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재료역학 6] 경사면 응력
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아~ 너무 멋있다!


나도 짙푸른 바다에서 시원한 바람을 맞으며

쏜살같은 요트를 타고 질주하고 싶다!

거기에 구릿빛 피부로 미소짓는

잘생긴 남자까지...



너 뭐 잘못 먹었니?

아침부터 침을 줄줄 흘리고...



잡지에서

요트 기사를 봤거든요.

하와이와 동남아에서

태평양 파도를 헤치는 사람들!

너무 부럽다~



잘 됐다.

안 그래도 오늘 내용을

설명할 방법을 찾고 있었는데

요트가 딱이겠어.



콘크리트 대신 요트로

건물을 짓는 것도 아니고

재료역학이니까

요트가 바람으로 받는 힘과 관련 있나요?



바람은 맞지만

설명하려는 건 좀 달라.


요트는 돛을 이리저리 돌리면서

방향을 조절하지?



네, 그 모습이 완전 멋있는걸요.



같은 바람이어도

돛 방향에 따라

요트가 받는 힘은 달라지지.


우린 그동안 직각 모양 부재의

응력만 다뤄왔어.

그런데 이런 모양의 부재가 인장을 받는다고 하자.




에이.

어차피 인장응력은 P/A니까

다르지 않을걸요?



내부야 그렇겠지.

하지만 기울어진 끝부분은

어떤 응력을 받을까?



기울어진 곳은 표면적이 넓으니까

응력은 좀 줄어들 것 같아요.



결론부터 말하자면 맞아.

다만 얼마나 줄어드느냐가 문제지.


인장응력은 표면에 수직하게 당겨서 생기니까

지금 힘(P)이 전부 인장에 쓰이진 않을 거야.

좌표축을 표면에 맞게 바꾸고

힘을 두 수직한 벡터로 쪼개면

인장하는 벡터의 크기를 구할 수 있지.



각도로 봐서

인장하는 벡터는 cosθ를 곱한

Pcosθ겠네요.




그리고 단면적.

아까 네가 말한 대로

기울어진 단면적은 A보다 넓을 거야.

이 정도는 고등학교를 졸업한 너도

충분히 할 수 있겠지?


어디 보자.

원래 면적이 A니까

cosθ가 (기울어진 면적)/A고

따라서 기울어진 면적은

A/cosθ네요!



이제 다 구했다.

인장응력은 결국 P/A

즉 힘/면적이야

다만 새로 구한 힘과 면적을 넣을 뿐.



그럼

Pcosθ / (A/cosθ)니까

P/A에 cosθ의 제곱을 곱한 값이겠네요!




평평할 때의 인장응력에 cosθ의 제곱을 곱했는데

cosθ의 최댓값은 θ가 0일 때 1이니까

θ가 0일 때를 제외하면 기울어진 면의 인장응력은

늘 평평할 때 인장응력보다 작을 수밖에 없지.



뭐, 어떻게 보면 제가 맞았네요.

요트에서 재료역학이 나오다니..


아직 안 끝났으니까

요트 생각은 그만해.


인장응력을 구했으니

전단응력도 구해야 하지 않겠어?



하아.

그래도 아까보단 쉬워요.

구하는 방법은 아니까요.


아까 P를 두 벡터로 쪼갠 곳으로 돌아가서,

이젠 평면을 따라 전단응력을 만드는

벡터힘을 알아보죠.

이번엔 Psinθ네요.




단면적은 아까처럼

A/cosθ고,

따라서 계산하면 전단응력은

P/A sinθcosθ,

 인장응력에 sinθcosθ를 곱한 형태네요.





맞아.

방향은 조심해야지.

재료역학에서는

대부분 이런 방향을 양으로 하니까 참고해.

이게 양이라면 아까 네가 구한 전단응력엔

(-)를 붙여야 겠다.



그리고 더 깜짝 놀랄 사실은

이제부터 시작이야...


다음에 계속...

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재료역학 5] 전단응력
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사각.. 사각...



무언가 자르는 소리가 나는데...



사각.. 사각.. 사각...



선배, 여기서 뭐 해요?



가위로 종이를 자르고 있지.

예전에 물리, 화학 실험강의마다

그래프를 인쇄해 보고서에 잘라 붙였는데 말야.

지금 생각하면 그냥 컴퓨터로 넣어서

한꺼번에 인쇄할 걸 그랬어.




그야 카피할까 봐 일부러 손으로 붙이게

시키기도 하지요.


그런데 말야.

종이는 왜 잘릴까?



가위를 자세히 보면

두 날이 종이를 양옆에서 눌러

종이를 반대방향으로 밀어내

자르지 않나요?


그래.

그리고 그 누르는 건

단순히 압축하고 인장하는 힘과는 달라.

누르고 당기는 힘이 아니라

직각 방향으로 쏠리게 만드는 힘이지.



반죽을 밀대로 밀면

아래로 눌리기도 하지만

옆으로 쓸리기도 하잖아요.

그런 힘을 뭐라고 부를까요?


전단력(Shear Force)이라고 부르지.

전단력은 표면에 접선 방향으로 작용해.

전단력이 만드는 응력은

당연히 전단응력(Shear Stress)이고.

전단응력은 타우(τ)로 써.


전단응력은 그럼

옆으로 생기는 응력이군요?



그렇게 말하면 부족하지.

처음 들으면 헷갈리기 쉽지만,

전단응력은 가로방향 축응력과 전혀 달라.

누르고 당기는 게 아니라

뒤트는 응력이야.




그럼 전단응력 크기는

어떻게 구하죠?

힘/넓이는 알겠는데요.

어느 넓이를 말하는 거죠?



주로 부재의 단면적을 말하지

아래 그림을 보면

평균 전단응력은 P/A지.

모든 단면적에 전단응력이 균일하지는 않아서

'평균 전단응력'이라 할게.

(원한다면 균일분포로 가정할 수도 있고)





다만 그림과 같은 전단은

이중전단(Double Shear)라 부르는데

여기서 한 단면적에 걸리는 힘은

P/2라는 점을 조심해




그리고 축응력과 마찬가지로

변형률이 존재해

전단변형률(Shear Strain)이라 하고 감마(γ)로 써.

찌그러져 변하는 각도로 계산하지.

