보의 처짐(Deflection)

으앗!

텐트가 한가득이잖아!

내가 모르는 사이에 전쟁이 나서

피난민들이 몰려온 건가...

음냐.. 음냐...

선배?

왜 거기서 주무세요?

무슨 일이 벌어지고 있는 거죠?

응?

아, 왔구나. 나 샤워 좀 하게

여기 좀 맡아주라.

맡다뇨.

부동산 알박기도 아니고 왜 이곳을 맡아야 하죠?

너 작년 학교축제 안 왔니?

네. 작년 축제날에 학교 밖에서 미팅했거든요.

설마 학교축제를 기다리는 텐트인가요?

그래. 과별로 텐트를 차리고 줄을 선 거지.

드디어 오늘 저녁부터 축제가 시작돼.

연예인들을 바로 앞줄에서 봐야지

표값 가성비를 뽑지 않겠어?

그렇다고 텐트까지...

방탄소년단이라도 오나요?

사실, 몰라.

주최측에서 안 알려주거든.

애초에 학생회가 아니라 응원단에서 개최하는 축제고

연예인보다는 응원이 메인이라

연예인을 알려줬는데 별로이면

아예 참석을 안 한다나?

하지만 방법은 있지.

아이돌과 가수 소속사는 스케줄을 공지하니까

여러 가수들 스케줄을 뒤지면 조금은 알 수 있어.

선배. 눈꼽부터 떼셔야 할 것 같네요.

맞다.

며칠 사이 토목 이야기를 안 했지?

쇠뿔도 단김에 뽑으라고

바로 시작해 보자.

텐트에서 재료역학을 할 줄이야...

보의 처짐

텐트면 어떻고 무인도면 어때?

오늘 얘기할 보의 처짐은

재료역학의 꽃이야, 꽃!

선배는 뭐든 제일 중요하다고 하는 것 같은데

제 착각이겠죠?

크흠! 크흠!

야외에서 자다 일어나서 몸상태가 별로네.

보는 힘이나 모멘트를 받으면

당연히 위나 아래로 처질 거야

나무판자 위를 걸어보면 확실히 느낄 수 있지.

문제는,

처지는 깊이를 구하는 거겠죠.

우린 토목과니까요.

한번 추측해보자.

잘 안 늘어나는 재료라면

그 처짐이 작지 않을까?

E가 크다면요?

그렇겠죠?

그리고 묵직할수록

덜 처질 거야.

김 한 장은 잘 구부러지지만

김밥은 잘 구부러지지 않으니까.

비유가 좀 이상하지만

맞는 말 같아요.

이제 수학적으로 접근해 보자

프로처럼!

일단 이 장면을 보자.

어디서 많이 본 것 같지 않아?

네,

지난 휨응력 시간에 본 그림이잖아요.

꽤 복잡했는걸요.

휘어지는 재료(보)의 모습을

일종의 부채꼴, 원의 일부라고 가정해서

그 거동을 구해 봤어.

그때 곡률이라는 개념을 말했어.

그리스 문자 카파(κ)로 썼는데,

기억해?

네.

곡률은 반지름의 역수였죠?

클수록 더 급하게 휘어지고요.

그때 곡률식은

곡률=M/EI였어.

이걸 유념하고 다음 내용을 가 보자.

자, 이번에도 보가 힘을 받아서 휘었어.

중간에 미소길이 dx를 살펴보자.

지금 dx 안에서 휜 보의 길이를 ds라 하고

이 ds를 부채꼴이라 보는 거야.

부채꼴 중심각은 dθ로 하자.

수평과 비교해

ds 시작점에서 보가 이루는 각도는 θ야.

시작점의 처짐은 ν(그리스 문자 뉘/뉴)로 표시하자.

난 3학년까지 이게 브이인 줄 알았지 뭐야.

보는 오른쪽으로 갈수록 더 올라가는데요.

ν도 변하는 거 아닌가요?

ds가 가는 사이 더 처진 크기는

자연스레 dν가 되겠지.

자!

곡률은 얼마일까?

곡률은 반지름의 역수라고 했죠.

반지름은 호의 길이/각도니까

ds/dθ고

곡률은 dθ/ds가 되네요.

그런데 말야.

우리가 다루는 재료들은 대부분

처지고 변형하는 길이가 아주 아주 짧아.

그림은 축 처지게 그리지만

실제론 눈으로 보기도 힘들지.

