오늘 배울 것

- 변형 에너지는 무엇일까?

- 축하중을 받을 때 변형 에너지는 얼마일까?

- 비틀림 상태의 변형 에너지는 얼마일까?

- 굽힘 상태의 변형 에너지는 얼마일까?

요즘 대학생들은 뽀빠이를 알까?

와, 선배. 이러기예요?

누가 들으면 나이 열 살은

차이 나는 줄 알겠네.

내가 좀 늦게 태어나서

사촌이나 큰집 나이가 많아.

그 사람들이 겪은 8, 90년대를

나도 간접 경험했지.

뽀빠이라면 저도 알아요

옛날 만화 주인공이죠?

시금치를 먹으면 강해진다는...

맞아

근데 뽀빠이는

8, 90년대가 아니라 6, 70년대인데...

우리 아빠도 늦게 태어났거든

시금치를 먹으면 근육이 생겨난다!

실제로 그러면 나라에서 시금치 공급량을 조절하겠지.

시금치에 단백질이 얼마나 있다고...

중요한 건, 무언가 집어넣으면 무언가 쌓인다는 거야.

우리가 살펴볼 변형 에너지(Strain Energy)가 바로 그런 경우지

0. 용수철의 변형에너지

이과라면 배웠겠지만

일(힘X거리)은 곧 에너지야

내가 공을 밀어 일을 하면

공에는 운동에너지가 발생하지.

정말 오랜만에 들어보네요

용수철도 그래

내가 용수철을 힘으로 밀면

용수철에 일을 했지

그럼 그 일은 어디로 갔을까?

에너지가 되어서

용수철에 있죠

탄성에너지라고 부르던가요?

그럼 그 탄성에너지는 어떻게 구하지?

에너지=일이니까 힘X거리인데,

민 거리에 따라 필요한 힘이 다르니까(F=-kx)

힘-거리 그래프를 그리면 직선이 나오고

그걸 삼각형으로 구하면...

1/2*kx^2이네요

1. 축하중의 변형에너지

재료는 탄성이란 점에선 용수철과 비슷하지.

하중은 일을 하고 그 일은 재료 속에서

변형 에너지가 된다고

재료에 축하중을 줄 때 재료에 들어간 에너지도

같은 원리로 구할 수 있지 않을까?

마지막에 힘-거리 그래프를 구했지?

힘은 하중이고

거리는 재료의 길이변화, 즉 변형량이야

하중-변형량 그래프를 그려봐

용수철이랑 같죠

이렇게 일직선이요

그럼 이번에도

재료에 들어간 에너지는 삼각형이네

Pδ/2.

우린 축하중 변형량이

δ=PL/EA임을 알아

('플리즈'로 외우면 좋지)

이렇게 식을 다시 쓸 수 있어.

2. 비틀림의 변형 에너지

하중(힘)이 변형량(길이)를 만든다면,

토크(비틀림힘)는 무얼 만들까?

돌리니까... 각도?

토크의 짝은 '회전각'이야

이 사실은 비틀림 변형 에너지를 구하는 단서지

아까 하중-변형량 그래프를 그리듯

토크-회전각 그래프를 그릴 수 있어

우린 예전에 토크에 따른 회전각 공식을 구했지

(Φ=TL/GIp, Ip=극관성모멘트)

토크와 회전각은 비례하네요

이번에도 그래프는 일직선이고

이번에도 삼각형 모양이겠네요

'이번에도' 그 삼각형 식에

회전각 식을 넣으면 더 자세한 식이 될 거야

이렇게 끝인가요?

뭔가 불안한데...

우리는 복잡한 비틀림은 생략했어

부정정 비틀림, 얇은 관 비틀림 등

그걸 했다면 비틀림 상수(Torsion Constant)도 다뤘겠지만

어쩔 수가 없지

그건 새빛이 네가 개강하면 직접 배워

3. 굽힘의 변형 에너지

제발 제발!

굽힘도 하중-변형량, 토크-회전각처럼

모멘트-무언가 구하기 쉬운 값이었으면!

행운의 여신이 이번엔 네 손을 들어줬네

(행운의 남자신은 없을까? 웬만하면 잘생긴 신으로)

휨을 만드는 것은 단연코 모멘트야

문제는 모멘트와 짝이 될 '그거'지

'그거'가 뭐죠?

