이 아니라면

반지름이 제각각이라서 구하기 힘들겠죠?

지금부터는 수학적으로 한번 놀아볼 거야

안전벨트 꽉 매라고.

토크가 걸리는 어떤 재료의 단면이 있어.

단면은 토크 때문에 비틀리지.

단면에 걸리는 모멘트를 다 합치면(적분하면)

그건 토크와 같을 거야.

선배의 지금 말은

단면 모양에 상관이 없군요.

일반적 접근. 골때리지만 좋은데요.

칭찬으로 들을게.

아무튼 단면에 걸리는 모멘트는 불균일하니까

dA로 조각 내서 구해야 해.

모멘트는 힘X거리야.

힘은 dA에 걸리는 전단력이겠지?

전단력은 전단응력X넓이니까

타우XdA일 거야.

거리는 말 그대로 중심에서 dA까지의 거리겠지.

로(ρ)로 쓰자.

중심이 어딘지도 모르면서

거리를 알 수 있나요?

지금은 모르지만

어딘가에는 있을 것 아냐.

단면마다 위치는 다르겠지.

일반적 접근.

방금 네가 좋아한 거 아냐?

아. 그 말 취소할래요.

그렇다면 이 dA가 받는 모멘트 dM은

τρdA라고 할 수 있지.

문제는 τ야.

우린 이걸 적분할 건데

웬만하면 위치에 불변하는 문자만 남기고 싶거든.

τ는 중심에서의 거리에 비례하잖아요.

중심이 어딘진 모르지만.

그래. 그걸 응용하자.

τ는 0~최대전단응력 사이 값이고

최대전단응력에 r/R을 곱한 거였지.

여기선 r=ρ니까 바꾸어 쓸 수 있어.

그럼 위치에 따라 달라지는 변수는

ρ밖에 안 남았네요.

어때?

이러면 적분하기 쉽겠지?

이걸 단면 전체로 적분한 값이 토크와 같아!

거리 제곱을 전 면적에 적분한 값이라.

이런 값들은 재료역학 책 뒷면에 다 구해 놓던데...

맞아.

이 특별한 값은

극관성 모멘트(Polar moment of Inertia)라고 해.

단위는 거리 네제곱이고.

속이 꽉 찬 원의 극관성 모멘트는 외워두라고.

(극관성 모멘트 식을 보면 추측이 가능하지만

사실 극관성 모멘트는 기준 위치에 따라 값이 달라져.

비틀림에서는 물론 단면의 중심에서 잰

극관성 모멘트를 쓴다는 점 명심해.)

좋아요. 그럼 최대 전단응력을 구했네요.

하지만 우리가 원하는 부분의 전단응력은요?

그것도 쉽지.

우린 이미 전단응력과 최대 전단응력 사이 관계를

r/R로 나타내지 않았어?

그럼 결국 단면에 상관없이

전단응력은 r/R 관계가 들어가는 거군요.

다만 그 중심점을 찾는 게 과제일 뿐.

생각해 보면 간단한 관계야.

전단응력은

1) 토크에 비례하고

2) 중심부터의 거리에 비례하고

3) 극관성모멘트에 반비례하지

극관성모멘트는 넓을수록 큰 편이니까

넓은 단면일수록 전단응력이 낮음,

그러니까 비틀림에 더 잘 버티겠네요

비틀림각

더 재미있는 일이 남았지.

지난번에 GX세타가 들어가는

전단응력 공식 기억나?

전단응력은

Gρθ였죠?

그래. 여기에 우리가 지금 구한

전단응력 식을 넣고

θ를 구해볼래?

그럼 이렇게 되는데요?

토크 나누기 G 나누기 극관성 모멘트요.

θ(비틀림변화율=길이당 회전각)은

토크에 당연히 비례하고

G에 당연히 반비례하겠지만

극관성 모멘트에도 반비례함을 알 수 있어.

우리 위대한 공학자들은

바로 G와 극관성 모멘트를 붙여서

비틀림강도(Torsinal Rigidity)라 이름 붙였지.