금속이 치즈처럼 죽죽 늘어나면

그건 그것대로 공포스럽겠네요.

말이 나와서 말인데,

살짝 반칙을 쓰려고 해.

반칙요?

ds는 구하기 어렵잖아?

그런데 실제로 ds는 dx랑 아주 비슷해.

... 그러니까, ds 대신에 dx를 넣자?

왜 안 돼?

'수학적'으로 구해 보자면서요.

정치와 경제로 정하는 최저임금, 버스요금 등에 비하면

이 정도는 아주 냉철한 결정이지.

알았어요.

저도 제가 들을 강의를

굳이 어렵게 만들고 싶진 않아요.

좋아!

ds는 dx로 바꾸자!

그럼 곡률은 dθ/dx야.

약속한 거다?

약속한다 해도

이게 처짐과 무슨 상관이죠?

봐봐.

아까 ds 왼쪽 시작점이

수평과 이루는 각도를 θ라고 했잖아?

근데 그거 알아?

θ가 아주 작으면, tanθ랑 구분하기 힘든 거?

... 그러니까 θ를 tanθ라고 하자?

알아.

또 반칙이긴 한데...

알았으니까

빨리 말해 봐요.

tanθ는 구하기 쉬워.

네.

dν/dx잖아요.

응. 따라서

θ=tanθ=dν/dx라 말할 수 있지.

곡률은 θ를 x로 미분한 값이고

θ는 처짐을 x로 미분한 값이네요.

그렇담 곡률은

'처짐을 미분한 것을 미분한 것'이 아닐까?

ν를 x로 두 번 미분한 것이다?

그치. 근데 처음에 말했지.

곡률=M/EI라고.

잠깐만요. 곡률은 M/EI면서

동시에 처짐을 두 번 미분한 값이라는

답이 나오네요.

그래. A=B고 A=C라면

B=C지.

따라서

처짐을 두 번 미분한 것은 M/EI와 같아.

그래서, 처짐은요?

두 번 미분한 것이 M/EI니까

처짐을 구하려면

두 번 적분해야 하지 않을까?

처짐은 결국

M/EI를 x에 대해 두 번 적분한 것이다, 이 말이죠?

설마 고등학교에서 적분을 안 배우진 않았지?

배웠죠.

그래서 궁금해요.

적분은 적분상수가 생기잖아요.

그렇지.

두 번 적분하면 적분상수가 둘이나 생기는데

어떻게 정확한 처짐을 구하죠?

경계조건(Boundary Condition)

생각해 봐.

시험에서는 어떻게 적분을 구했지?

적분상수를 알도록 힌트를 줬죠.

x=0일 때 f(x)가 얼마라든가,

x=0일 때 f'(x)가 얼마라든가...

처짐을 구할 때도 그런 힌트가 있어.

그걸 경계조건(Boundary Condition)이라 부르지.

예를 들면요?

이 보를 봐.

왼쪽 끝은 벽에 박혀 있어.

따라서 이쪽은 처질 수도 없고,

심지어 휠 수도 없지.

즉 x=0일 때

두 번 적분한 식(처짐)의 값은 0이야.

또 x=0일 때

한 번 적분한 식(기울기)의 값도 0이지.

다른 보도 볼까?

이 보는 양쪽에 지지가 있어서

처질 수 없어.

그럼 x=0, L일 때 처짐이 0이네요.

게다가 보와 하중이 좌우 대칭이라서

정중앙이 최대로 처진다는 것도 알아.

따라서 x=2/L일 때 기울기가 0이지.

이런 조건들을 이용하면 적분상수를 알 수 있고

처짐과 기울기를 구할 수 있지.

잠깐, M/EI를 한 번 적분하면 기울기였네요.

저도 모르는 사이에 이해해 버렸어요.

조건이 부족할 때 쓰는 방법이나

다른 처짐 계산방법(모멘트 적분법)도 차근차근 알아보자.

우선 씻고 올 테니까

자리 좀 지키고 있어.

(텐트에서 이상한 냄새가 나...)

  아직 바람이 차가운 3월. 그러나 대학 캠퍼스는 개강한 대학생들로 활기가 넘친다. 대학생이라면 기대만큼이나 걱정도 많을 터. 특히 2학년이 되어 전공과목을 배우기 시작한 대학생이라면 학업이 더 부담스럽다. 이제 토목과 2학년에 올라온 김새빛도 마찬가지다.