질질 끌지 말고 알려주세요

변형량과 회전각은

하중과 토크가 클수록 값이 커졌어

그렇다면

'그거'는 휨이 클수록 커지는 값이 아닐까?

휨이 커지면...

재료가 더 둥글어지고...

'둥금'?

우린 지난 시간에

'둥금'을 뜻하는 단어

'곡률'을 배웠어

그리스어 카파(κ)로 표현했고

'그거'는 카파인가요?

아니, 곡률은 모멘트에 비례하지만

더 중요한 건

보가 둥글어지면서 생겨나는

부채꼴의 중심각 θ야.

중심각θ=호/반지름

= L/ρ = ML/EI가 돼

( ρ = EI/M이거든.

이 부분은 보의 처짐 시간에 할 거니까

그냥 그렇다고만 알고 있어)

이제 M과 θ 관계를 아니까

그래프로 그려 볼래?

잠깐,

또 일직선이고

또 삼각형이네요.

그래. 참 쉽지

안 그래?

물론 여러 하중/토크/휨응력이 걸리거나

부정정이거나 재료 단면이 비었거나....

인 경우는 더 배워야 하겠지만 말이야.

오늘의 복습

축하중을 받는 재료의 변형에너지는?

비틀림을 받는 재료의 변형에너지는?

오늘은 축하중이 나오는 문제를 풀어볼 거야.

공식만 들으면 쉬워 보이지만

조금 꼬아서 문제가 나오면 당황하거든.

맞아요.

듣기엔 쉬웠는데

막상 시험은 까다로웠어요.

문제는 거의 전공서적에 나오지만

예제가 아니면 솔루션을 봐야 정답이 나와서

'내가 푼 게 맞나?' 확신하지 못해.

이건 원칙적으로 하면 안 되는데

인터넷을 조금만 뒤지면

웬만한 솔루션이 나오니까 참고해.

진지하게 조언하자면

재료역학 정도는 스스로 풀어야지

재료역학마저 답 없이 못 풀면

남은 토목강의가 무척 힘들걸?

1. 부재에 여러 힘이 걸릴 때 변형 구하기

제일 흔한 변형문제는 이런 힘을 받는 부재야.

한 부재에 하중이 여러 가지네요.

당황하지 마!

공명의 함정...은 아니야.

이 정도는 함정이라 부르기도 민망하지.

우선 하중을 기준으로 해서

부재를 세 부분으로 분리해봐.

그런 다음

지지부에서 먼 쪽부터 자유물체도를 그려봐.

이때 힘평형을 꼭 생각하고.

제일 먼 CD 부분은

위로 10kN을 받으니까

아래부분에서 아래로 10kN을 받아야

힘평형이 맞겠죠?

두 번째 BC부분에서

윗부분은 아래로 15kN라는 외력을 받지만,

아까 CD에서 아래부분에 있는 10kN을

상쇄해 없애려면 위로 10kN도 받아야 해

따라서 BC 윗부분이 받는 힘은

넘겨받은 10- 외력 15 = 아래로 5kN이고

힘평형을 유지하려면

아랫부분은 위로 5kN을 받겠지.

그럼 마지막으로 AB는 위로 10kN이라는 외력을 받는데

BC한테서 물려받은 아래로 5kN을 합쳐서

총 위로 5kN을 받고,

힘평형에 따라 밑부분은 아래로 5kN을 받겠네요.

그렇지.

문제에서는 변형을 구하라고 했으니까

부분별로 PL/EA를 구한 다음

모두 합치면 돼

단, 압축과 인장을 잘 구분해서 헷갈리지 말도록!

옛. 알겠슴다!

2. 김밥(?) 부재

이번에는 금속으로 만든 김밥을 소개한다!

어디 보자.

부재가 벽에서 나오고

그 주변을 속이 빈 부재가 둘러싸고 있네요.

그리고 내부 부재는 케이블로

힘껏 당길 거야.

그냥 PL/EA로 늘어난 변형을

계산하면 안 되나요?

함정이 괜히 함정이겠어.

만약 계산한 변형이

내부부재와 외부부재 사이 거리(1mm)보다 길게 나온다면?

그럼 내부부재가 외부부재에 닿고...