비틀림강도가 높을수록

비틀림변화율이 낮아져요.

즉 같은 토크를 주어도 길이당 비틀리는 각도가

낮다는 거죠.

여기에 길이를 곱하면

총 돌아간 각도,

즉 비틀림각이 되지.

(물론 길이마다 비틀림이 일정해야겠지?)

음...

슬슬 뇌세포가 배배 꼬이는데요?

여기 식에 있는 네 문자

(토크, 길이, G, 극관성모멘트)

사이에서 외부에서 오는 건 토크 하나.

나머지는 전부 재료에서 결정돼지.

맞춰 보죠.

또 세 수를 묶어서

무슨무슨 수라고 부를 거죠?

슬프지만 맞아.

이 세 수를 묶어서

비틀림 강성도(Torsional Stiffness)라고 하지.

뒤집으면 비틀림 유연도(Torsional Flexibility)고.

왜 굳이 있는 값의 역수를 만들면서까지

새로운 숫자를 만드는 걸까요?

나도 알고 싶어.

아무튼 복잡하니까

마음을 가라앉히고 공부하는 게 좋아.

그리고 선배,

아직 단면변화가 없는 재료의 비틀림은 어떡하죠?

마침 다음 시간에 설명해 주려던 참이었어...

새빛아,

이번 주에 새로 생긴 빵집 가봤어?

와플과 꽈배기를 주로 팔던데

네,

고소한 와플 위에 사과잼을 깐 다음

바닐라 아이스크림을 얹고

초콜릿 시럽을 샤샤샥 뿌리면

천국의 맛이 따로 없던데요

그래. 와플 맛있지.

하지만 오늘은 꽈배기 이야기를 하고 싶은걸?

솔직히 말해봐요.

꽈배기로 토목 이야기를 하려는 거죠?

그래.

이제 속일 수도 없겠네.

꽈배기니까 당연히

재료를 뒤틀 거고요.

맞아.

오늘은 비틀림(Torsion)을 이야기할 거야.

비틀림은 말 그대로

꽈배기처럼 재료를 비트는 걸 말해.

우린 지금까지 재료를

늘리거나 누르거나

찌그러뜨리는 작용을 다뤘으니

비트는 건 또 다른 작용이지.

그럼 x축응력, y축응력, 전단응력 말고도

네 번째 응력이 생기는 건가요?

아니야. 걱정하지 마.

새로운 응력은 아니니까.

우선 이 원형 봉을 비튼다고 생각하자.

비트는 힘은 돌리는 힘이지?

그럼 힘과 모멘트 중에 뭘까?

돌리는 힘이라면 모멘트겠죠.

모멘트, 특히 지금처럼 비트는 모멘트는

비틀림 모멘트(Twisting Moment)나

토크(Torque)라고 부르지.

표시할 때는 돌아가는 화살표를 쓸 수도 있지만

오른손 법칙에 따른 직선 겹화살표를 쓰기도 해.

아무튼 이 원형봉은 비틀림모멘트를 받아

꽈배기처럼 돌아가겠지.

선배, 봉이 공중에 떠 있다면

비틀어도 비틀리지 않고 그냥 돌아갈 텐데요?

맞아. 사실 비틀림 모멘트는 쌍으로 작용하지

안 그럼 비틀 수가 없으니까 말이야.

이렇게 쌍으로 작용하는 힘을 우력(짝힘, couples)라고 해

예를 들어 봉 반대쪽이 벽에 박혀서 돌지 못한다면

이쪽에서 비트는 모멘트와 크기는 같고 방향이 반대인

다른 모멘트가 벽쪽에서 생길 거야.

이렇게 했으니 이제 비틀리겠지?

이제 중간중간 자른 단면을 보자.

상식적으로 벽에서 멀어질수록 원래 상태에서 더 비틀릴 거고

단면은 더 크게 회전할 거야.

거기까진 이해하겠어요.