솔직히 축방향 변형률에 비해 크게 중요하진 않아.

(물론 시험에 나올 확률은 늘 있지)





응력과 변형률이 있다면

탄성계수도 있나요?


물론이지.

시그마-입실론(축방향 응력-변형률) 식처럼

전단에도 훅의 법칙이 있지.




인장 탄성계수는 E고

여기서는 G네요.


전단탄성계수(Shear Modulus of Elasticity)

인장 탄성계수처럼 압력, 응력과 단위가 같아

알루미늄의 전단탄성계수는

약 28GPa야.


그리고 인장탄성계수와 전단탄성계수 사이 관계는

아래 식과 같아. 한 번쯤 외워두라고.

기사시험에도 나오니까.


(υ는 푸아송 비율)




인장응력과 전단응력은 그럼 무관한가요?

응력을 만드는 힘의 방향이 아주 다른데요.



후후... 관계가 있지..

아주 재미있는 관계가...

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80년대 팝] Tears For Fears - Everybody Wants to Rule the World(가사번역)
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  배철수의 라디오방송에서 기념으로 내놓은 팝송 앨범이 있다. 멋모르고 샀는데 맘에 드는 노래도 있고 금방 질리는 노래도 있었다. 제일 열심히 들은 노래는 시카고의 <You're the Inspiration>인데, 80년대 수록곡에서 기억에 남는 노래가 Tears For Fears의 Everybody Wants to Rule the World다(그 앨범은 10년 단위로 수록곡을 소개했다). 80년대 오마주를 꽉꽉 집어넣은 영화 <레디 플레이어 원>에도 잠깐 나왔다. 가상세계 속 대박을 얻기 위해 수많은 사람들이 고구분투하는 장면에 삽입되어 노래 제목과 아주 잘 어울린다. 몇 년 전에는 영화 헝거 게임에 뉴질랜드 가수 로드(Lorde)가 부른 커버곡이 들어가서 다시 인기가 부상했다. 그래서 구글에 검색하면 이쪽 버전도 잘 올라온다.





Welcome to your life

There's no turning back

Even while we sleep

We will find You

네 삶에 온 걸 환영해

이제 돌이킬 수 없어

우리가 자는 때마저

우린 네가


Acting on your best behavior

Turn your back on mother nature

Everybody wants to rule the world

최선을 다하는 척을 찾아낼 거야

모성에 등을 돌리라고

모두 세상을 지배하고 싶어하지


It's my own desire

It's my own remorse

Help me to decide

Help me make the most Of freedom and of pleasure

Nothing ever lasts forever

Everybody wants to rule the world

이건 나만의 열망이야

나만의 후회야

결정하게 도와줘

자유와 즐거움으로 많은 걸 만들게 도와줘

아무것도 영원하지 않아

모두 세상을 지배하고 싶어하지


There's a room where the light won't find you

Holding hands while the walls come tumbling down

When they do, I'll be right behind you

빛도 널 찾지 못하는 방이 있어

벽들이 주저앉는 동안 손을 잡고 있어

주저앉을 때 내가 네 등뒤에 있을게


So glad we've almost made it

So sad they had to fade it

Everybody wants to rule the world

거의 다 와서 너무 다행이야

그들이 끝을 흐리게 해서 너무 슬퍼

모두 세상을 지배하고 싶어하지


I can't stand this indecision

Married with a lack of vision

Everybody wants to rule the world

Say that you'll never, never, never, need it

One headline, why believe it?

Everybody wants to rule the world

이 망설임을 참을 수 없어

모자란 비전과 결혼해서

모두 세상을 지배하고 싶어하지

절대 절대 절대 필요하지 않을 거라 말해줘

한 줄 기사를 왜 믿어?

모두 세상을 지배하고 싶어하지


All for freedom and for pleasure

Nothing ever lasts forever

Everybody wants to rule the world

모든 자유와 즐거움을 말하자면

아무것도 영원하진 않지

모두 세상을 지배하고 싶어해

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Moran의 I 통계량(Moran's I statistics)
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P. A. P. Moran(1917~1988)



  모란의 I값은 공간적 자기상관성(Spatial Autocorrelation)을 재는 수치 중 제일 일반적입니다. 만약 공간에 어떠한 과정도 존재하지 않는다면, 구역별로 완전히 무작위로 사건이 발생해서 어느 곳도 딱히 밀도가 높거나 낮지 않을 것입니다. 이런 무작위 상태를 CSR(Complete Spatial Randomness) 이라고 하는데, Moran's I는 값 분포가 이 CSR과 얼마나 다른지 파악하는 수치로 사용됩니다.


  한 지역에 여러 구역이 있고, 구역마다 통계수치(발생 건수, 평균 농도 등)가 있다고 해 봅시다. Moran's I값은 평균을 기준으로 생각합니다. 모든 구역의 값을 평균냅니다. 이때 인접한 두 구역의 값에서 평균을 뺍니다. 두 구역 값이 평균보다 크다면 둘 다 양수일 것이고 평균보다 작다면 둘 다 음수일 것입니다. 둘 모두 양수거나 음수라면 곱했을 때 양수가 됩니다. 두 관측값이 전체평균에서 같이 멀수록, 두 값에서 평균을 뺀 값을 곱한 수는 커집니다. 이와 반대로 한 관측값은 평균보다 큰데, 다른 관측값은 평균보다 작다면 두 관측값에서 평균을 빼어 곱하면 음수가 됩니다.



인접한 두 지역의 값이 모두 총평균보다 크거나 작다면, 두 값에서 평균을 빼어 곱했을 때 양수가 될 것이다. 반대로 하나는 총평균보다 큰데 다른 하나는 작다면 평균을 빼어 곱해 음수가 될 것이다. 그렇다면 평균을 빼어 곱한 수가 클수록 두 값은 총평균에서 '다같이' 멀리 떨어진, 끼리끼리 노는 값이 아닐까?



  즉 인접하다고 생각되는 두 구역 관측값의 평균편차를 곱하고 다 더하면, 비슷한 값이 몰릴수록 그 곱합도 클 것입니다. 한 지역 옆에 너무나 다른 값이 있을수록 평균편차 곱은 음수가 되어, 총합은 작을 것입니다. 