어쩌지. 작년엔 일반물리학, 일반화학, 미적분학 같은 공통과목만 배웠어. 토목과 관련이 있는 건 정역학 정도였지. 그런데 이제 재료역학, 공업수학, 유체역학, 토질공학을 배워야 한다니. 책을 봐도 전혀 이해가 안 되는걸...

새빛아. 뭐가 그렇게 걱정스러워?

아. 유역학 선배!

처음 보니까 당연히 이해가 안 가지. 중학교와 고등학교에서 배운 행렬, 수열, 경우의 수, 2차방정식, 미적분도 처음엔 뭐가 뭔지 모르지만 지금 너는 그걸 다 알잖아? 하다 보면 되겠지.

으... 그래도 해야 할 게 너무 많다구요... 이 두꺼운 교재 좀 보세요...

배울 게 많다는 점은 인정할게. 그래도 차근차근 나아가는 게 중요해.

두꺼운 교재에 주눅이 들었다가는 시작도 하지 못할걸? 정말 모르겠다면 내가 도와줄게.

정말요?

물론이지.

안 그래도 이번 학기는 휴학하고 다른 활동을 할 예정이었거든.

틈틈이 후배를 도와주는 것도 괜찮겠지.

정말 고맙습니다, 선배!

좋아. 그럼 무슨 강의부터 알고 싶은데?

어... 재료역학이요. 아무래도 토목의 기본이 되는 과목 같아서요.

재료역학(Mechanics of Materials)은 토목과뿐 아니라 건축과, 기계과 등 여러 전공에서 필수로 익혀야 해.

산수로 치면 구구단처럼 기초적인 과목이지.

기초부터 이렇게 어려운데, 나중엔 어떡하죠?

내가 말했지. 한 번에 하나씩 하자니까.

구구단을 떼자마자 미적분을 배울 수도 없고, 그렇게 배우려 해서도 안 돼.

앞으로 대학생활이 3년은 남았으니까 조금 여유를 찾자고.

알았어요...

일단 카페라도 가서 이야기할까?

그러죠!

원리와 공식

좋아. 재료역학을 시작해 보자.

그전에 토목을 공부하는 자세를 좀 알아뒀으면 해.

토목을 공부하는 자세요?

응. 원리를 이해하되 공식 자체를 외워두는 것이 좋아.

원리와 공식이라...

원리를 이해해야 하는 이유는 알지?

어느 분야든 왜, 어떻게 그렇게 되는지를 알면 쉽고 깊이 외울 수 있지.

다만, 공식도 늘 알고 있어야 해.

앞으로 시험도 볼 거고, 상위 전공과목도 수강할 테니까.

시험장에서 '이 공식은 어디어디에서 시작해서....' 하면서 모두 처음부터 유도할 수는 없잖아?

나중에 더 어려운 걸 배울 때 강의실에서도 다 처음부터 되짚는다면 지칠걸.

확실히 시험 보면서 그러면 시간이 모자라겠네요.

게다가 공식 중에는 경험식도 많으니까 말야.

경험식이요?

어떤 원리에서 파생한 식이 아니라 실험과 관찰로 얻어낸 식을 말해.

실제 현상을 보고 만든 공식이니 유도할 원래 식이 없지.

지금은 기초니까 다 과학적이겠지만 나중에 가면 경험식이 많아져.

그건 어쩔 수 없이 외우는 수밖에.

이해할 시간에 외우는 것도 방법일까요?

글쎄. 교수 중에는 식만 달달 외우는 학생들을 위해 '못 이해하면 못 푸는 문제'를 내는 분도 있으니까.

평형식

새빛이는 정역학은 수강했겠지?

네, 전공필수였어요.

그래도 복습하는 차원에서 다루고 넘어가자.

뉴턴부터 시작해 볼까?

엥? 웬 뉴턴인가요.

뉴턴은 물리학자지 토목공학자는 아니잖아요.

뉴턴은 중력만 발견한 사람이 아냐.

수학과 공학에도 엄청난 영향을 끼쳤다고.

심지어 힘의 단위(N)에 자기 이름을 넣었으니까.

유체역학의 시초기도 하지.

하지만 지금은 뉴턴의 세 가지 법칙을 살펴보자.

농담으로 공학 공식은 다 이 세 법칙에서 나온다고 해.

뉴턴의 운동법칙

1. 관성 법칙 : 물체는 외부 힘이 없으면 등속도 운동한다.

2. 가속도 법칙 : 가속도는 힘에 비례한다.