그럼 외부부재도 같이 늘어나고...

아, 머리가!

단순한 문제가 아닌 건 알겠지?

이렇게 생각하자.

내부부재는 일단 외력은 확실히 받아.

문제는 내부부재가 늘어나면서 외부부재와 닿고

외부부재도 늘어나면서

내부부재한테 '늘어나지마!' 힘을 가한다는 점이야.

그 '늘어나지마!' 힘을 모르잖아요.

아직은 때가 아니야.

천천히 가자.

외부부재 입장에서 보면

갑자기 내부부재가 늘어나서

자기까지 늘리는 거겠지.

외부부재는 늘어난 만큼 반항할 것이고

내부부재에 '늘어나지마!'를 가하게 돼

결국 외부부재를 늘리는 힘은

'늘어나지마!'와 방향만 반대네요.

정확해.

그래도 그 '늘어나지마!'의 크기는 알 수가 없어요.

눈썰미가 있다면 다른 실마리를 발견할 수 있지.

생각해 봐.

내부부재와 외부부재는 닿는 순간부터 한몸이야.

늘어나는 시작지점은 달라도

늘어났을 때 두 부재의 끄트머리가 있을 곳은 같아.

내부와 외부 사이 거리가 1mm니까

내부가 늘어난 변형은 외부보다 1mm 길 수밖에 없죠.

식으로 쓰자면 이렇겠지.

변형은 PL/EA니까 이렇게 되고,

우리는 두 부재의 L, E, A를 알아

(외부부재는 속이 비었다는 점을 유념해)

그럼 P만 냅두고 다 계산해서 계수로 만들 수 있지.

P1은 '외력-늘어나지마!'고

P2는 '늘어나지마!'니까

대입하면 모르는 미지수는 '늘어나지마!' 하나뿐이라

방정식 계산이 가능해지지.

'늘어나지마!'를 구하면

내부부재가 받는 힘을 계산할 수 있고

변형도 구할 수 있겠죠.

3. 축하중을 받는 부정정 부재

마지막으로 살펴볼 부재는

부정정 부재야.

부재가 두 벽 사이에 껴서

옴짝달싹 못하고 있네요.

옴싹달싹 아니야?

옴짝달싹 맞아요.

...흠. 아무튼

이 부재에 걸리는 힘은 힘평형 식으로 구할 수 없어.

평형식 셋 중에 축방향 힘평형 식만 쓸모가 있는데

위, 아래에 반력이 둘이야.

식 하나에 미지수 둘이니 풀 수가 없지.

무슨 방법이 있으니까

선배가 소개해 주는 거죠?

어허. 섣부른 예측은

무대에 선 사람을 피곤하게 하는 법.

그래도 네 말이 맞아.

푸는 방법은 존재하지.

먼저 AB와 BC로 부분을 나누고

각각 자유물체도를 그려보자.

이때 부분마다 무슨 힘이 걸린지 모르니까

그냥 Fa와 Fb라고 하자.

(방향을 잘 정해놓자. 나중에 -가 나오면 반대방향으로 쓰면 되니까.)

다음은... 잠깐만요, 선배.

뭔가 알 것 같은데요?

뭔데, 뭔데?

이 부재는 두 벽 사이에 끼어 있어요.

그 말인즉슨, 이 부재는 변형할 수가 없죠.

즉 변형이 0이죠.

맞죠?

또 설명하는 즐거움을 빼앗았구나.

네 말이 맞아.

이 문제를 푸는 실마리는

'부재의 총변형이 0이다'는 점이야.

즉 중첩 원리(Principle of superposition)를 이용해

두 부분의 변형을 합친 것이 전체 변형과 같음을 안다면

두 부분의 변형이 서로 상쇄한다는 점을 알 수 있지.

즉 두 부분의 PL/EA는 방향만 반대고 크기는 같아.

같은 부재라면

EA는 같을 테니까

두 부분의 PL이 방향만 반대겠네요.

그렇게 되면 두 P의 크기는

L의 크기에 반비례하고,

또 한쪽 P는 다른 쪽 P의 계수(L/L)로 쓸 수 있겠지.

그렇게 변환한 P를 힘평형 식에 넣으면

식 하나에 미지수도 하나가 되니까

P를 구하고

또 나머지 P도 구할 수 있겠네요.