  Moran's I는 두 가지 값으로 나뉩니다. 하나는 전역적 I값으로 지역 전체의 분포경향을 재고, 다른 하나는 국지적 I값으로 우리가 알고 싶은 한 구역의 분포경향을 잽니다.




전역적 I 통계량




전역적 I 통계량 식은 다음과 같습니다.



n = 단위지역 수

x = i번째 지역의 관찰값

= 총평균

= 공간가중치




  공간가중치는 i구역과 j 구역이 인접하지 않는다고 판단되면 0입니다. 그러니 인접하다고 판단되는 두 구역에서만 숫자를 계산합니다. (i과 j가 같을 때도 물론 공간가중치는 0입니다. 같은 구역에서 계산하지는 않으니까요.) 공간가중치는 어떻게 정할까요? 경계가 닿으면 1, 아니면 0으로 정할 수도 있고 구역 중심 간 거리제곱의 역수 등 창의력을 발휘할 수 있습니다.


  전역적 I 통계량은 -1에서 1 사이 값을 가집니다. 1에 가까울수록 (양의 공간적 자기상관성)비슷한 값이 군집합니다. 즉 공간적 자기상관성이 강합니다. 0에 가까울수록 값은 무작위(CSR)로 분포합니다. I값이 -1에 가깝다면(음의 공간적 자기상관성) 어떻게 분포할까요? 한 구역에는 아주 높은 값이, 그 주위에는 아주 낮은 값이 있을 겁니다. 아주 낮은 값 주위에는 아주 높은 값이 있겠죠. 체스판 같은 모양일 것입니다.



국지적 I 통계량




  국지적 I값은 한 구역만을 봅니다. 한 구역이 인접하는 구역과 비교했을 때 공간적 자기상관성이 있는가, 즉 얘는 끼리끼리 노는 놈인가 알아보는 수치입니다.





Moran's I를 통계적으로 분석하기




  그렇다면 I값이 얼마나 커야 공간적 자기상관성이 존재한다고 말할 수 있을까요? 주사위를 예로 들어 봅시다. 두 주사위를 던졌는데 합이 10 나왔다면 높은 걸까요? 대다수가 그렇다고 할 겁니다. 두 주사위의 눈을 더한 값은 12가 최대기 때문입니다. 정확히 말하자면 합이 10보다 클 확률(약 8.33%)이 그렇게 높지 않기 때문입니다.


  우리가 어떤 확률변수가 높은지 판단할 때는, 흔히 확률분포에서 얼마나 높은 위치를 차지하는지 봅니다. 정확히는 분포에서 그보다 높을 확률이 얼마나 낮은지를 봅니다. 특히 그 분포가 정규분포라면 표준정규분포로 옮겨 z-score를 구하면 분포에서 관측값보다 클 확률을 구하기가 쉽습니다. 예를 들어 표준정규분포에서 z의 절대값이 1.96 이내에 있을 확률이 95%죠. 따라서 z가 1.96보다 크다면 상위 2.5%에 있는 것입니다.


  I값도 일종의 확률변수입니다. 관측값을 무작위로 뿌린 다음 그때마다 I를 구합니다. 과연 실제 I값은 이 I값들 사이에서 얼마나 높은 위치에 있을까요? 다행히도 I값의 평균과 분산은 이미 계산이 되어 있습니다.




따라서 I값의 z-score는





가 되며, 만약 그 z값이 1.96이 넘는다면 이때 공간적 자기상관성은 유의수준 5%에서 통계적으로 유의미하다고 말할 수 있습니다.


(국지적 I값의 평균과 분산은 생략합니다)



Moran's I의 한계




  Moran's I는 큰 값과 작은 값의 군집경향을 측정하는데, 결과에서는 큰 값 군집과 작은 값 군집이 구분되지 않습니다. 실생활에서는 큰 값 군집만 알고 싶을 때가 있는데, Getis-ord G값이 큰 값 군집을 측정하는 통계량입니다.

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재료역학 4] 여러 까다로운 축하중 문제들
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오늘은 축하중이 나오는 문제를 풀어볼 거야.

공식만 들으면 쉬워 보이지만

조금 꼬아서 문제가 나오면 당황하거든.



맞아요.

듣기엔 쉬웠는데

막상 시험은 까다로웠어요.



문제는 거의 전공서적에 나오지만

예제가 아니면 솔루션을 봐야 정답이 나와서

'내가 푼 게 맞나?' 확신하지 못해.

이건 원칙적으로 하면 안 되는데

인터넷을 조금만 뒤지면

웬만한 솔루션이 나오니까 참고해.


진지하게 조언하자면

재료역학 정도는 스스로 풀어야지

재료역학마저 답 없이 못 풀면

남은 토목강의가 무척 힘들걸?




1. 부재에 여러 힘이 걸릴 때 변형 구하기



제일 흔한 변형문제는 이런 힘을 받는 부재야.





한 부재에 하중이 여러 가지네요.



당황하지 마!

공명의 함정...은 아니야.

이 정도는 함정이라 부르기도 민망하지.


우선 하중을 기준으로 해서

부재를 세 부분으로 분리해봐.


그런 다음

지지부에서 먼 쪽부터 자유물체도를 그려봐.

이때 힘평형을 꼭 생각하고.



제일 먼 CD 부분은

위로 10kN을 받으니까

아래부분에서 아래로 10kN을 받아야

힘평형이 맞겠죠?




두 번째 BC부분에서

윗부분은 아래로 15kN라는 외력을 받지만,

아까 CD에서 아래부분에 있는 10kN을

상쇄해 없애려면 위로 10kN도 받아야 해


따라서 BC 윗부분이 받는 힘은

넘겨받은 10- 외력 15 = 아래로 5kN이고

힘평형을 유지하려면

아랫부분은 위로 5kN을 받겠지.




그럼 마지막으로 AB는 위로 10kN이라는 외력을 받는데

BC한테서 물려받은 아래로 5kN을 합쳐서

총 위로 5kN을 받고,

힘평형에 따라 밑부분은 아래로 5kN을 받겠네요.






그렇지.

문제에서는 변형을 구하라고 했으니까

부분별로 PL/EA를 구한 다음

모두 합치면 돼

단, 압축과 인장을 잘 구분해서 헷갈리지 말도록!



옛. 알겠슴다!





2. 김밥(?) 부재



이번에는 금속으로 만든 김밥을 소개한다!