3. 작용/반작용 법칙 : 모든 힘은 크기는 같고 방향은 반대인 반작용을 만든다

중학교 과학 시간에 배운 기억이 떠오르네요.

두 번째 법칙은 F=ma죠?

예전에 당구공끼리 부딪히는 문제를 죽어라 풀었죠.

그건 운동량 보존 법칙 아닐까?

아무튼 우리는 첫 번째 법칙에 집중하자.

힘을 받지 않으면 물체는 같은 속도로 움직여. 관성의 법칙이라고 부르지.

그 반대도 성립해. 등속도로 운동하는 물체가 있다면 그 물체는 아무 힘도 받지 않아.

정확히 말하면 아무 힘도 안 받는 게 아니라 '힘의 합력이 0'인 거겠죠.

그래. 바벨을 들고 있는 역도 선수를 생각해 보자.

어마어마하게 무거운 바벨이 역도선수한테 아래 방향으로 힘을 주고 있지.

F=ma를 생각한다면 선수는 아래 방향으로 가속도를 받아야 해. 그런데 역도선수는 가만히 있잖아?

그건 역도선수가 바벨 무게만큼 위로 힘을 주고,

바닥이 바벨 무게와 연도 선두 몸무게를 버티며 위로 힘을 주고 있기 때문이야.

그래서 힘의 합력이 0이고 선수는 바닥을 뚫고 내려가지 않는 거야.

가만히 있는 것도 등속도라 이거군요.

속도가 0으로 일정한 것도 엄연히 등속도지. 안 그래?

따라서 물체가 가만히 있는다면 그 물체가 받는 힘의 합력은 0이다

라 말해도 무리는 없겠지.

좋아요. 슬슬 토목과 상관이 없어지는데요?

이제 토목에 들어가려는 참인데!

자. 여기 테이블 위에 텀블러가 있다고 하자.

텀블러의 무게는 무시할게. 앞으로 구조 자체의 무게는 무시할 거야.

내가 이 텀블러 위에 1kg짜리 책을 올려놓는다고 하자.

텀블러는 움직이지 않아. 그렇다면 합력이 0이지.

텀블러는 위에서 아래로 1kgf의 힘을 받고 있어.

그런데 어떻게 합력이 0일까?

텀블러가 아래에 있는 테이블에서 1kgf만큼 위로 받치는 힘을 받기 때문 아닌가요?

물리학 시간에 배웠죠. 

그래. 따라서 합력은 0이고,

테이블은 현재 1kgf의 힘을 위로 주면서 버티고 있지.

이게 토목과 상관이 있나요?

있고말고.

빌딩, 다리, 발전소, 우리가 있는 카페도 모두 물건과 사람의 무게를 견디고 있어.

기둥과 보에 어느 정도로 힘이 걸리는지 알아야 버틸지 못 버틸지 알아내고 나아가 설계할 수 있겠지.

원래는 더 복잡한 기술도 필요하고 구조 자체의 무게(자중)도 고려해야 하지만,

지금은 기초를 배우고 있으니까 쉽게 생각하자.

힘의 평형

아까 봤듯이 대부분의 구조는 움직이지 않아

(구조가 움직일 때는 정말 끔찍할 거야)

움직이지 않는다면 그 구조에 가하는 모든 힘의 합력은 0이야.

새빛이는 벡터에 대해 알지?

'벡터와 스칼라' 할 때의 그 벡터요?

온도, 시간처럼 방향이 없고 값만 있는 수치는 스칼라라고 하고

힘과 속도처럼 크기와 방향이 같이 있는 수치를 벡터라고 하죠?

그렇지. 힘은 벡터지?

그러니까 '힘의 합력이 0이다'라는 건

힘의 벡터들을 전부 합치면 크기가 0이라는 뜻이 돼.

구조니까 힘의 방향은 위에서 아래로 누르는 방향 아닐까요?

그렇겠지만, 가로 방향 힘도 무시하면 안 되지.

이 물체를 보자.

내가 여기에 있는 힘을 모두 표시할게. 하나만 빼고.

이 물체는 현재 움직이지 않아.

그렇다면 아래에 있는 힘은 크기와 방향이 얼마나 될까?

아래 방향 힘이 총 100N이니까,

합력이 0이려면 위에서 아래로 100N의 힘이 필요하겠죠. 아닌가요?

맞아. '합력이 0이다'를 수학식으로 쓰면 이렇겠지.

F 밑에 y는 뭐죠?