순수한 원형 봉이고, 지금 비틀림모멘트 말고

다른 작용이 없다면

단면이 회전한 각도는 일정하게(일차함수처럼) 늘어날 거야.

그것도 쉽네요.

각도가 일정하게 늘어난다면

봉 절반 위치에서 돌아간 각도는

(총 돌아간 각도)/2일 거야.

더 생각해보면

길이당 돌아간 각도가 죽 일정할 거야.

바로 이 길이당 비틀림각이

비틈림을 표현하는 방법이고,

이걸 비틀림변화율(Rate of Twist)라고 부르자

문자로는 세타(θ)로 쓰는 편이지.

각도도 세타인데,

길이당 각도도 세타라면 좀 그렇네요.

자, 더 중요한 문제는

비틀림을 받을 때 어떤 응력을 얼마나 받느냐야.

음... 뒤틀리니까 전단응력은 받겠는데

축응력은 잘 모르겠네요.

잘 대답했어.

비틀림은 오직 전단응력만 만들어

순수전단(Pure Shear)인 거지.

그러니까 전단응력만 구해보자.

어디부터 구할까?

어디라뇨?

당연히 이 봉의 전단응력이죠.

봉의 표면과 내부는 단면이 돌아간 각도는 같아도

엄연히 뒤틀린 양이 다르기 때문에

전단응력이 다르지 않을까?

듣고 보니까 그렇네요.

일단 표면부터 알아보자.

봉에서 아주 작은 길이 dx를 잘라내서

살펴보는 거야.

길이당 비틀린 각도는 세타였지?

만약 오른쪽 단면은 왼쪽 단면에 비해

(세타Xdx)만큼 돌아갔을 거야.

전단변형률을 다시 떠올려 보자.

전단변형률은 비틀려서 생긴 각도변화였잖아?

그러니까 이 요소의 전단변형률은

여기 이 각도와 같겠지.

삼각함수가 나올 시간인가요?

머리가 띵~

간단히 생각하자.

일종의 부채꼴로 보는 거야.

부채꼴의 중심각은 호/반지름이었지

호는 단면 속 다른 부채꼴의 일부고

이건 단면 돌아간 각도 X 단면반지름이야.

반지름은 요소의 길이 dx니까

계산하면 변형률은 단면 반지름 X 비틀림변화율이야.

비틀림변화율은 총 돌아간 각도/봉길이로

쓸 수도 있고.

전단변형률로 전단응력을 구하려면

전단탄성계수를 곱하면 되겠네요.

따라서 전단응력은 이렇게 나오죠.

잘 했어.

이제 봉 내부만 살펴보자.

이번에도 dx만 자르는데

전체 단면이 아니라 내부를 보는 거야.

잘라낸 반지름은 소문자 r로 하자.

돌아간 각도와 길이(dx)는 완전 똑같고

다른 것은 단면 반지름 뿐이야.

따라서 단면 반지름만 바꾸면

똑같은 식이 성립되겠지.

결국 전단변형률은

알고 싶은 위치의 단면 중심부터 잰 거리를

대신 넣으면 되네요.

전단응력은 여기에 G만 곱하면 되고요.

맞아. 아니면 이런 식으로

표면의 전단변형률로 나타낼 수도 있고.

정말 재밌는 건 이걸

평면응력에 넣어보는 거지.

봉은 전단응력만 받는 상태니까

세 응력 중에 하나만 존재하고 나머지는 0이야.

그럼 평면응력 식이 전단응력만 존재하겠네요.

공식에 넣으면 주응력은 곧

각도가 0일 때의 전단응력과 같고,

그 주응력이 나오는 각도는 45임을 알 수 있어.

즉 비틀림을 줄 때

45도 각도로 부서지기 제일 쉽다는 말이지.

평면응력/주응력 보러가기

만약 재료가 원형봉이 아니면 어떡하죠?

당연히 그런 질문이 나와야지.

그건 다음 시간에 살펴보자...