어디 보자.

부재가 벽에서 나오고

그 주변을 속이 빈 부재가 둘러싸고 있네요.



그리고 내부 부재는 케이블로

힘껏 당길 거야.



그냥 PL/EA로 늘어난 변형을

계산하면 안 되나요?



함정이 괜히 함정이겠어.

만약 계산한 변형이

내부부재와 외부부재 사이 거리(1mm)보다 길게 나온다면?



그럼 내부부재가 외부부재에 닿고...

그럼 외부부재도 같이 늘어나고...

아, 머리가!



단순한 문제가 아닌 건 알겠지?

이렇게 생각하자.

내부부재는 일단 외력은 확실히 받아.

문제는 내부부재가 늘어나면서 외부부재와 닿고

외부부재도 늘어나면서

내부부재한테 '늘어나지마!' 힘을 가한다는 점이야.





그 '늘어나지마!' 힘을 모르잖아요.



아직은 때가 아니야.

천천히 가자.

외부부재 입장에서 보면

갑자기 내부부재가 늘어나서

자기까지 늘리는 거겠지.

외부부재는 늘어난 만큼 반항할 것이고

내부부재에 '늘어나지마!'를 가하게 돼



결국 외부부재를 늘리는 힘은

'늘어나지마!'와 방향만 반대네요.



정확해.



그래도 그 '늘어나지마!'의 크기는 알 수가 없어요.



눈썰미가 있다면 다른 실마리를 발견할 수 있지.


생각해 봐.

내부부재와 외부부재는 닿는 순간부터 한몸이야.

늘어나는 시작지점은 달라도

늘어났을 때 두 부재의 끄트머리가 있을 곳은 같아.




내부와 외부 사이 거리가 1mm니까

내부가 늘어난 변형은 외부보다 1mm 길 수밖에 없죠.



식으로 쓰자면 이렇겠지.



변형은 PL/EA니까 이렇게 되고,




우리는 두 부재의 L, E, A를 알아

(외부부재는 속이 비었다는 점을 유념해)

그럼 P만 냅두고 다 계산해서 계수로 만들 수 있지.




P1은 '외력-늘어나지마!'고

P2는 '늘어나지마!'니까

대입하면 모르는 미지수는 '늘어나지마!' 하나뿐이라

방정식 계산이 가능해지지.



'늘어나지마!'를 구하면

내부부재가 받는 힘을 계산할 수 있고

변형도 구할 수 있겠죠.



3. 축하중을 받는 부정정 부재



마지막으로 살펴볼 부재는

부정정 부재야.




부재가 두 벽 사이에 껴서

옴짝달싹 못하고 있네요.



옴싹달싹 아니야?



옴짝달싹 맞아요.



...흠. 아무튼

이 부재에 걸리는 힘은 힘평형 식으로 구할 수 없어.

평형식 셋 중에 축방향 힘평형 식만 쓸모가 있는데

위, 아래에 반력이 둘이야.

식 하나에 미지수 둘이니 풀 수가 없지.



무슨 방법이 있으니까

선배가 소개해 주는 거죠?



어허. 섣부른 예측은

무대에 선 사람을 피곤하게 하는 법.

그래도 네 말이 맞아.

푸는 방법은 존재하지.


먼저 AB와 BC로 부분을 나누고

각각 자유물체도를 그려보자.

이때 부분마다 무슨 힘이 걸린지 모르니까

그냥 Fa와 Fb라고 하자.

(방향을 잘 정해놓자. 나중에 -가 나오면 반대방향으로 쓰면 되니까.)



다음은... 잠깐만요, 선배.

뭔가 알 것 같은데요?



뭔데, 뭔데?



이 부재는 두 벽 사이에 끼어 있어요.

그 말인즉슨, 이 부재는 변형할 수가 없죠.

즉 변형이 0이죠.

맞죠?



또 설명하는 즐거움을 빼앗았구나.

네 말이 맞아.

이 문제를 푸는 실마리는

'부재의 총변형이 0이다'는 점이야.


즉 중첩 원리(Principle of superposition)를 이용해

두 부분의 변형을 합친 것이 전체 변형과 같음을 안다면

두 부분의 변형이 서로 상쇄한다는 점을 알 수 있지.

즉 두 부분의 PL/EA는 방향만 반대고 크기는 같아.



같은 부재라면

EA는 같을 테니까

두 부분의 PL이 방향만 반대겠네요.




그렇게 되면 두 P의 크기는

L의 크기에 반비례하고,

또 한쪽 P는 다른 쪽 P의 계수(L/L)로 쓸 수 있겠지.



그렇게 변환한 P를 힘평형 식에 넣으면

식 하나에 미지수도 하나가 되니까

P를 구하고

또 나머지 P도 구할 수 있겠네요.






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openttd - 환승하기
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  게임을 하다 보면 화물을 한 번에 목적지로 옮기기 곤란할 때가 있습니다. 바다에 있는 유전에 유조선을 보내 석유를 실어도 정유공장까지 유조선을 보내기는 어렵습니다. 정유공장은 웬만하면 맵 가장자리에 있어서 땅을 내리면 될지 모르겠지만, 그러고 싶지 않다면 우선 유조선이 정류소에서 화물을 내리고 기차나 트럭으로 정유공장으로 옮기게 만들어야 합니다. 도시마다 들러 승객을 나르는 노선을 만들 때도 환승은 필수입니다. 기차역을 도시 한가운데 놓을 수 없어서 버스가 순회하며 승객을 모아 기차역에 모아줄 필요가 있습니다. 스케일을 키우자면 화물을 한 번 집중시키는 허브(hub)를 만들 수도 있겠죠.

 

환승시키기


 

유전에서 석유를 받아서 정유공장으로 보내 봅시다.

 

 

일단 유조선이 석유를 내릴 항구를 짓습니다.

 

 

우선 유조선을 만듭니다. 정박소를 짓고 유조선을 구매합니다.

 

 

유조선의 경로를 정합니다. 하나는 유전으로, 하나는 항구로 정합니다. 이때 항구를 선택하고 가운데 탭을 눌러 '환승'을 선택합니다. 이렇게 하지 않으면 유조선은 석유를 받지 않는 항구에 도착해서 아무것도 하지 못하고 다시 나옵니다.