당연히 y축, '세로 방향'이라는 거 아니겠어?

맞다! 이걸 그리는 걸 깜빡했네!

엥? x축 y축이 왜요?

아까 보여준 그림을 다시 봐봐. 여기에 x축, y축 표시가 있었어?

없었죠.

그런데 내가 갑자기 y축은 어쩌구저쩌구... 한다면

읽는 사람은 어디가 y축인지 알겠어?

무조건 세로 방향이 y라는 보장이 없거든.

우리끼리야 괜찮다고 해도 모르는 사람, 특히 레포트와 시험을 채점하는 조교님은 이걸 보고 뭐라고 생각하시겠어?

그렇군요.

축을 말하려면 먼저 어디가 x축이고 y축인지 설명해야 하는군요.

레포트 쓸 때와 시험시간에 잊지 말라고.

힘의 합력에 대해서는 두 가지 공식이 나오지.

x축 합력과 y축 합력이 0이다. 맞죠?

그래. 그리고 축은 임의로 설정할 수 있어.

그게 무슨 뜻이죠?

예를 들어 이 구조를 보자.

이 구조는 경사가 있기 때문에 축도 기울여서 설정하면 계산하기 쉽겠지.

축을 원래처럼 하면 틀리겠군요?

무슨 소리야. 축은 어떻게 정하든 상관 없어.

합력이 0이라면 어떤 방향으로 축을 잡든 0이야.

축을 막 정하면 삼각함수로 계산하가는 좀 어렵겠지만,

합력이 0이라는 사실은 변하지 않아.

어떻게든 90도 차이만 나게 x축 y축 방향을 마음대로 정하면 된다는 거죠?

어차피 합력은 0이니까요. 하지만 웬만하면 계산하기 쉽게 정하는 게 좋다는 거죠?

모멘트의 합

힘의 합력은 0.

하지만 힘 말고 모멘트도 있어. 정역학 시간에 배웠지?

네. 모멘트는 힘X거리죠?

맞아. 이 그림을 봐.

물체가 양옆으로 힘을 받네요.

두 힘은 방향만 반대고 크기는 같아. 힘의 합력은 0.

지금까지 배운 대로면 이 물체는 움직이지 않아야 정상이야.

그런데 상상해봐. 이 물체는 과연 미동도 없을까?

하나는 위, 하나는 아래에 있어요.

이대로 힘을 주면 시계 반대방향으로 물체가 돌겠는데요.

그래. 힘의 합력만 생각하면 '회전'을 고려하지 못해.

토목인이라면 구조가 이동하는 것뿐 아니라 돌아가는 것도 조심해야지.

그래서 힘의 합력뿐 아니라 모멘트의 합력도 0인 걸 고려해야 해. 식으로 쓰자면 이렇겠지.

식 처음에 있는 화살표는 뭐죠?

시계 반대방향 모멘트를 +로 한다는 뜻이야.

x축과 y축을 설정하듯이 모멘트도 어느 방향이 +인지 정해줘야지.

이것도 레포트와 시험에 잊지 말라고.

이 그림을 보자. 모멘트 합이 정말 0인지 알아볼까?

잠깐만요. 모멘트는 힘X거리잖아요.

거리는 어디 기준이죠?

이것도 합력 계산과 같아. 기준점은 어디든 상관 없어.

왼쪽 끝을 기준으로 해 보자. 시계 반대방향을 +로 하는 거야.

10N은 거리가 0이니 모멘트도 0

15N이 만드는 모멘트는 15X1 = 15Nm

5N이 만드는 모멘트는 5X3 = -15Nm

전부 합치면 0이지

새빛이는 15N이 작용하는 지점을 기준으로 해 봐.

10N이 만드는 모멘트는 10X1 = 10Nm

15N이 만드는 모멘트는 거리가 0이니 0

5N이 만드는 모멘트는 5X2 = -10Nm

합이 0이 되네요.

그치? 오늘은 세 가지 식만 기억하자.

합력이 0이라는 식 두 가지와 모멘트 합이 0이라는 식 한 가지.

그런데 이게 무슨 소용인지 잘 모르겠어요.

실제로 구조는 늘 가만히 있지 않나요?

그런데 왜 굳이 합력과 모멘트 합이 0인지 알아야 하죠?

이건 기본에 불과해. 반력과 응력을 구하려면 필수지.

곱셈과 제곱을 하려면 먼저 구구단을 배워야 하듯이 말이야.

다음 화에 계속...