 

 

환승을 누르면 이렇게 목적지 뒤에 (환승 후 빈 차로 출발)이 나옵니다.

 

 

항구에 내린 석유를 나를 경로를 만듭니다. 저는 트럭으로 하겠습니다. 화물 정류장을 만들어야 하는데, 이때 Ctrl 키를 누른 채로 설치하면 위와 같은 창이 뜹니다. '분리된 역을 새로 만들기'를 누르면 항구와 분리된 정류장이 설치됩니다. 우리는 석유를 받아야 하므로 방금 지은 항구(여기서는 '서동춘항')를 누릅니다.

 

 

항구를 선택하면 저렇게 정류장 옆에 트럭 마크와 배 마크가 같이 나타납니다.

 

 

트럭 경로는 원래 하던 경로와 같습니다. 항구에서 석유를 싣고 정유공장에 내리게 하면 됩니다.

 

 

 

유조선에서 유조차로 이어지는 유통경로가 완성되었습니다.

 

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재료역학 3] 축하중을 받는 부재
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지난 시간에는 부재에 얼마나 하중을 받는지 계산해 봤어. 힘과 

모멘트 평형식으로 반력이나 내력을 알아냈지.


우선 스트레스를 받을 시간이야.



엥?

아. 농담도 잘하시네요.

응력(Stress) 말하는 거죠?


응력은 저도 알죠.

면적에 걸리는 힘이잖아요.

단위는 [힘/면적]이고요.



맞아. 압력과 단위가 같아서

Pa(파스칼)이나 psi(제곱인치 당 파운드)같은 단위도 쓰지.

단위변환을 외워두면 자잘하게 도움이 되니까 알아둬.


1 Pa = 1 N/m^2

1 psi = 6894.76 Pa

1 ksi = 1000 psi

1 bar = 100000 Pa




축하중을 받는 부재






응력 중에서 제일 단순한

축하중을 받는 부재의 응력이야.



이 부재는 모든 부분에서

'하중/부재 단면적'에 해당하는

응력이 걸리겠죠?



그렇지.

비록 축하중이 점하중이지만

우리는 이 하중이 부재 전면에 걸린다고 생각하자.



'생각'이요?

실제로는 안 그런가요?



차이가 없다고 할 수는 없겠지만

생 베낭트의 원리(St Venant's principle)에 따라

하중이 작용하는 곳에서 멀수록

점하중과 분포하중은 역학적으로 거의 같은 작용을 하지


걱정하진 마.

시험에서도 딱히 구분하진 않으니까.

심지어 생 베낭트라는 이름도

호기심에 찾아봤다가 들어본 이름이야.

난 재료역학 강의에서도 못 들어봤어.







응력-변형율 그래프



응력을 받을수록 재료는 늘어나거나 줄지

특히 재료역학에서 주로 다루는 재료인

금속은 탄성으로 행동하니까 말이야.



그래도 응력을 아주 많이 가하면

언젠가 끊어지겠죠?



그런 재료거동을 설명하는 것이

바로 응력-변형율 그래프지.

(응력-변형율 선도/곡선이라고도 하지)

앞으로 졸업할 때까지 볼지도 모를 그림이야.


잠깐, 변형율이 뭔지는 알지?



당연하죠.

원래 길이에서 길이가 달라진 비율이잖아요.

길이변화/원래길이로 계산하고요.



그래. 응력-변형율 그래프는

세로축을 응력, 가로축을 변형율(Strain)로 한 채

재료를 누르거나 당기면서 그 관계를 그린 그림이야.


그러니까 세로축(응력)이 증가한다면 더 큰 힘을 가한 것이고

가로축(변형율)이 증가한다면 더 늘어난(줄어든) 것이지.


먼저 힘을 가하면

응력과 변형율은 비례 관계로 늘어나기 시작해.

마치 용수철과 같지.

고등학교 물리에서 봤을 수도 있는데

용수철을 당기는 힘과 길이변화는 비례한다고 배웠지?



맞아요. 기억 나요.



처음 응력이 걸린 부재도

용수철과 비슷하게 작용해.

(물론 모든 재료가 이렇지는 않아)




여기서 응력이 더 증가해서

항복 강도(Yield strength)를 넘어버리면

그래프가 옆으로 죽죽 나아가지.



응력이 딱히 증가하지 않았는데

변형율이 늘어났으니

응력을 더 주지 않았는데도

재료가 늘어난 거네요.



그래. 그런 다음 변형 경화가 와.

응력과 변형율이 같이 증가하지

처음보다는 변형율이 속수무책으로 증가하긴 하지만.



그러다가 결국 산꼭대기에 서네요.



마침내 극한강도(Ultimate strength)

(인장강도, Tensile strengh라고도 해)에 다다르면

네킹(Necking) 현상이 벌어지고 말아.

죽죽 늘어나면서 단면적이 급격히 줄어들지

그런 다음에 파단(Fracture), 즉 끊어지고.




알루미늄 같은 재료는 항복강도가 좀 모호하긴 하지만

크게 다르지는 않아.



영의 계수



우리가 중점적으로 볼 부분은

맨 처음,

응력과 변형율이 비례하면서 늘어나는 부분이야.



용수철처럼 늘어나는 부분 말이죠?



훅의 법칙(Hooke's Law)에 따라

용수철을 늘이거나 줄일 때

용수철이 돌아가려고 반항하는 복원력은

늘어난 길이에 비례해.


F = -kx

(-가 있는 건

내가 늘인/줄인 방향과

용수철이 원래대로 가려는 방향이 반대기 때문이야)



이때 k는 용수철 상수라고 불렀고, 용수철마다 값이 달랐어요.



부재도 똑같아.

처음엔 응력과 변형율이 비례해.

비례식으로 쓰자면

응력 = 계수 X 변형율이지.




여기 계수 E는 뭐라고 부르죠?

부재계수라고 하나요?



영국 과학자 토마스 영을 따서

영의 계수(Young's modulus)라고 부르지.

영률, 탄성계수(Elastic modulus)라고도 하고.

알파벳 대문자 E로 써.

변형율이 [길이/길이]라 무단위기 때문에

영의 계수의 단위는 응력과 같아.



영의 계수도 재료마다 다르겠네요.



그래. 철은 약 200GPa,

알루미늄은 약 70GPa 되는 탄성계수를 가지지.







푸아송 비



여기서 문제.

세로로 꽉 누르는 이 부재의 부피는

어떻게 될까?




뭐, 꽉 누르고 축방향으로 압축되니까

당연히 줄어들겠죠?



맞아. 줄어들긴 줄어들겠지.

하지만 그냥 줄어들기만 할까?

만약 이게 건축재료가 아니라

젤리라면?



그럼 눌리다가 퍽 하고

옆으로 터져 버리겠죠.



그렇지? 재료도 같아.

세로로 누르면 가로로 살짝 뚱뚱해지고

당기면 살짝 홀쭉해지겠지.




그 비율을 표현한 것이 바로

푸아송 비(Poisson's ratio)야.




왜 식에 -가 있죠?



세로로 짧게 변형하면

대부분 재료는 가로로 늘어날 테니까

부호가 다를 수밖에.

거기에 -를 붙여서 양수로 만들어 주는 거지.



만약 세로로 압축시켰는데

가로로도 압축된다면

푸아송 비는 음수겠군요?



이론적으론 그래.

아무튼 푸아송 비를 알면

재료의 특성을 조금은 짐작할 수 있지.



변형길이 구하기



드디어 오늘의 하이라이트!

변형길이를 구해보자.



엥? 그거야 쉽죠.



올~ 한번 말해봐.



단면적과 길이와 탄성계수를 아는 부재에

축방향 하중이 걸린다면?


하중을 단면적으로 나누어 응력을 구하고

변형율은 응력을 탄성계수로 나누어 구하고

변형율은 변형길이/원래길이니까

여기에 원래길이를 곱하면 변형길이가 나오죠.



이럴 수가.

내가 호랑이 새끼를 키웠구나.


공식으로 쓰자면

변형길이는(주로 그리스 문자 델타로 쓰지)

PL/EA야.




난 1학년 때 플리즈(PLEAse~)로 외웠어.

EA는 흔히 축강도(Axial Rigidity)라고 불러.


그외에 하중을 변형길이로 나눈 값은

강성도(Stiffness)로 k라 쓰고

변형길이를 하중으로 나눈 값은

유연도(Flexibility)로 f로 쓰는 편이야.

(보면 알겠지만 서로 역수고)




다음 시간에는 좀 복잡한 케이스와

부정정 구조물을 알아보자.



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openttd 선로 깔기 - 기초편
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  openttd에는 자동차(트럭), 철도, 항공, 항만 이렇게 네 가지 운송수단이 존재하지만 이중 제일 멋지고, 복잡하고, 파고들 거리가 많은 건 단연코 철도입니다. 선로도 네 종류(일반 선로, 기차 선로, 모노레일, 자기부상)나 있고 기차 종류도 시대별, 종류별로 아주 많습니다. 심지어 유저가 만든 팩을 다운받으면 여러 나라에서 운영하는 실제 기차를 만들 수도 있는데 우리나라 무궁화호, 새마을호, 서울 전철도 있습니다. 그야말로 철도 좋아하는 사람한테는 꿈과 같은 게임이 바로 openttd입니다.


  그만큼 openttd 철도는 까는 방법도 많습니다. 고수들이 깐 철도를 보면 일종의 그림 같기도 합니다. 이번 시간에는 일반적인 철도 까는 법을 소개합니다.




1. 기본 단선 철도



  말 그대로 두 역 사이를 이어버린 노선입니다. openttd는 현실과 다르게 역에 들어간 기차가 그대로 몸을 돌려 나올 수 있습니다. 그래서 이런 선로가 가능합니다. 이런 선로에서는 기차 한 대만 움직일 수 있습니다.




2. 응용 단선 철도


  두 역 사이를 두 줄 이상으로 만든 노선입니다. 이렇게 중간을 여러 줄로 만들면 한 기차가 지나가는 사이 다른 기차들이 옆 선로에서 대기할 수 있습니다. 기차가 서로 부딪히지 않게 하려면 당연히 신호기를 깔아야 합니다. 단방향 경로 신호기(신호기 뒤로 기차가 지나갈 수 없는)를 서로 반대 방향으로 깔아 기차가 다른 선로는 다른 방향으로 지나가게 만듭시다.(역 바로 앞은 그냥 경로 신호기로 깝니다) 위와 같은 선로라면 두 대는 무난히 지나가고, 세 대는 아슬아슬하게 굴러갈 것 같습니다. 다만 중간만 여러 줄이지 본질적으로는 단선이기 때문에 돈이 많다면 그냥 복선으로 지어야 훨씬 빠르고 매끄러울 겁니다.



3. 순환 철도


  두 역을 빙글빙글 돌아가며 들르는 선로입니다. 열차가 방향을 바꾸어 돌아갈 필요가 없습니다. 여러 열차를 운용할 수 있습니다. 다만 순환 철도는 신호기를 깔아야 안전합니다. 열차가 역에 진입하느라 느려지는 걸 무시하고 뒤 열차가 들이받을 수도 있고, 두 열차가 속도가 다르다면 달리는 도중에 충돌할 위험도 있습니다. 어차피 한 방향으로밖에 달리지 못하므로 단방향 경로 신호기를 추천합니다.


4. 단순 복선 철도


단선을 여러개 붙인 듯한 복선입니다. 그저 단선이 여럿일 뿐입니다. 공간낭비라는 느낌을 지울 수가 없습니다.


5. 순환 복선 철도


  순환하는 복선 선로입니다. 이동하는 선로가 단선입니다. 단방향 경로 신호기를 깔았습니다. 기차는 다른 기차가 나가길 기다렸다가 역을 출발하고, 다른 기차가 없는 플랫폼으로 들어가거나 이미 플랫폼이 전부 찼다면 역 앞에서 기다렸다 들어가게 됩니다. 공간을 크게 아낄 수 있습니다.


6. 출입 복선 철도



  저라면 이걸 나뭇가지식 선로라고 부르겠습니다. 이 선로는 석탄-발전소처럼 일방적으로 화물을 한쪽으로 운송하는 선로에 적합합니다. 도착하는 역에서 들어가는 선로와 나오는 선로, 두 줄을 만듭니다. 그리고 각 역에서 대각선으로 출입 선로에 이어줍니다. 출입 선로에는 단방향 경로 신호기를 깔아 방향을 구분합니다. 대각선 진입 선로의 진입 직전부에는 경로 신호기(뒤로 지나갈 수 있는)를 깔아서 기차가 진입 순서를 기다리게 합니다.


  다른 선로와 달리 출입 복선 철도는 확장이 용이합니다. 추후에 또 다른 역을 지을 일이 있으면 출입 선로를 죽 이은 다음 진입로를 지어주면 됩니다.

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웨이브패드에서 무료 음악, 음향 얻기
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  웨이브패드(WavePad)는 NCH 소프트웨어에서 만든 사운드 편집 프로그램입니다. 비상업적, 가정용인 전제로 무료이며 유료 결제하면 더 많은 기능을 이용할 수 있습니다.


  사운드 편집 프로그램은 웨이브패드 말고도 오다시티 등 많습니다만(오다시티는 심지어 완전무료입니다), 굳이 웨이브패드를 소개하는 이유는 웨이브패드가 지원하는 사운드 라이브러리 때문입니다. NCH가 만든 음향, 비디오 관련 프로그램은 NCH 사운드 라이브러리를 지원합니다. 다양한 음악과 음향 효과가 있는데 이 사운드들은 모두 무료입니다. 실제 홈페이지에서도 저작권 없음(royalty free, license free)이라 안내하고 있습니다. 개발사에는 조금 미안하지만, 저작권이 없으니 음악과 음향만 여기서 얻어내 봅시다.



음악, 음향 얻어내기






  링크에서 설치파일을 다운로드해 설치합니다. 설치할 때 한글을 선택하면 한국어 버전으로 설치됩니다.





  설치가 끝나면 자동으로 프로그램이 실행됩니다. '도구' 탭에서 '사운드 라이브러리'를 누릅니다.





  여러 범주(폴더)가 있습니다. 원하는 음악이나 음향을 찾습니다. 미리듣기가 가능합니다. 찾았으면 '다운로드'를 누릅니다.






  프로그램 안에 사운드가 들어왔습니다. 이 상태에서 '파일 - 파일을 다른 이름으로 저장'을 눌러 저장합니다. 여러 확장자가 가능합니다.





이제 음악파일이 생겼습니다. 개발사에 감사를 표하고 사용합시다.

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타로카드처럼 스토리 만들기
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  글을 쓰면 굶어죽기 딱 좋다고들 합니다. 그러나 시대가 변했습니다. 무슨 일을 하든 굶어죽기 좋은 시대가 온 것이죠. 그러니 안심하고 글을 쓰셔도 될 것 같습니다.


  농담입니다. 그런데 세상은 이제 줄거리를 원합니다. 레디메이드 로맨스를 찍어내던 국내 방송국은 넷플릭스라는, 어쩌면 당연한 시대의 흐름에 옴짝달싹 못 하고 있습니다. 책으로만 보던 만화는 인터넷에 뿌리내리고 웹툰이라는 새 이름을 달았는데, 말도 많고 탈도 많지만 종이만화보다 커졌다는 점은 부정할 수 없습니다. 글이 줄거리를 표현하는 유일한 수단은 아니지만, 커진 줄거리 시장에서 떨어지는 콩고물로 글이라는 장르가 연명, 아니 부활하는 것 같습니다.





  저도 창작에 관심이 있다 보니 여러 작법서를 읽습니다. 그중에서 오쓰카 에이지라는 사람이 쓴 작법서가 눈에 띕니다. 작법서가 아니라 창작서라고 해야 할까요? 오쓰카 에이지의 저서는 표현보다는 줄거리와 인물을 탐구하기 때문입니다.





  오쓰카 에이지(오오츠카 에이지)는 <다중인격 탐정 사이코> 등의 만화 줄거리를 집필한 스토리텔러이자 여러 평론서를 쓴 평론가입니다. 국내에 출간한 책은 대부분 평론서가 아니라 작법서인데 실제로 창작교실을 운영하기도 합니다. 다만 <다중인격 탐정 사이코>는 헐리우드에서 영화화까지 고려된 작품이라기엔 평가가 너무 안 좋아, '이 사람은 정말 줄거리를 가르치는 게 맞나' 싶은 비판도 듣는 모양입니다. 저는 <스토리 메이커>로 처음 오쓰카 에이지를 접했습니다. 그 책은 프로프의 민담이론이나 조지프 캠벨의 신화연구에 바탕을 두고 줄거리 짓는 법을 알려줍니다. 한번 읽어보기를 권합니다.




해체와 재구성





  <이야기 체조>라는 책은 말 그대로 이야기 만드는 법을 이야기합니다. <스토리 메이커>가 여러 이론으로 우려낸 와인이라면 <이야기 체조>는 이런저런 비법을 소개하는 칵테일입니다. 그중 첫 번째 방법이 해체와 재구성인데, 본인 말로는 만화 <성흔의 조커>를 집필하며 만든 설정을 응용했다고 합니다. 참고로 <스토리 메이커> 끝부분에도 짧게 실려 있습니다.





  '해체와 재구성' 방법은 타로카드로 점 보는 것과 비슷합니다. 실제로 타로카드로도 가능합니다. 카드 24장이 필요합니다. 카드마다 용기, 행운 등 추상명사를 적습니다. 이제 카드를 보이지 않게 섞고 여섯 장을 고릅니다. 여섯 장을 배열합니다. 각각


1) 주인공의 현재

2) 주인공의 가까운 미래

3) 주인공의 과거

4) 조력자

5) 적

6) 결말


을 상징합니다. '주인공의 현재'가 '성실'이라면 성실하게 일하는 주인공을 만듭니다. 물론 추상명사라서 융통성(속된 말로 '유도리')을 발휘해도 됩니다. 예를 들어 '성실'은 하기 싫은 일을 꾸역꾸역 해내는 주인공으로 해석할 수 있습니다. 성실한 건 맞으니까요. 성실하게 살인을 준비하는 범죄자 주인공으로 상상해도 좋습니다. 카드가 위아래 뒤집혀서 배열되었다면 반대로 해석합니다. '결말'이 뒤집힌 '엄격'으로 나왔다면 자유롭고 온화한 부모님으로 해석할 수도 있겠죠.





  오쓰카 에이지는 우치다 노부코와 그레마스를 인용합니다. 우치다 노부코는 어린이를 연구한 발달심리학자인데, 어린아이한테 카드를 보여주고 그 카드로 이야기를 지으라고 시켰습니다. 아이가 이야기를 만드는 능력을 알아보고자 한 것이죠. 노부코는 아이가 이야기를 짓는 것은 '경험의 해체와 재건을 통한 창조'로 해석했습니다. 그동안 들은 이야기와 겪은 체험을 치즈처럼 잘게 자른 다음, 그 단면을 늘어놓고 거기에 의미를 붙여 이야기를 만든다는 것입니다. 한편 그레마스(알기르다스 줄리앙 그레마스)는 프랑스 기호학자인데 행위자 모델(행위소 모델)에서 여섯 행위자를 규정했습니다. 이 모델에서 오쓰카 에이지가 말한 여섯 배치가 나온 것입니다(따온 것이지 같지는 않습니다).


  앞서 말했듯이 타로카드로도 가능하고, 꼭 24장이 아니어도 됩니다. 스스로 24가지 명사를 써도 됩니다. 우정, 복수, 질투...





엑셀로 만들어 보다








  일단 24가지 키워드를 번호와 함께 엑셀에 입력했습니다. 이 키워드를 무작위로 뽑아볼까요. 먼저 RANDBETWEEN 함수를 써보겠습니다 RANDBETWEEN 함수는 최솟값과 최댓값을 정하면 그 사이에 있는 정수값을 반환하는 함수입니다.




  함수로 여섯 값을 뽑았습니다. 그런데 문제가 있습니다. RANDBETWEEN 함수는 말 그대로 무작위로 숫자를 반환해서 중복 숫자가 나올 수 있습니다. 같은 키워드가 또 나오지 않으려면 어떻게 해야 할까요?




  한번 INDEX와 RANK 함수를 이용해 봅시다. 우선 RAND 함수로 난수를 만듭니다. =RAND()는 0과 1 사이 무작위 소수를 반환합니다. 무작위 소수 24가지를 만들었습니다.


  RANK 함수는 어떤 숫자가 범위에서 몇 등을 차지하는지 나타내는 함수입니다. 슬슬 감이 올 겁니다. INDEX는 범위에서 몇 번째에 해당하는 값을 가져옵니다. 이렇게 써 봅니다.




= INDEX(추첨할 데이터, RANK( 이번 셀에 해당하는 RAND 함수를 쓴 셀 , RAND 함수를 쓴 범위 ))


  RANK는 맨위 셀이 난수 중에서 몇 등인지 가렸습니다. INDEX는 그 등수번째에 해당하는 숫자를 가져왔습니다. 필요한 만큼 자동 채우기가 가능합니다. 무작위 소수는 전부 다르니까, 등수가 겹칠 염려는 없고 따라서 등수번째 데이터도 전부 다릅니다. 자동 채우기에서 셀 주소가 변하게 하지 않으려면 주소에 $를 넣습니다. 직접 타이핑해도 되고 블록설정 한 다음에 F4를 눌러도 됩니다.


  하지만 아예 키워드도 나타내고 싶으면 어떻게 할까요? VLOOKUP 함수가 유용합니다. VLOOKUP 함수는 우리가 찾는 열에 해당하는 셀 내용을 반환합니다.



= VLOOKUP ( 찾고자 하는 항목, 표 범위, 원하는 열의 상대적 위치, TRUE/FALSE)


  '찾고자 하는 항목'에는 RANK로 구한 숫자를, 표 범위는 번호와 키워드를, 원하는 열은 표 범위에서 두 번째 열을 차지하므로 2를 넣습니다. TRUE/FALSE는 유사 일치/정확히 일치인데 어차피 숫자라 일치하니 FALSE라고 합시다.





  카드가 뒤집힘/안 뒤집힘은 RANDBETWEEN 함수로 해결해 봅시다. 최솟값을 0, 최댓값을 1로 하고 1이 나오면 뒤집혔다고 생각하는 겁니다.


  직접 해 봤습니다. 결과는 아래와 같습니다. 이것으로 줄거리를 만든다면 이렇게 되지 않을까요.





주인공의 현재 : 절도

주인공의 가까운 미래 : 생명(뒤집힘)

주인공의 과거 : 이성(뒤집힘)

조력자 : 비호

적 : 서약

결말 : 엄격


  먼 옛날 한 왕국. 주인공은 왕궁의 기사단장으로 규칙을 철저히 지키는 원칙주의자다(절도). 그러나 사실 주인공한테는 과거의 비밀이 있었다. 젊은 시절, 다혈질이고 충동적이던 주인공은 술집에서 시비가 붙어 실수로 사람을 죽이게 된다(이성, 뒤집힘). 그때 어느 악마가 찾아와 이 사건을 무마해줄 테니 나중에 부탁을 들어달라는 거래를 제안했고 주인공은 하는 수 없이 수락해 지금 자리까지 오른 것이다. 기사단장까지 되어 과거가 가물해질 무렵, 악마가 찾아와 약속을 지킬 때가 되었다고 위협한다(서약). 악마는 어느 무고한 여성을 죽이라고 요구하는데(생명, 뒤집힘) 예언에 따르면 이 여성이 낳을 아기는 악을 멸망시킬 용사로 자라기 때문이었다. 아이를 죽이지 않으면 거래내용에 따라 자기가 죽을 수밖에 없는 상황. 주인공은 호시탐탐 죽일 기회를 노리지만, 오히려 여성을 보호하는 것으로 비춰져 동료의 도움마저 받게 된다(비호).  결국 주인공은 자신이 죽는 길을 선택한다(엄격).



  다시 읽어보면 전개에 구멍이 숭숭 뚫렸지만, 처음치고는 나쁘지 않다고 생각합니다. 아래에 엑셀파일을 업로드했으니 해 보시길 바랍니다. 엑셀 무작위 함수는 계산마다 답이 달라지므로 보존하고 싶다면 스크린샷으로 찍는 걸 추천합니다. 복사해서 값으로 붙여넣기하면 다시 계산되어 값이 달라집니다. 철저한 무작위에서도 줄거리가 탄생한다는 것이 신기합니다. 오히려 무작위라 더 상상력이 잘 발휘되는 걸지도 모르죠.



해체와 재구성.xlsx


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